Polinomio

Los polinomios se pueden sumar utilizando la ley asociativa de la suma (agrupando todos sus términos en una sola suma), posiblemente seguida de una reordenación (utilizando la ley conmutativa ) y la combinación de términos semejantes. ^{[ 11 ] [ 17 ]} Por ejemplo, si $${\displaystyle P=3x^{2}-2x+5xy-2}$$y$${\displaystyle Q=-3x^{2}+3x+4y^{2}+8}$$ entonces la suma $${\displaystyle P+Q=3x^{2}-2x+5xy-2-3x^{2}+3x+4y^{2}+8}$$ se pueden reordenar y reagrupar como $${\displaystyle P+Q=(3x^{2}-3x^{2})+(-2x+3x)+5xy+4y^{2}+(8-2)}$$ y luego simplificado a $${\displaystyle P+Q=x+5xy+4y^{2}+6.}$$ Cuando se suman polinomios, el resultado es otro polinomio. ^{[ 18 ]}

La resta de polinomios es similar.

Los polinomios también se pueden multiplicar. Para expandir el producto de dos polinomios en una suma de términos, se aplica repetidamente la propiedad distributiva, lo que da como resultado que cada término de un polinomio se multiplique por cada término del otro. ^{[ 11 ]} Por ejemplo, si $${\displaystyle {\begin{aligned}\color {Red}P\,&\color {Red}{=2x+3y+5}\\\color {Blue}Q\,&{\color {Blue}{=2x+5y+xy+1}},\end{aligned}}}$$ entonces $${\displaystyle {\begin{array}{rccrcrcrcr}{\color {Red}{P}}{\color {Blue}{Q}}&{=}&&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{2x}})&+&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{5y}})&+&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{xy}})&+&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{1}})\\&&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{2x}})&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{5y}})&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{xy}})&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{1}})\\&&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{2x}})&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{5y}})&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{xy}})&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{1}})\end{array}}}$$ Realizar la multiplicación en cada término produce $${\displaystyle {\begin{array}{rccrcrcrcr}PQ&=&&4x^{2}&+&10xy&+&2x^{2}y&+&2x\\&&+&6xy&+&15y^{2}&+&3xy^{2}&+&3y\\&&+&10x&+&25y&+&5xy&+&5.\end{array}}}$$ La combinación de términos similares produce $${\displaystyle {\begin{array}{rcccrcrcrcr}PQ&=&&4x^{2}&+&(10xy+6xy+5xy)&+&2x^{2}y&+&(2x+10x)\\&&+&15y^{2}&+&3xy^{2}&+&(3y+25y)&+&5\end{array}}}$$ que se puede simplificar a $${\displaystyle PQ=4x^{2}+21xy+2x^{2}y+12x+15y^{2}+3xy^{2}+28y+5.}$$ Como en el ejemplo, el producto de polinomios siempre es un polinomio. ^{[ 18 ] [ 19 ]}

Dado un polinomio${\displaystyle f}$de una sola variable y otro polinomio${\displaystyle g}$de cualquier número de variables, la composición${\displaystyle f\circ g}$se obtiene sustituyendo cada copia de la variable del primer polinomio por el segundo polinomio. ^{[ 19 ]} Por ejemplo, si${\displaystyle f(x)=x^{2}+2x}$y${\displaystyle g(x)=3x+2}$entonces $${\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))=(3x+2)^{2}+2(3x+2).}$$ Una composición puede expandirse a una suma de términos utilizando las reglas de multiplicación y división de polinomios. La composición de dos polinomios es otro polinomio. ^{[ 20 ]}

La división de un polinomio entre otro no suele ser un polinomio. En cambio, tales razones son una familia más general de objetos, llamados fracciones racionales , expresiones racionales o funciones racionales , según el contexto. ^{[ 21 ]} Esto es análogo al hecho de que la razón de dos enteros es un número racional , no necesariamente un entero. ^{[ 22 ] [ 23 ]} Por ejemplo, la fracción${\displaystyle 1/(x^{2}+1)}$no es un polinomio y no se puede escribir como una suma finita de potencias de la variable.${\displaystyle x}$.

