Simplex

De izquierda a derecha: un punto (marcado con el 0), una línea (marcada con el 1), un triángulo (marcado con el 2) y un tetraedro (marcado con el 3). — Los cuatro símplexes que pueden representarse completamente en el espacio 3D.

En geometría , un símplex (plural: símplexes o símplices ) es una generalización de la noción de triángulo o tetraedro a dimensiones arbitrarias . El símplex recibe este nombre porque representa el politopo más simple posible en cualquier dimensión dada. Por ejemplo,

un simplex de dimensión 0 es un punto ,
un simplex unidimensional es un segmento de línea ,
un simplex bidimensional es un triángulo ,
un simplex tridimensional es un tetraedro y
Un simplex de 4 dimensiones es un sistema de 5 celdas .

Específicamente, un $k$ -símplex es un politopo $k$ -dimensional que es la envoltura convexa de sus $k$ $+ 1$ vértices . Más formalmente, supongamos que los $k$ $+ 1$ puntos ${\ Displaystyle u_ {0}, \ puntos, u_ {k}}$ son afínmente independientes , lo que significa que los vectores $k$ $u_{1}-u_{0},\dots,u_{k}-u_{0}$ son linealmente independientes . Entonces, el simplex determinado por ellos es el conjunto de puntos $C=\left\{\theta _{0}u_{0}+\dots +\theta _{k}u_{k}~{\Bigg |}~\sum _{i=0}^{k}\theta _{i}=1{\mbox{ y }}\theta _{i}\geq 0{\mbox{ para }}i=0,\dots ,k\right\}.$

Un símplex regular ^{[ 1 ]} es un símplex que también es un politopo regular . Un $k$ -símplex regular puede construirse a partir de un $(k - 1)$ -símplex regular conectando un nuevo vértice a todos los vértices originales mediante la longitud de arista común.

El simplex estándar o simplex de probabilidad ^{[ 2 ]} es el simplex $k$ -dimensional cuyos vértices son los $k + 1$ vectores unitarios estándar en $\mathbf {R} ^{k+1}$ o, en otras palabras, $\left\{{\vec {x}}\in \mathbf {R} ^{k+1}:x_{0}+\dots +x_{k}=1,x_{i}\geq 0{\text{ para }}i=0,\dots ,k\right\}.$

En topología y combinatoria , es común "unir" símplices para formar un complejo simplicial .

El simplex geométrico y el complejo simplicial no deben confundirse con el complejo simplicial abstracto , en el que un simplex es simplemente un conjunto finito y el complejo es una familia de tales conjuntos que es cerrada bajo la operación de tomar subconjuntos.

Historia

El concepto de simplex era conocido por William Kingdon Clifford , quien introdujo el término "confinamiento primo" para estas figuras en 1866 mientras resolvía un problema de probabilidad geométrica. ^{[ 3 ]} Henri Poincaré , escribiendo sobre topología algebraica en 1900, los llamó "tetraedros generalizados". En 1902, Pieter Hendrik Schoute describió el concepto primero con el superlativo latino simplicissimum ("el más simple") y luego con el mismo adjetivo latino en la forma normal simplex ("simple"). ^{[ 4 ]}

La familia de símplex regulares es la primera de tres familias de politopos regulares , denominadas por Donald Coxeter como $α n$ ; las otras dos son la familia de politopos cruzados , denominada $β n$ , y los hipercubos , denominados $γ n$ . Una cuarta familia, la teselación del espacio $n-$ dimensional mediante infinitos hipercubos , fue denominada $δ n$ . ^{[ 5 ]}

Elementos

La envoltura convexa de cualquier subconjunto no vacío de los $n$ $+ 1$ puntos que definen un $n$ -símplex se denomina cara del símplex. Las caras son símplexes en sí mismos. En particular, la envoltura convexa de un subconjunto de tamaño $m$ $+ 1$ (de los $n$ $+ 1$ puntos definitorios) es un $m$ -símplex, llamado $m$ -cara del $n$ -símplex. Las 0-caras (es decir, los puntos definitorios como conjuntos de tamaño 1) se denominan vértices (singular: vértice), las 1-caras se denominan aristas , las ( $n$ $- 1$ )-caras se denominan facetas , y la única $n$ -cara es el $n$ -símplex completo. En general, el número de $m$ -caras es igual al coeficiente binomial. ${\tbinom {n+1}{m+1}}$ . ^{[ 6 ]} En consecuencia, el número de $m$ -caras de un $n$ -símplice se puede encontrar en la columna ( $m + 1$ ) de la fila ( $n + 1$ ) del triángulo de Pascal . Un símplice $A$ es una cocara de un símplice $B$ si $B$ es una cara de $A$ . Cara y faceta pueden tener diferentes significados cuando describen tipos de símplices en un complejo simplicial .

El f-vector extendido para un $n$ -símplex se puede calcular mediante $(1, 1) n +1$ , como los coeficientes de los productos polinomiales . Por ejemplo, un 7-símplex es ( 1 , 1 ) ⁸ = ( 1 ,2, 1 ) ⁴ = ( 1 ,4,6,4, 1 ) ² = ( 1 ,8,28,56,70,56,28,8, 1 ).

El número de caras (aristas) de 1 del $n-$ símplex es el $n$ -ésimo número de triángulo , el número de caras de 2 del $n-$ símplex es el $(n -1)$ -ésimo número de tetraedro , el número de caras de 3 del $n$ -símplex es el $(n -2)$ -ésimo número de celda de 5, y así sucesivamente.

