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Teorema del anillo

En matemáticas, el teorema del anillo (antes llamado conjetura del anillo ) afirma, a grandes rasgos, que la región entre dos esferas bien comportadas es un anillo . Está estrec...

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En matemáticas, el teorema del anillo (antes llamado conjetura del anillo ) afirma, a grandes rasgos, que la región entre dos esferas bien comportadas es un anillo . Está estrechamente relacionado con la conjetura del homeomorfismo estable (ahora demostrada), que establece que todo homeomorfismo del espacio euclidiano que conserva la orientación es estable.

Declaración

Si S y T son esferas topológicas en el espacio euclidiano, con S contenida en T , entonces no es cierto en general que la región entre ellas sea un anillo , debido a la existencia de esferas salvajes en dimensión al menos 3. Por lo tanto, el teorema del anillo debe enunciarse para excluir estos ejemplos, añadiendo alguna condición que asegure que S y T se comporten correctamente. Hay varias maneras de hacerlo.

El teorema del anillo establece que si cualquier homeomorfismo h de R n sobre sí mismo mapea la bola unitaria B en su interior, entonces B − h (interior( B )) es homeomorfo al anillo S n − 1 ×[0,1].

Historia de la prueba

El teorema del anillo es trivial en dimensiones 0 y 1. Fue demostrado en dimensión 2 por Radó (1924) , en dimensión 3 por Moise (1952) , en dimensión 4 por Quinn (1982) y en dimensiones al menos 5 por Kirby (1969) .

Truco del toro

El truco del toroide de Robion Kirby es un método de demostración que emplea la inmersión de un toroide perforado.Tnorte−Dnorte{\displaystyle \mathbb {T} ^{n}-\mathbb {D} ^{n}}enRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}donde entonces las estructuras lisas pueden ser retraídas a lo largo de la inmersión y elevadas a cubiertas. El truco del toro se utiliza en la demostración de Kirby del teorema del anillo en dimensionesnorte≥5{\displaystyle n\geq 5}También se empleó en investigaciones posteriores de variedades topológicas con Laurent C. Siebenmann [ 1 ] .

Aquí hay una lista de algunas aplicaciones adicionales del truco del toro que aparecieron en la literatura:

  • Demostrar la existencia y unicidad (hasta la isotopía) de estructuras lisas en superficies [ 2 ]
  • Demostrar la existencia y unicidad (hasta isotopía) de estructuras PL en 3-variedades [ 3 ]

La conjetura del homeomorfismo estable

Un homeomorfismo de R n se llama estable si es la composición de (una familia finita de) homeomorfismos, cada uno de los cuales es la identidad en algún conjunto abierto no vacío .

La conjetura del homeomorfismo estable afirma que todo homeomorfismo de R n que preserva la orientación es estable. Brown y Gluck (1964) demostraron previamente que la conjetura del homeomorfismo estable es equivalente a la conjetura del anillo, por lo que es cierta.

Referencias

  1. ↑ Kirby, Robion C.; Siebenmann, Laurence C. (1977). Ensayos fundamentales sobre variedades topológicas, suavizados y triangulaciones (PDF) . Annals of Mathematics Studies. Vol.  88. Princeton, NJ: Princeton University Press . ISBN 0-691-08191-3. SR 0645390 . 
  2. ↑ Hatcher, Allen (12 de diciembre de 2013). "El truco del toro de Kirby para superficies". arXiv : 1312.3518 [ math.GT ].
  3. ↑ Hamilton, AJS (1976). "La triangulación de 3-variedades". The Quarterly Journal of Mathematics . 27 (1): 63– 70. CiteSeerX 10.1.1.643.6939 . doi : 10.1093/qmath/27.1.63 . 
  • Brown, Morton ; Gluck, Herman (1964), "Estructuras estables en variedades. II. Variedades estables.", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 79 (1): 18–44 , doi : 10.2307/1970481 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970482 , MR 0158383   
  • Edwards, Robert D. (1984), "La solución de la conjetura del anillo de 4 dimensiones (según Frank Quinn)", Teoría de cuatro variedades (Durham, NH, 1982) , Contemp. Math., vol.  35, Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 211–264 , doi : 10.1090/conm/035/780581 , ISBN  9780821850336, MR 0780581 
  • Kirby, Robion C. (1969), "Homeomorfismos estables y la conjetura del anillo", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 89 (3): 575– 582, doi : 10.2307/1970652 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970652 , MR 0242165   
  • Moise, Edwin E. (1952), "Estructuras afines en 3-variedades. V. El teorema de triangulación y Hauptvermutung", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 56 (1): 96–114 , doi : 10.2307/1969769 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1969769 , MR 0048805   
  • Quinn, Frank (1982), "Extremos de mapas. III. Dimensiones 4 y 5" , Journal of Differential Geometry , 17 (3): 503–521 , doi : 10.4310/jdg/1214437139 , ISSN 0022-040X , MR 0679069  
  • Radó, T. (1924), "Über den Begriff der Riemannschen Fläche", Acta Univ. Szeged , 2 : 101-121​

Lecturas adicionales

  • Debate en MathOverflow sobre el truco del toroide
  • Grabación en vídeo de una entrevista con Robion Kirby.
  • Seminario sobre variedades topológicas (Universidad de Bonn, 2021)