Para polinomios en una variable, existe una noción de división euclidiana de polinomios , que generaliza la división euclidiana de enteros. ^{[ e ]} Esta noción de la división${\displaystyle a(x)/b(x)}$da como resultado dos polinomios, un cociente${\displaystyle q(x)}$y un resto${\displaystyle r(x)}$, de tal manera que${\displaystyle a=bq+r}$y${\displaystyle \deg(r)<\deg(b)}$, dónde${\displaystyle \deg(p)}$es el grado de${\displaystyle p}$El cociente y el resto se pueden calcular mediante varios algoritmos, incluyendo la división larga de polinomios y la división sintética . ^{[ 24 ]}

Cuando el denominador${\displaystyle b(x)}$es mónico y lineal, es decir,${\displaystyle b(x)=x-c}$por alguna constante${\displaystyle c}$, entonces el teorema del resto polinomial afirma que el resto de la división de${\displaystyle a(x)}$por${\displaystyle b(x)}$es la evaluación${\displaystyle a(c)}$. ^{[ 23 ]} En este caso, el cociente puede calcularse mediante la regla de Ruffini , un caso especial de división sintética. ^{[ 25 ]}

Todos los polinomios con coeficientes en un dominio de factorización único (por ejemplo, los enteros o un cuerpo ) también tienen una forma factorizada en la que el polinomio se escribe como un producto de polinomios irreducibles y una constante. Esta forma factorizada es única salvo el orden de los factores y su multiplicación por una constante invertible. En el caso del cuerpo de los números complejos , los factores irreducibles son lineales. Sobre los números reales , tienen grado uno o dos. Sobre los enteros y los números racionales, los factores irreducibles pueden tener cualquier grado. ^{[ 26 ]} Por ejemplo, la forma factorizada de$${\displaystyle 5x^{3}-5}$$ es $${\displaystyle 5(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)}$$ sobre los números enteros y reales, y $${\displaystyle 5(x-1)\left(x+{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}}\right)\left(x+{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right)}$$ sobre los números complejos.

El cálculo de la forma factorizada, llamado factorización , es, en general, demasiado difícil para realizarse manualmente. Sin embargo, la mayoría de los sistemas de álgebra computacional disponen de algoritmos eficientes para la factorización de polinomios .

Calcular derivadas e integrales de polinomios es particularmente sencillo, en comparación con otros tipos de funciones. La derivada del polinomio$${\displaystyle P=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}$$con respecto a${\displaystyle x}$es el polinomio $${\displaystyle na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\dots +2a_{2}x+a_{1}=\sum _{i=1}^{n}ia_{i}x^{i-1}.}$$De manera similar, la antiderivada general (o integral indefinida) de${\displaystyle P}$es $${\displaystyle {\frac {a_{n}x^{n+1}}{n+1}}+{\frac {a_{n-1}x^{n}}{n}}+\dots +{\frac {a_{2}x^{3}}{3}}+{\frac {a_{1}x^{2}}{2}}+a_{0}x+c=c+\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}x^{i+1}}{i+1}}}$$ dónde${\displaystyle c}$es una constante arbitraria. Por ejemplo, las antiderivadas de${\displaystyle x^{2}+1}$tener la forma${\displaystyle {\frac {1}{3}}x^{3}+x+c}$.

Para polinomios cuyos coeficientes provienen de contextos más abstractos (por ejemplo, si los coeficientes son enteros módulo algún número primo)${\displaystyle p}$, o elementos de un anillo arbitrario), la fórmula para la derivada aún puede interpretarse formalmente, con el coeficiente${\displaystyle ka_{k}}$entendido que significa la suma de${\displaystyle k}$copias de${\displaystyle a_{k}}$. Por ejemplo, sobre los enteros módulo${\displaystyle p}$, la derivada del polinomio${\displaystyle x^{p}+x}$es el polinomio${\displaystyle 1}$. ^{[ 27 ]}

Una función polinómica en una variable real puede representarse mediante una gráfica .