Un $n$ -símplex es el politopo con el menor número de vértices que requiere $n$ dimensiones. Consideremos un segmento de línea AB como una figura en un espacio unidimensional (el espacio unidimensional es la línea en la que se encuentra el segmento). Se puede colocar un nuevo punto $C$ fuera de la línea. La nueva figura, el triángulo ABC , requiere dos dimensiones; no cabe en el espacio unidimensional original. El triángulo es el 2-símplex, una figura simple que requiere dos dimensiones. Consideremos un triángulo ABC , una figura en un espacio bidimensional (el plano en el que reside el triángulo). Se puede colocar un nuevo punto $D$ fuera del plano. La nueva figura, el tetraedro ABCD , requiere tres dimensiones; no cabe en el espacio bidimensional original. El tetraedro es el 3-símplex, una figura simple que requiere tres dimensiones. Consideremos el tetraedro ABCD , una figura en un espacio tridimensional (el espacio tridimensional en el que se encuentra el tetraedro). Se puede colocar un nuevo punto $E$ fuera del espacio tridimensional. La nueva forma ABCDE , llamada 5-celda, requiere cuatro dimensiones y se denomina 4-símplex; no cabe en el espacio tridimensional original. (Tampoco se puede visualizar fácilmente). Esta idea se puede generalizar, es decir, añadiendo un nuevo punto fuera del espacio actualmente ocupado, lo que requiere pasar a la siguiente dimensión superior para contener la nueva forma. Esta idea también se puede aplicar a la inversa: el segmento de línea con el que comenzamos es una forma simple que requiere un espacio unidimensional para contenerla; el segmento de línea es el 1-símplex. El segmento de línea en sí se formó comenzando con un solo punto en el espacio cero-dimensional (este punto inicial es el 0-símplex) y añadiendo un segundo punto, lo que requirió el aumento al espacio unidimensional.

Más formalmente, un $(n + 1)$ -símplex se puede construir como una unión (operador ∨) de un $n$ -símplex y un punto, $( )$ . Un $($ $m$ $+$ $n$ $+ 1)$ -símplex se puede construir como una unión de un $m$ -símplex y un $n$ -símplex. Los dos símplices están orientados de manera que sean completamente normales entre sí, con una traslación en una dirección ortogonal a ambos. Un 1-símplex es la unión de dos puntos: $( ) \lor ( ) = 2 \cdot ( )$ . Un 2-símplex general (triángulo escaleno) es la unión de tres puntos: $( ) \lor ( ) \lor ( )$ . Un triángulo isósceles es la unión de un 1-símplex y un punto: ${ } \lor ( )$ . Un triángulo equilátero es 3 ⋅ ( ) o {3}. Un 3-símplex general es la unión de 4 puntos: $( ) \lor ( ) \lor ( ) \lor ( )$ . Un 3-símplex con simetría especular se puede expresar como la unión de una arista y dos puntos: ${ } \lor ( ) \lor ( )$ . Un 3-símplex con simetría triangular se puede expresar como la unión de un triángulo equilátero y 1 punto: $3.( )\lor( )$ o ${3}\lor( )$ . Un tetraedro regular es $4 \cdot ( )$ o {3,3} y así sucesivamente.

En algunas convenciones, ^{[ 8 ]} el conjunto vacío se define como un (−1)-símplex. La definición de símplex anterior sigue teniendo sentido si $n = -1$ . Esta convención es más común en aplicaciones a la topología algebraica (como la homología simplicial ) que al estudio de politopos.

Gráficas simétricas de símplices regulares

Estos polígonos de Petrie (proyecciones ortogonales sesgadas) muestran todos los vértices del simplex regular sobre un círculo , y todos los pares de vértices conectados por aristas.

Simplex estándar

El $n$ -símplex estándar (o $n-$ símplex unitario ) es el subconjunto de $R n +1$ dado por

\Delta ^{n}=\left\{(t_{0},\dots ,t_{n})\in \mathbf {R} ^{n+1}~{\Bigg |}~\sum _{i=0}^{n}t_{i}=1{\text{ y }}t_{i}\geq 0{\text{ para }}i=0,\ldots ,n\right\}

.

El simplex $Δ n$ se encuentra en el hiperplano afín obtenido al eliminar la restricción $t i \geq 0$ en la definición anterior.

Los $n + 1$ vértices del $n$ -símplex estándar son los puntos $e i \in R n +1$ , donde

e 0 = (1, 0, 0, ..., 0),

e 1 = (0, 1, 0, ..., 0),

⋮

e n = (0, 0, 0, ..., 1)

.

Un simplex estándar es un ejemplo de un politopo 0/1 , con todas las coordenadas como 0 o 1. También puede verse como una faceta de un ortoplexo regular ( n $+ 1)$ .

Existe una aplicación canónica del $n$ $-$ $símplex estándar a un n$ -símplex arbitrario con vértices ( $v0,$ ..., $vn$ ) dada por

(t_{0},\ldots ,t_{n})\mapsto \sum _{i=0}^{n}t_{i}v_{i}

Los coeficientes $t i$ se denominan coordenadas baricéntricas de un punto en el $n-$ símplex. Este tipo de símplex general se suele llamar $n-$ símplex afín , para enfatizar que la transformación canónica es una transformación afín . También se le denomina a veces $n-$ símplex afín orientado para destacar que la transformación canónica puede conservar o invertir la orientación.

En términos más generales, existe un mapa canónico del estándar $(n-1)$ -símplex (con $n$ vértices) sobre cualquier politopo con $n$ vértices, dado por la misma ecuación (modificando la indexación):

(t_{1},\ldots ,t_{n})\mapsto \sum _{i=1}^{n}t_{i}v_{i}

Estas se conocen como coordenadas baricéntricas generalizadas y expresan cada politopo como la imagen de un simplex: $\Delta ^{n-1}\twoheadrightarrow P.$

Una función comúnmente utilizada de $R n$ al interior del estándar $(n-1)$ -simplex es la función softmax , o función exponencial normalizada; esta generaliza la función logística estándar .

