Álgebra de bucles

En matemáticas , las álgebras de bucles son ciertos tipos de álgebras de Lie , de particular interés en la física teórica .

Para un álgebra de Lie sobre un cuerpo , si es el espacio de polinomios de Laurent , entonces con el corchete heredado ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\estilo de visualización K}$${\displaystyle K[t,t^{-1}]}$$${\displaystyle L{\mathfrak {g}}:={\mathfrak {g}}\o veces K[t,t^{-1}],}$$$${\displaystyle [X\o veces t^{m},Y\o veces t^{n}]=[X,Y]\o veces t^{m+n}.}$$

Si es un álgebra de Lie, el producto tensorial de con C ^∞ ( S ¹ ) , el álgebra de funciones suaves (complejas) sobre la variedad circular S ¹ (equivalentemente, funciones periódicas suaves de valor complejo de un período dado), ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

$${\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(S^{1}),}$$

es un álgebra de Lie de dimensión infinita con el corchete de Lie dado por

$${\displaystyle [g_{1}\otimes f_{1},g_{2}\otimes f_{2}]=[g_{1},g_{2}]\otimes f_{1}f_{2}.}$$

Aquí g ₁ y g ₂ son elementos de y f ₁ y f ₂ son elementos de C ^∞ ( S ¹ ) . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Esto no es precisamente lo que correspondería al producto directo de infinitas copias de , una para cada punto en S ¹ , debido a la restricción de suavidad. En cambio, se puede pensar en términos de una función suave de S ¹ a ; en otras palabras, un bucle suave parametrizado en . Por eso se llama álgebra de bucles . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Al definir el subespacio lineal, el corchete restringe a un producto , lo que le da al álgebra de bucles una estructura de álgebra de Lie graduada . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}={\mathfrak {g}}\otimes t^{i}<L{\mathfrak {g}},}$$${\displaystyle [\cdot \,,\,\cdot ]:{\mathfrak {g}}_{i}\times {\mathfrak {g}}_{j}\rightarrow {\mathfrak {g}}_{i+j},}$$${\displaystyle \mathbb {Z}}$

En particular, el corchete se restringe al subálgebra de 'modo cero' . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}\cong {\mathfrak {g}}}$

Hay una derivación natural del álgebra de bucles, convencionalmente denotada como actuando como y por lo tanto puede considerarse formalmente como . ${\estilo de visualización d}$$${\displaystyle d:L{\mathfrak {g}}\rightarrow L{\mathfrak {g}}}$$ $${\displaystyle d(X\otimes t^{n})=nX\otimes t^{n}}$$${\displaystyle d=t{\frac {d}{dt}}}$

Es necesario definir álgebras de Lie afines , que se utilizan en física, particularmente en la teoría de campos conforme .

De manera similar, un conjunto de todas las funciones suaves de S ¹ a un grupo de Lie G forma un grupo de Lie de dimensión infinita (grupo de Lie en el sentido en que podemos definir derivadas funcionales sobre él) llamado grupo de bucles . El álgebra de Lie de un grupo de bucles es el álgebra de bucles correspondiente.

Si es un álgebra de Lie semisimple , entonces una extensión central no trivial de su álgebra de bucles da lugar a un álgebra de Lie afín . Además, esta extensión central es única. ^[1]${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle L{\mathfrak {g}}}$

La extensión central se da añadiendo un elemento central , es decir, para todo , y modificando el corchete en el álgebra de bucles a donde es la forma de Killing . ${\displaystyle {\hat {k}}}$${\displaystyle X\otimes t^{n}\in L{\mathfrak {g}}}$$${\displaystyle [{\hat {k}},X\otimes t^{n}]=0,}$$$${\displaystyle [X\otimes t^{m},Y\otimes t^{n}]=[X,Y]\otimes t^{m+n}+mB(X,Y)\delta _{m+n,0}{\hat {k}},}$$${\displaystyle B(\cdot ,\cdot )}$

La extensión central es, como un espacio vectorial, (en su definición habitual, como de manera más general, puede tomarse como un campo arbitrario). ${\displaystyle L{\mathfrak {g}}\oplus \mathbb {C} {\hat {k}}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Usando el lenguaje de la cohomología del álgebra de Lie , la extensión central puede describirse usando un cociclo de 2 en el álgebra de bucles. Esta es la función que satisface Entonces el término adicional agregado al corchete es$${\displaystyle \varphi :L{\mathfrak {g}}\times L{\mathfrak {g}}\rightarrow \mathbb {C} }$$$${\displaystyle \varphi (X\otimes t^{m},Y\otimes t^{n})=mB(X,Y)\delta _{m+n,0}.}$$${\displaystyle \varphi (X\otimes t^{m},Y\otimes t^{n}){\hat {k}}.}$

En física, la extensión central se denomina a veces álgebra de Lie afín. En matemáticas, esto no es suficiente y el álgebra de Lie afín completa es el espacio vectorial ^[2] donde es la derivación definida anteriormente. ${\displaystyle L{\mathfrak {g}}\oplus \mathbb {C} {\hat {k}}}$ $${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}=L{\mathfrak {g}}\oplus \mathbb {C} {\hat {k}}\oplus \mathbb {C} d}$$${\displaystyle d}$

En este espacio, la forma Killing puede extenderse a una forma no degenerada, y así permite un análisis del sistema raíz del álgebra de Lie afín.