• La gráfica del polinomio cero
  f ( x ) = 0
  es el eje x .
• La gráfica de un polinomio de grado 0
  f ( x ) = a ₀ , donde a ₀ ≠ 0 ,
  es una línea horizontal con intersección en el eje y a ₀
• La gráfica de un polinomio (o función lineal) de grado 1.
  f ( x ) = a ₀ + a ₁ x , donde a ₁ ≠ 0 ,
  es una línea oblicua con intersección en el eje y a ₀ y pendiente a ₁ .
• La gráfica de un polinomio de grado 2
  f ( x ) = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² , donde a ₂ ≠ 0
  es una parábola .
• La gráfica de un polinomio de grado 3
  f ( x ) = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² + a ₃ x ³ , donde a ₃ ≠ 0
  es una curva cúbica .
• La gráfica de cualquier polinomio de grado 2 o superior.
  f ( x ) = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² + ⋯ + a _n x ⁿ , donde a _n ≠ 0 y n ≥ 2
  es una curva no lineal continua.

Una función polinómica no constante tiende a infinito cuando la variable aumenta indefinidamente (en valor absoluto ). Si el grado es mayor que uno, la gráfica no tiene asíntota . Tiene dos ramas parabólicas con dirección vertical (una rama para x positivo y otra para x negativo ).

En cálculo, las gráficas de polinomios se analizan utilizando las intersecciones con los ejes, las pendientes, la concavidad y el comportamiento en los extremos.

Una raíz de un polinomio univariado no nulo P es un valor a de x tal que P ( a ) = 0. En otras palabras, una raíz de P es una solución de la ecuación polinómica P ( x ) = 0 o un cero de la función polinómica definida por P. En el caso de un polinomio nulo, cualquier número es un cero de la función correspondiente, y el concepto de raíz rara vez se considera.

Un número a es raíz de un polinomio P si y solo si el polinomio lineal x − a divide a P , es decir, si existe otro polinomio Q tal que P = ( x − a ) Q . Puede ocurrir que una potencia (mayor que 1 ) de x − a divida a P ; en este caso, a es una raíz múltiple de P , y en caso contrario, a es una raíz simple de P . Si P es un polinomio distinto de cero, existe una potencia máxima m tal que ( x − a ) ^m divide a P , que se denomina multiplicidad de a como raíz de P . El número de raíces de un polinomio distinto de cero P , contadas con sus respectivas multiplicidades, no puede exceder el grado de P , ^{[ 29 ]} y es igual a este grado si se consideran todas las raíces complejas (esto es una consecuencia del teorema fundamental del álgebra ). Los coeficientes de un polinomio y sus raíces están relacionados por las fórmulas de Vieta .

Algunos polinomios, como x² + 1 , no tienen raíces reales . Sin embargo, si se amplía el conjunto de soluciones aceptadas a los números complejos , todo polinomio no constante tiene al menos una raíz; este es el teorema fundamental del álgebra . Al dividir sucesivamente los factores ^x − a , se observa que cualquier polinomio con coeficientes complejos puede escribirse como una constante (su coeficiente principal) multiplicada por un producto de dichos factores polinómicos de grado  1; en consecuencia, el número de raíces (complejas) contadas con sus multiplicidades es exactamente igual al grado del polinomio.

Puede haber varios significados de "resolver una ecuación" . Se puede querer expresar las soluciones como números explícitos; por ejemplo, la solución única de 2x − 1 = 0 es 1/2 . Esto es, en general, imposible para ecuaciones de grado mayor que uno, y, desde la antigüedad, los matemáticos han buscado expresar las soluciones como expresiones algebraicas ; por ejemplo, la razón áurea (1 + √5 ) /2 es la solución positiva única de x² − x ⁻ 1 = 0. En la antigüedad, solo lo lograron para grados uno y dos. Para ecuaciones cuadráticas , la fórmula cuadrática proporciona tales expresiones de las soluciones. Desde el siglo XVI, se conocen fórmulas similares (que utilizan raíces cúbicas además de raíces cuadradas), aunque mucho más complicadas, para ecuaciones de grado tres y cuatro (véase ecuación cúbica y ecuación cuártica ). Pero las fórmulas para grado 5 y superior eludieron a los investigadores durante varios siglos. En 1824, Niels Henrik Abel demostró el sorprendente resultado de que existen ecuaciones de grado 5 cuyas soluciones no pueden expresarse mediante una fórmula (finita) que involucre únicamente operaciones aritméticas y radicales (véase el teorema de Abel-Ruffini ). En 1830, Évariste Galois demostró que la mayoría de las ecuaciones de grado superior a cuatro no pueden resolverse mediante radicales, y mostró que para cada ecuación se puede determinar si es resoluble mediante radicales y, de ser así, resolverla. Este resultado marcó el inicio de la teoría de Galois y la teoría de grupos , dos ramas importantes del álgebra moderna . El propio Galois señaló que los cálculos que implicaba su método eran impracticables. Sin embargo, se han publicado fórmulas para ecuaciones resolubles de grados 5 y 6 (véase la función quíntica y la ecuación séxtica ).