Ejemplos

Δ ⁰ es el punto $1$ en $R 1$ .
Δ ¹ es el segmento de línea que une $(1, 0)$ y $(0, 1)$ en $R 2$ .
Δ ² es el triángulo equilátero con vértices $(1, 0, 0)$ , $(0, 1, 0)$ y $(0, 0, 1)$ en $R 3$ .
Δ ³ es el tetraedro regular con vértices $(1, 0, 0, 0)$ , $(0, 1, 0, 0)$ , $(0, 0, 1, 0)$ y $(0, 0, 0, 1)$ en $R 4$ .
Δ ⁴ es la celda regular de 5 vértices $(1, 0, 0, 0, 0)$ , $(0, 1, 0, 0, 0)$ , $(0, 0, 1, 0, 0)$ , $(0, 0, 0, 1, 0)$ y $(0, 0, 0, 0, 1)$ en $R 5$ .

Coordenadas crecientes

Un sistema de coordenadas alternativo se obtiene tomando la suma indefinida :

{\begin{aligned}s_{0}&=0\\s_{1}&=s_{0}+t_{0}=t_{0}\\s_{2}&=s_{1}+t_{1}=t_{0}+t_{1}\\s_{3}&=s_{2}+t_{2}=t_{0}+t_{1}+t_{2}\\&\;\;\vdots \\s_{n}&=s_{n-1}+t_{n-1}=t_{0}+t_{1}+\cdots +t_{n-1}\\s_{n+1}&=s_{n}+t_{n}=t_{0}+t_{1}+\cdots +t_{n}=1\end{aligned}}

Esto da como resultado la presentación alternativa por orden, es decir, como $n-$ tuplas no decrecientes entre 0 y 1:

\Delta _{*}^{n}=\left\{(s_{1},\ldots ,s_{n})\in \mathbf {R} ^{n}\mid 0=s_{0}\leq s_{1}\leq s_{2}\leq \dots \leq s_{n}\leq s_{n+1}=1\right\}.

Geométricamente, este es un subconjunto $n -dimensional de$ $\mathbf {R} ^{n}$ (dimensión máxima, codimensión 0) en lugar de $\mathbf {R} ^{n+1}$ (codimensión 1). Las facetas, que en el simplex estándar corresponden a una coordenada que se anula, $t_{i}=0,$ aquí corresponden a coordenadas sucesivas que son iguales, $s_{i}=s_{i+1},$ mientras que el interior corresponde a las desigualdades que se vuelven estrictas (secuencias crecientes).

Una distinción clave entre estas presentaciones es el comportamiento bajo coordenadas permutadas: el simplex estándar se estabiliza al permutar coordenadas, mientras que la permutación de elementos del "símplex ordenado" no lo deja invariante, ya que la permutación de una secuencia ordenada generalmente la vuelve desordenada. De hecho, el simplex ordenado es un dominio fundamental (cerrado) para la acción del grupo simétrico sobre el $n$ -cubo, lo que significa que la órbita del simplex ordenado bajo los $n$ ! elementos del grupo simétrico divide el $n$ -cubo en $n!$ símplices mayormente disjuntos (disjuntos excepto por los límites), lo que demuestra que este símplice tiene un volumen de $1/ n!. Alternativamente,$ $el$ volumen se puede calcular mediante una integral iterada, cuyos integrandos sucesivos son 1, $x$ , $x2 /2,$ x3 $/ 3!,$ ... , $xn / n!.$

Otra propiedad de esta presentación es que utiliza el orden pero no la suma, y por lo tanto puede definirse en cualquier dimensión sobre cualquier conjunto ordenado, y por ejemplo puede utilizarse para definir un símplex de dimensión infinita sin problemas de convergencia de sumas.

Proyección sobre el plano simple estándar

Especialmente en aplicaciones numéricas de la teoría de la probabilidad , una proyección sobre el simplex estándar es de interés. Dado ⁠ $p$ ⁠ , posiblemente con coordenadas negativas o superiores a 1, el punto más cercano ⁠ $t$ ⁠ en el simplex tiene coordenadas

t_{i}=\max\{p_{i}+\Delta \,,0\},

dónde $\Delta$ se elige de tal manera que ${\textstyle \sum _{i}\max\{p_{i}+\Delta \,,0\}=1.}$

$\Delta$ se puede calcular fácilmente ordenando las coordenadas de ⁠ $p$ ⁠ .^{[ 9 ]} El enfoque de clasificación toma $O(n\log n)$ complejidad, que puede mejorarse a una complejidad $O($ $n$ $)$ mediante algoritmos de búsqueda de medianas . ^[¹⁰^] Proyectar sobre el simplex es computacionalmente similar a proyectar sobre el $\ell _{1}$ pelota. Véase también Programación entera .

Esquina del cubo

Finalmente, una variante sencilla consiste en reemplazar "sumar a 1" por "sumar a lo sumo 1"; esto aumenta la dimensión en 1, por lo que, para simplificar la notación, cambia la indexación:

\Delta _{c}^{n}=\left\{(t_{1},\ldots ,t_{n})\in \mathbf {R} ^{n}~{\Bigg |}~\sum _{i=1}^{n}t_{i}\leq 1{\text{ and }}t_{i}\geq 0{\text{ for all }}i\right\}.

Esto genera un $n$ -símplex como vértice del $n$ -cubo, y se trata de un símplex ortogonal estándar. Este es el símplex utilizado en el método del símplex , que se basa en el origen y modela localmente un vértice en un politopo con $n$ facetas.

Coordenadas cartesianas para un simplex regular $n -dimensional en$ R ⁿ

Una forma de escribir un $n$ -símplex regular en $R n$ es elegir dos puntos como los dos primeros vértices, elegir un tercer punto para formar un triángulo equilátero, elegir un cuarto punto para formar un tetraedro regular, y así sucesivamente. Cada paso requiere satisfacer ecuaciones que aseguren que cada vértice recién elegido, junto con los vértices elegidos previamente, forme un símplex regular. Hay varios conjuntos de ecuaciones que se pueden escribir y utilizar para este propósito. Estos incluyen la igualdad de todas las distancias entre vértices; la igualdad de todas las distancias desde los vértices al centro del símplex; el hecho de que el ángulo subtendido a través del nuevo vértice por cualesquiera dos vértices elegidos previamente es $\pi /3$ ; y el hecho de que el ángulo subtendido a través del centro del simplex por cualesquiera dos vértices es $\arccos(-1/n)$ .