Cuando no existe una expresión algebraica para las raíces, y cuando dicha expresión existe pero es demasiado compleja para ser útil, la única forma de resolverla es calcular aproximaciones numéricas de las soluciones. ^{[ 30 ]} Existen muchos métodos para ello; algunos se limitan a polinomios y otros pueden aplicarse a cualquier función continua . Los algoritmos más eficientes permiten resolver fácilmente (en una computadora ) ecuaciones polinómicas de grado superior a 1000 (véase Algoritmo de búsqueda de raíces ).

Para polinomios con más de una indeterminada, las combinaciones de valores de las variables para las cuales la función polinómica toma el valor cero se denominan generalmente ceros en lugar de raíces. El estudio de los conjuntos de ceros de los polinomios es objeto de la geometría algebraica . Para un sistema de ecuaciones polinómicas con varias incógnitas, existen algoritmos para determinar si tienen un número finito de soluciones complejas y, si este número es finito, para calcular dichas soluciones. Véase Sistema de ecuaciones polinómicas .

El caso especial en el que todos los polinomios son de grado uno se denomina sistema de ecuaciones lineales , para el cual existe otra gama de diferentes métodos de solución , incluida la eliminación gaussiana clásica .

Una ecuación polinómica cuyas soluciones enteras son de interés se denomina ecuación diofántica . Resolver ecuaciones diofánticas suele ser una tarea muy difícil. Se ha demostrado que no existe un algoritmo general para resolverlas, ni siquiera para determinar si el conjunto de soluciones es vacío (véase el décimo problema de Hilbert ). Algunos de los problemas más famosos resueltos en los últimos cincuenta años están relacionados con ecuaciones diofánticas, como el último teorema de Fermat .

Un polinomio trigonométrico es una combinación lineal finita de las funciones sin( nx ) y cos( nx ), donde n toma los valores de uno o más números naturales . ^{[ 31 ]} Los coeficientes pueden tomarse como números reales, para funciones de valor real.

Si sen( nx ) y cos( nx ) se expanden en términos de sen( x ) y cos( x ), un polinomio trigonométrico se convierte en un polinomio en las variables sen( x ) y cos( x ) (utilizando las fórmulas de ángulos múltiples ). Recíprocamente, todo polinomio en sen( x ) y cos( x ) puede transformarse, mediante identidades de producto a suma , en una combinación lineal de las funciones sen( nx ) y cos( nx ). Esta equivalencia explica por qué las combinaciones lineales se denominan polinomios.

Para coeficientes complejos , no hay diferencia entre dicha función y una serie de Fourier finita .

Los polinomios trigonométricos se utilizan ampliamente, por ejemplo, en la interpolación trigonométrica aplicada a la interpolación de funciones periódicas . También se utilizan en la transformada discreta de Fourier .

Un polinomio matricial es un polinomio con matrices cuadradas como variables. ^{[ 32 ]} Dado un polinomio ordinario con valores escalares $${\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n},}$$ Este polinomio evaluado en una matriz A es $${\displaystyle P(A)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}A^{i}}=a_{0}I+a_{1}A+a_{2}A^{2}+\cdots +a_{n}A^{n},}$$ donde I es la matriz identidad . ^{[ 33 ]}

Una ecuación polinómica matricial es una igualdad entre dos polinomios matriciales que se cumple para las matrices específicas en cuestión. Una identidad polinómica matricial es una ecuación polinómica matricial que se cumple para todas las matrices A en un anillo matricial M _n ( R ).