También es posible escribir directamente un $n$ -símplex regular particular en $R n$ que luego se puede trasladar, rotar y escalar según se desee. Una forma de hacerlo es la siguiente. Denotemos los vectores base de $R n$ por $e 1$ a $e n$ . Comencemos con el $(n - 1)$ -símplex estándar que es la envoltura convexa de los vectores base. Al agregar un vértice adicional, estos se convierten en una cara de un $n$ -símplex regular. El vértice adicional debe estar en la línea perpendicular al baricentro del símplex estándar, por lo que tiene la forma $(α / n, ..., α / n)$ para algún número real $α$ . Dado que la distancia al cuadrado entre dos vectores base es 2, para que el vértice adicional forme un $n$ -símplex regular, la distancia al cuadrado entre él y cualquiera de los vectores base también debe ser 2. Esto produce una ecuación cuadrática para $α$ . Al resolver esta ecuación se observa que existen dos opciones para el vértice adicional:

{\frac {1}{n}}\left(1\pm {\sqrt {n+1}}\right)\cdot (1,\dots ,1).

Cualquiera de estos, junto con los vectores base estándar, produce un $n$ -símplex regular.

$El n$ -símplex regular anterior no está centrado en el origen. Se puede trasladar al origen restando la media de sus vértices. Al reescalarlo, se le puede dar una longitud de lado unitaria. Esto da como resultado el símplex cuyos vértices son:

{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{i}-{\frac {1}{n{\sqrt {2}}}}{\bigg (}1\pm {\frac {1}{\sqrt {n+1}}}{\bigg )}\cdot (1,\dots ,1),

para $1\leq i\leq n$ , y

\pm {\frac {1}{\sqrt {2(n+1)}}}\cdot (1,\dots ,1).

Tenga en cuenta que aquí se describen dos conjuntos de vértices. Un conjunto utiliza $+$ en cada cálculo. El otro conjunto utiliza $-$ en cada cálculo.

Este simplex está inscrito en una hiperesfera de radio ${\sqrt {n/(2(n+1))}}$ .

Un reescalado diferente produce un simplex que está inscrito en una hiperesfera unitaria. Cuando esto se hace, sus vértices son

{\sqrt {1+n^{-1}}}\cdot \mathbf {e} _{i}-n^{-3/2}({\sqrt {n+1}}\pm 1)\cdot (1,\dots ,1),

dónde $1\leq i\leq n$ , y

\pm n^{-1/2}\cdot (1,\dots ,1).

La longitud del lado de este simplex es ${\textstyle {\sqrt {2(n+1)/n}}}$ .

Una forma altamente simétrica de construir un $n$ -símplex regular es usar una representación del grupo cíclico $Z n +1$ mediante matrices ortogonales . Esta es una matriz ortogonal $n \times n$ $Q$ tal que $Q n +1 = I$ es la matriz identidad , pero ninguna potencia inferior de $Q$ lo es. Al aplicar potencias de esta matriz a un vector $v$ apropiado, se obtendrán los vértices de un $n$ -símplex regular. Para llevar a cabo esto, primero observemos que para cualquier matriz ortogonal $Q$ , existe una elección de base en la que $Q$ es una matriz diagonal por bloques.

Q=\operatorname {diag} (Q_{1},Q_{2},\dots ,Q_{k}),

donde cada $Q i$ es ortogonal y de $2 \times 2$ o $1 \times 1.$ Para que $Q$ tenga orden $n + 1$ , todas estas matrices deben tener un orden divisor de $n + 1.$ Por lo tanto, cada $Q i$ es una matriz $de 1 \times 1$ cuya única entrada es $1$ o, si $n$ es impar , $-1$ ; o es una matriz de $2 \times 2 de la forma$

{\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi \omega _{i}}{n+1}}&-\sin {\frac {2\pi \omega _{i}}{n+1}}\\\sin {\frac {2\pi \omega _{i}}{n+1}}&\cos {\frac {2\pi \omega _{i}}{n+1}}\end{pmatrix}},

donde cada $ω i$ es un entero entre cero y $n$ inclusive. Una condición suficiente para que la órbita de un punto sea un simplex regular es que las matrices $Q i$ formen una base para las representaciones reales irreducibles no triviales de $Z n +1$ , y que el vector que se rota no esté estabilizado por ninguna de ellas.

En términos prácticos, para $n$ par esto significa que cada matriz $Q i$ es de $2 \times 2$ , existe una igualdad de conjuntos.

\{\omega _{1},n+1-\omega _{1},\dots ,\omega _{n/2},n+1-\omega _{n/2}\}=\{1,\dots ,n\},

y, para cada $Q i$ , las entradas de $v$ sobre las que actúa $Q i$ no son ambas cero. Por ejemplo, cuando $n = 4$ , una posible matriz es

{\begin{pmatrix}\cos(2\pi /5)&-\sin(2\pi /5)&0&0\\\sin(2\pi /5)&\cos(2\pi /5)&0&0\\0&0&\cos(4\pi /5)&-\sin(4\pi /5)\\0&0&\sin(4\pi /5)&\cos(4\pi /5)\end{pmatrix}}.

Aplicando esto al vector $(1, 0, 1, 0)$ se obtiene el simplex cuyos vértices son

{\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos(2\pi /5)\\\sin(2\pi /5)\\\cos(4\pi /5)\\\sin(4\pi /5)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos(4\pi /5)\\\sin(4\pi /5)\\\cos(8\pi /5)\\\sin(8\pi /5)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos(6\pi /5)\\\sin(6\pi /5)\\\cos(2\pi /5)\\\sin(2\pi /5)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos(8\pi /5)\\\sin(8\pi /5)\\\cos(6\pi /5)\\\sin(6\pi /5)\end{pmatrix}},

cada uno de los cuales tiene una distancia √5 de los demás. Cuando $n$ es impar, la condición significa que exactamente uno de los bloques diagonales es $1 \times 1$ , igual a $-1$ , y actúa sobre una entrada no nula de $v$ ; mientras que los bloques diagonales restantes, digamos $Q 1, ..., Q (n - 1) / 2$ , son $2 \times 2$ , hay una igualdad de conjuntos.

\left\{\omega _{1},-\omega _{1},\dots ,\omega _{(n-1)/2},-\omega _{(n-1)/2}\right\}=\left\{1,\dots ,(n-1)/2,(n+3)/2,\dots ,n\right\},

y cada bloque diagonal actúa sobre un par de entradas de $v$ que no son ambas cero. Así, por ejemplo, cuando $n = 3$ , la matriz puede ser

{\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&-1\\\end{pmatrix}}.

Para el vector $(1, 0, 1/ \sqrt 2)$ , el simplex resultante tiene vértices

{\begin{pmatrix}1\\0\\1/\surd 2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\-1/\surd 2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\0\\1/\surd 2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\-1\\-1/\surd 2\end{pmatrix}},

cada uno de los cuales tiene una distancia de 2 de los demás.

Propiedades geométricas

Volumen

El volumen de un $n$ -símplex en $un espacio$ $n$ -dimensional con vértices $(v₀, ..., vₙ)$ es

\mathrm {Volume} ={\frac {1}{n!}}\left|\det {\begin{pmatrix}v_{1}-v_{0}&&v_{2}-v_{0}&&\cdots &&v_{n}-v_{0}\end{pmatrix}}\right|

donde cada columna del determinante $n \times n$ es un vector que apunta desde el vértice $v$ $0$ a otro vértice $v$ $k$ . ^[¹¹^] Esta fórmula es particularmente útil cuando $v_{0}$ es el origen.

La expresión

\mathrm {Volume} ={\frac {1}{n!}}\det \left[{\begin{pmatrix}v_{1}^{\text{T}}-v_{0}^{\text{T}}\\v_{2}^{\text{T}}-v_{0}^{\text{T}}\\\vdots \\v_{n}^{\text{T}}-v_{0}^{\text{T}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}-v_{0}&v_{2}-v_{0}&\cdots &v_{n}-v_{0}\end{pmatrix}}\right]^{1/2}

emplea un determinante de Gram y funciona incluso cuando los vértices del $n$ -símplex están en un espacio euclidiano con más de $n$ dimensiones, por ejemplo, un triángulo en $\mathbf {R} ^{3}$ .

Una forma más simétrica de calcular el volumen de un $n$ -símplex en $\mathbf {R} ^{n}$ es ^{[ 12 ]}

\mathrm {Volume} ={1 \over n!}\left|\det {\begin{pmatrix}v_{0}&v_{1}&\cdots &v_{n}\\1&1&\cdots &1\end{pmatrix}}\right|,

y esto se puede extender a $n + 1$ vértices en $\mathbf {R} ^{m}$ para $m > n$ , como $1/ n!$ veces la raíz cuadrada de la diferencia de dos determinantes de Gram .

Otra forma común de calcular el volumen del simplex es mediante el determinante de Cayley-Menger , que funciona incluso cuando los vértices del n-símplex están en un espacio euclidiano con más de n dimensiones. ^{[ 13 ]}

Sin el $1/ n,$ es la fórmula para el volumen de un $n$ - paralelotopo . Esto se puede entender de la siguiente manera: Supongamos que $P$ es un $n$ -paralelotopo construido sobre una base $(v_{0},e_{1},\ldots ,e_{n})$ de $\mathbf {R} ^{n}$ . Dada una permutación $\sigma$ de $\{1,2,\ldots ,n\}$ , llamar a una lista de vértices $v_{0},\ v_{1},\ldots ,v_{n}$ un $n$ -path si

v_{1}=v_{0}+e_{\sigma (1)},\ v_{2}=v_{1}+e_{\sigma (2)},\ldots ,v_{n}=v_{n-1}+e_{\sigma (n)}

(por lo tanto hay $n!$ $n$ -caminos y $v_{n}$ no depende de la permutación). Se cumplen las siguientes afirmaciones:

Si $P$ es el $n$ -hipercubo unitario, entonces la unión de los $n$ -símplexes formados por la envoltura convexa de cada $n-$ camino es $P$ , y estos símplexes son congruentes y no se superponen dos a dos. ^{[ 14 ]} En particular, el volumen de tal símplex es

{\frac {\operatorname {Vol} (P)}{n!}}={\frac {1}{n!}}.

Si $P$ es un paralelepípedo general, las mismas afirmaciones se mantienen excepto que ya no es cierto, en dimensión > 2, que los símplexes deban ser congruentes por pares; sin embargo, sus volúmenes permanecen iguales, porque el $n$ -paralelopípedo es la imagen del $n$ -hipercubo unitario mediante el isomorfismo lineal que envía la base canónica de $\mathbf {R} ^{n}$ a $e_{1},\ldots ,e_{n}$ . Como se indicó anteriormente, esto implica que el volumen de un simplex proveniente de un camino $de n$ lados es:

{\frac {\operatorname {Vol} (P)}{n!}}={\frac {\det(e_{1},\ldots ,e_{n})}{n!}}.

Por el contrario, dado un $n$ -símplex $(v_{0},\ v_{1},\ v_{2},\ldots v_{n})$ de $\mathbf {R} ^{n}$ , se puede suponer que los vectores $e_{1}=v_{1}-v_{0},\ e_{2}=v_{2}-v_{1},\ldots e_{n}=v_{n}-v_{n-1}$ formar una base de $\mathbf {R} ^{n}$ . Considerando el paralelepípedo construido a partir de $v_{0}$ y $e_{1},\ldots ,e_{n}$ Se observa que la fórmula anterior es válida para cualquier simplex.

Finalmente, la fórmula al comienzo de esta sección se obtiene observando que

\det(v_{1}-v_{0},v_{2}-v_{0},\ldots ,v_{n}-v_{0})=\det(v_{1}-v_{0},v_{2}-v_{1},\ldots ,v_{n}-v_{n-1}).

De esta fórmula se deduce inmediatamente que el volumen bajo un $n$ -símplex estándar (es decir, entre el origen y el símplex en $R n +1$ ) es

{1 \over (n+1)!}

$El volumen de un n$ -símplex regular con longitud de lado unitaria es

{\frac {\sqrt {n+1}}{n!{\sqrt {2^{n}}}}}

como se puede ver multiplicando la fórmula anterior por $x n +1$ , para obtener el volumen bajo el $n-$ símplex como función de su distancia de vértice $x$ desde el origen, diferenciando con respecto a $x$ , en $x=1/{\sqrt {2}}$ (donde la longitud del lado $del n$ -símplex es 1), y normalizando por la longitud $dx/{\sqrt {n+1}}$ del incremento, $(dx/(n+1),\ldots ,dx/(n+1))$ , a lo largo del vector normal.

Ángulos diedros del n -símplex regular

Cualquier par de caras $(n - 1)$ dimensionales de un símplex regular $n$ dimensional son a su vez símplices regulares $(n - 1)$ dimensionales, y tienen el mismo ángulo diedro de $cos -1 (1/ n)$ . ^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}

Esto se puede observar al notar que el centro del simplex estándar es ${\textstyle \left({\frac {1}{n+1}},\dots ,{\frac {1}{n+1}}\right)}$ y los centros de sus caras son permutaciones de coordenadas de ${\textstyle \left(0,{\frac {1}{n}},\dots ,{\frac {1}{n}}\right)}$ . Entonces, por simetría, el vector que apunta desde ${\textstyle \left({\frac {1}{n+1}},\dots ,{\frac {1}{n+1}}\right)}$ a ${\textstyle \left(0,{\frac {1}{n}},\dots ,{\frac {1}{n}}\right)}$ es perpendicular a las caras. Por lo tanto, los vectores normales a las caras son permutaciones de $(-n,1,\dots ,1)$ , a partir de los cuales se calculan los ángulos diedros.

Símplices con una "esquina ortogonal"

Un "esquina ortogonal" significa que existe un vértice en el que todas las aristas adyacentes son ortogonales entre sí. De ello se deduce inmediatamente que todas las caras adyacentes también lo son. Estos símplices son generalizaciones de triángulos rectángulos y para ellos existe una versión $n$ -dimensional del teorema de Pitágoras : la suma de los volúmenes al cuadrado $(n -1)$ -dimensionales de las caras adyacentes a la esquina ortogonal es igual al volumen al cuadrado $(n -1)$ -dimensional de la cara opuesta a la esquina ortogonal.

\sum _{k=1}^{n}|A_{k}|^{2}=|A_{0}|^{2}

dónde $A_{1}\ldots A_{n}$ ¿Son las facetas ortogonales entre sí por pares pero no ortogonales entre sí? $A_{0}$ , que es la faceta opuesta a la esquina ortogonal. ^{[ 17 ]}

Para un 2-símplex, el teorema es el teorema de Pitágoras para triángulos con ángulo recto, y para un 3-símplex es el teorema de De Gua para un tetraedro con un vértice ortogonal.

Relación con el hipercubo ( n + 1)

El diagrama de Hasse de la red de caras de un $n-$ símplex es isomorfo al grafo de las aristas del hipercubo $(n$ + $1) , donde los vértices del hipercubo se corresponden con cada uno de los elementos del$ $n$ -símplex, incluyendo el símplex completo y el politopo nulo como puntos extremos de la red (correspondientes a dos vértices opuestos del hipercubo). Este hecho puede utilizarse para enumerar eficientemente la red de caras del símplex, dado que los algoritmos de enumeración de redes de caras más generales son computacionalmente más costosos.

El $n$ -símplex es también la figura de vértice del $(n + 1)$ -hipercubo . También es la faceta del $(n + 1)$ -ortoplexo .

Topología

Topológicamente , un $n$ -símplex es equivalente a una $n$ -bola . Todo $n$ -símplex es una variedad $n-$ dimensional con vértices .

Probabilidad

En teoría de la probabilidad, los puntos del $n$ -símplex estándar en el espacio $(n + 1)$ forman el espacio de posibles distribuciones de probabilidad sobre un conjunto finito que consta de $n + 1$ resultados posibles. La correspondencia es la siguiente: para cada distribución descrita como una $(n + 1)$ -tupla ordenada de probabilidades cuya suma es (necesariamente) 1, asociamos el punto del símplex cuyas coordenadas baricéntricas son precisamente esas probabilidades. Es decir, al $k$ -ésimo vértice del símplex se le asigna la $k$ -ésima probabilidad de la $(n + 1)$ -tupla como su coeficiente baricéntrico. Esta correspondencia es un homeomorfismo afín.

Geometría de Aitchison

La geometría de Aitchinson es una forma natural de construir un espacio de producto interno a partir del simplex estándar. $\Delta ^{D-1}$ Define las siguientes operaciones sobre símplices y números reales:

Perturbación (adición)

x\oplus y=\left[{\frac {x_{1}y_{1}}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}y_{i}}},{\frac {x_{2}y_{2}}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}y_{i}}},\dots ,{\frac {x_{D}y_{D}}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}y_{i}}}\right]\qquad \forall x,y\in \Delta ^{D-1}

Potenciación (multiplicación escalar)

\alpha \odot x=\left[{\frac {x_{1}^{\alpha }}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}^{\alpha }}},{\frac {x_{2}^{\alpha }}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}^{\alpha }}},\ldots ,{\frac {x_{D}^{\alpha }}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}^{\alpha }}}\right]\qquad \forall x\in \Delta ^{D-1},\;\alpha \in \mathbb {R}

Producto interno

\langle x,y\rangle ={\frac {1}{2D}}\sum _{i=1}^{D}\sum _{j=1}^{D}\log {\frac {x_{i}}{x_{j}}}\log {\frac {y_{i}}{y_{j}}}\qquad \forall x,y\in \Delta ^{D-1}

compuestos

Dado que todos los símplices son autoduales, pueden formar una serie de compuestos;

Dos triángulos forman un hexagrama {6/2}.
Dos tetraedros forman un compuesto de dos tetraedros o stella octangula .
Dos celdas de 5 elementos forman un compuesto de dos celdas de 5 elementos en cuatro dimensiones.

Topología algebraica

En topología algebraica , los símplices se utilizan como bloques de construcción para formar una interesante clase de espacios topológicos llamados complejos simpliciales . Estos espacios se construyen a partir de símplices unidos mediante una combinación . Los complejos simpliciales se utilizan para definir un tipo específico de homología llamado homología simplicial .

Un conjunto finito de $k$ -símplexes incrustados en un subconjunto abierto de $R n$ se denomina cadena afín $k$ - símplex . Los símplexes de una cadena no tienen por qué ser únicos; pueden aparecer con multiplicidad . En lugar de utilizar la notación de conjuntos estándar para denotar una cadena afín, se suele emplear el signo más para separar cada elemento del conjunto. Si algunos símplexes tienen la orientación opuesta , se les antepone un signo menos. Si algunos símplexes aparecen más de una vez en el conjunto, se les antepone un número entero. De este modo, una cadena afín adopta la forma simbólica de una suma con coeficientes enteros.

Nótese que cada faceta de un $n$ -símplex es un $(n -1)$ -símplex afín, y por lo tanto, el límite de un $n$ -símplex es una $(n -1)$ -cadena afín. Así, si denotamos un símplex afín orientado positivamente como

\sigma =[v_{0},v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}]

con el $v_{j}$ denotando los vértices, luego el límite $\partial \sigma$ de $σ$ es la cadena

\partial \sigma =\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}[v_{0},\ldots ,v_{j-1},v_{j+1},\ldots ,v_{n}].

De esta expresión, y de la linealidad del operador de frontera, se deduce que la frontera de la frontera de un simplex es cero:

\partial ^{2}\sigma =\partial \left(\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}[v_{0},\ldots ,v_{j-1},v_{j+1},\ldots ,v_{n}]\right)=0.

Asimismo, el límite del límite de una cadena es cero: $\partial ^{2}\rho =0$ .

De forma más general, un simplex (y una cadena) pueden incrustarse en una variedad mediante una aplicación suave y diferenciable. $f:\mathbf {R} ^{n}\to M$ . En este caso, tanto la convención de suma para denotar el conjunto como la operación de frontera conmutan con la incrustación . Es decir,

f\left(\sum \nolimits _{i}a_{i}\sigma _{i}\right)=\sum \nolimits _{i}a_{i}f(\sigma _{i})

donde el $a_{i}$ son los enteros que denotan orientación y multiplicidad. Para el operador de frontera $\partial$ , uno tiene:

\partial f(\rho )=f(\partial \rho )

donde $ρ$ es una cadena. La operación de frontera conmuta con la aplicación porque, en última instancia, la cadena se define como un conjunto y poco más, y la operación de conjunto siempre conmuta con la operación de aplicación (por definición de una aplicación).

Un mapa continuo $f:\sigma \to X$ Una aplicación a un espacio topológico $X$ se denomina frecuentemente $n-$ símplex singular . (Una aplicación se denomina generalmente "singular" si carece de alguna propiedad deseable, como la continuidad, y en este caso, el término se refiere al hecho de que la aplicación continua no tiene por qué ser una inmersión). ^{[ 18 ]}

Geometría algebraica

Dado que la geometría algebraica clásica permite hablar de ecuaciones polinómicas pero no de desigualdades, el n-símplex estándar algebraico se define comúnmente como el subconjunto del espacio afín $(n + 1)$ dimensional, donde todas las coordenadas suman 1 (omitiendo así la parte de la desigualdad). La descripción algebraica de este conjunto es $\Delta ^{n}:=\left\{x\in \mathbb {A} ^{n+1}~{\Bigg |}~\sum _{i=1}^{n+1}x_{i}=1\right\},$ lo cual equivale a la descripción teórica del esquema $\Delta _{n}(R)=\operatorname {Spec} (R[\Delta ^{n}])$ con $R[\Delta ^{n}]:=R[x_{1},\ldots ,x_{n+1}]\left/\left(1-\sum x_{i}\right)\right.$ el anillo de funciones regulares sobre el $n-$ símplex algebraico (para cualquier anillo) $R$ ).

Al utilizar las mismas definiciones que para el $n$ -símplex clásico, los $n$ -símplices para diferentes dimensiones $n$ se ensamblan en un objeto simplicial , mientras que los anillos $R[\Delta ^{n}]$ ensamblarse en un objeto cosimplicial $R[\Delta ^{\bullet }]$ (en la categoría de esquemas o anillos, ya que los mapas de caras y degeneración son todos polinomiales).

Los $n$ -símplices algebraicos se utilizan en la teoría K superior y en la definición de grupos de Chow superiores .

Aplicaciones

En estadística , los símplices son espacios muestrales de datos composicionales y también se utilizan para representar gráficamente cantidades que suman 1, como las proporciones de subpoblaciones, como en un diagrama ternario .
En teoría de la probabilidad , un espacio simplex se utiliza a menudo para representar el espacio de distribuciones de probabilidad. La distribución de Dirichlet , por ejemplo, se define en un espacio simplex.
En estadística industrial , los símplices surgen en la formulación de problemas y en la solución algorítmica. En el diseño de pan, el productor debe combinar levadura, harina, agua, azúcar, etc. En tales mezclas , solo importan las proporciones relativas de los ingredientes: para una mezcla de pan óptima, si se duplica la harina, también se debe duplicar la levadura. Estos problemas de mezcla se formulan a menudo con restricciones normalizadas, de modo que los componentes no negativos sumen uno, en cuyo caso la región factible forma un símplice. La calidad de las mezclas de pan se puede estimar utilizando la metodología de superficie de respuesta , y luego se puede calcular un máximo local utilizando un método de programación no lineal , como la programación cuadrática secuencial . ^{[ 19 ]}
En la investigación operativa , los problemas de programación lineal se pueden resolver mediante el algoritmo simplex de George Dantzig .
En la teoría de juegos , las estrategias pueden representarse como puntos dentro de un simplex. Esta representación simplifica el análisis de estrategias mixtas.
En diseño geométrico y gráficos por computadora , muchos métodos primero realizan triangulaciones simpliciales del dominio y luego ajustan polinomios interpoladores a cada simplex. ^{[ 20 ]}
En química , los hidruros de la mayoría de los elementos del bloque p pueden asemejarse a un simplex si se conectan todos los átomos. El neón no reacciona con el hidrógeno y, por lo tanto, es un punto ; el flúor se enlaza con un átomo de hidrógeno y forma un segmento de línea; el oxígeno se enlaza con dos átomos de hidrógeno de forma angular , formando un triángulo; el nitrógeno reacciona para formar un tetraedro ; y el carbono forma una estructura similar a un diagrama de Schlegel de la celda 5. Esta tendencia se mantiene para los análogos más pesados de cada elemento, así como si el átomo de hidrógeno se reemplaza por un átomo de halógeno .
En algunos enfoques de la gravedad cuántica , como el cálculo de Regge y las triangulaciones dinámicas causales , los símplices se utilizan como bloques de construcción de discretizaciones del espacio-tiempo; es decir, para construir variedades simpliciales .

Véase también

Notas

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Referencias

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[Boyd-2] Boyd y Vandenberghe 2004

[3] Clifford, WK (1866). "Problema 1878 (propuesto y resuelto por el proponente)". En Miller, WJC (ed.). Problemas matemáticos con sus soluciones del Educational Times.. Vol. VI. Londres: CF Hodgson & Son. págs. 83–87 . Consultado el 4 de marzo de 2026 .

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[14] Cada $n$ -camino correspondiente a una permutación $\scriptstyle \sigma$ es la imagen de la ruta $n$ $\scriptstyle v_{0},\ v_{0}+e_{1},\ v_{0}+e_{1}+e_{2},\ldots v_{0}+e_{1}+\cdots +e_{n}$ por la isometría afín que envía $\scriptstyle v_{0}$ a $\scriptstyle v_{0}$ y cuya parte lineal coincide $\scriptstyle e_{i}$ a $\scriptstyle e_{\sigma (i)}$ para todo $i$ . Por lo tanto, cada dos $n-$ caminos son isométricos, al igual que sus envolventes convexas; esto explica la congruencia de los símplexes. Para demostrar las demás afirmaciones, basta con observar que el interior del símplex determinado por el $n$ -camino $\scriptstyle v_{0},\ v_{0}+e_{\sigma (1)},\ v_{0}+e_{\sigma (1)}+e_{\sigma (2)}\ldots v_{0}+e_{\sigma (1)}+\cdots +e_{\sigma (n)}$ es el conjunto de puntos $\scriptstyle v_{0}+(x_{1}+\cdots +x_{n})e_{\sigma (1)}+\cdots +(x_{n-1}+x_{n})e_{\sigma (n-1)}+x_{n}e_{\sigma (n)}$ , con $\scriptstyle 0<x_{i}<1$ y $\scriptstyle x_{1}+\cdots +x_{n}<1.$ Por lo tanto, los componentes de estos puntos con respecto a cada base permutada correspondiente están estrictamente ordenados en orden decreciente. Eso explica por qué los símplexes no se superponen. El hecho de que la unión de los símplexes sea el $n-$ hipercubo unitario completo también se deduce, reemplazando las desigualdades estrictas anteriores por " $\scriptstyle \leq$ "Los mismos argumentos son válidos también para un paralelepípedo general, excepto por la isometría entre los símplexes."

[15] Parks, Harold R. ; Wills, Dean C. (octubre de 2002). "Un cálculo elemental del ángulo diedro del $n$ -símplex regular". American Mathematical Monthly . 109 (8): 756– 8. doi : 10.2307/3072403 . JSTOR 3072403 .

[16] Wills, Harold R.; Parks, Dean C. (junio de 2009). Conexiones entre la combinatoria de permutaciones y los algoritmos y la geometría (tesis doctoral). Universidad Estatal de Oregón. hdl : 1957/11929 .

[17] Donchian, PS; Coxeter, HSM (julio de 1935). " 1142. Una extensión n-dimensional del teorema de Pitágoras". The Mathematical Gazette . 19 (234): 206. doi : 10.2307/3605876 . JSTOR 3605876. S2CID 125391795 .

[18] Lee, John M. (2006). Introducción a las variedades topológicas . Springer. págs. 292–293 . ISBN 978-0-387-22727-6.

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[20] Vondran, Gary L. (abril de 1998). "Técnicas de interpolación tetraédrica radial y podada" (PDF) . Informe técnico de HP . HPL-98-95: 1–32 . Archivado del original (PDF) el 7 de junio de 2011. Consultado el 11 de noviembre de 2009 .

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