Un polinomio bivariado donde la segunda variable se sustituye por una función exponencial aplicada a la primera variable, por ejemplo P ( x , e ^x ) , puede llamarse polinomio exponencial .

Una fracción racional es el cociente ( fracción algebraica ) de dos polinomios. Cualquier expresión algebraica que pueda reescribirse como una fracción racional es una función racional .

Mientras que las funciones polinómicas están definidas para todos los valores de las variables, una función racional está definida solo para los valores de las variables para los que el denominador no es cero.

Las fracciones racionales incluyen los polinomios de Laurent, pero no limitan los denominadores a potencias de una indeterminada.

Los polinomios de Laurent son como los polinomios, pero permiten que aparezcan potencias negativas de la(s) variable(s).

Las series de potencias formales son como polinomios, pero permiten un número infinito de términos distintos de cero, por lo que no tienen grado finito. A diferencia de los polinomios, en general no se pueden escribir de forma explícita y completa (al igual que los números irracionales ), pero las reglas para manipular sus términos son las mismas que para los polinomios. Las series de potencias no formales también generalizan los polinomios, pero la multiplicación de dos series de potencias puede no converger.

Si R es un dominio de integridad y f y g son polinomios en R [ x ] , se dice que f divide a g o que f es un divisor de g si existe un polinomio q en R [ x ] tal que f q = g .${\displaystyle a\in R,}$entonces a es una raíz de f si y solo si${\displaystyle x-a}$divide f . En este caso, el cociente se puede calcular utilizando la división larga de polinomios . ^{[ 34 ] [ 35 ]}

Si F es un cuerpo y f y g son polinomios en F [ x ] con g ≠ 0 , entonces existen polinomios únicos q y r en F [ x ] con $${\displaystyle f=q\,g+r}$$y de tal manera que el grado de r sea menor que el grado de g (usando la convención de que el polinomio 0 tiene grado negativo). Los polinomios q y r están determinados unívocamente por f y g . Esto se llama división euclidiana , división con resto o división larga de polinomios y muestra que el anillo F [ x ] es un dominio euclidiano .

De forma análoga, los polinomios primos (o, más correctamente, polinomios irreducibles ) se definen como polinomios distintos de cero que no pueden factorizarse en el producto de dos polinomios no constantes . En el caso de coeficientes en un anillo, «no constante» debe sustituirse por «no constante o no unitario » (ambas definiciones coinciden en el caso de coeficientes en un cuerpo). Cualquier polinomio puede descomponerse en el producto de una constante invertible por un producto de polinomios irreducibles. Si los coeficientes pertenecen a un cuerpo o a un dominio de factorización único, esta descomposición es única salvo el orden de los factores y la multiplicación de cualquier factor no unitario por una unidad (y la división del factor unitario por la misma unidad). Cuando los coeficientes pertenecen a enteros, números racionales o a un cuerpo finito, existen algoritmos para comprobar la irreducibilidad y calcular la factorización en polinomios irreducibles (véase Factorización de polinomios ). Estos algoritmos no son prácticos para cálculos manuales, pero están disponibles en cualquier sistema de álgebra computacional . El criterio de Eisenstein también puede utilizarse en algunos casos para determinar la irreducibilidad.

En los sistemas de numeración posicional modernos, como el sistema decimal , los dígitos y sus posiciones en la representación de un entero, por ejemplo, 45, son una notación abreviada para un polinomio en la base , en este caso, 4 × 10¹ ⁺ 5 × 10⁰ ^. Como otro ejemplo, en base 5, una cadena de dígitos como 132 denota el número (decimal) 1 × ^5² + 3 × ^5¹ + 2 × ^5⁰ = 42. Esta representación es única. Sea b un entero positivo mayor que 1. Entonces, todo entero positivo a puede expresarse de forma única en la forma

$${\displaystyle a=r_{m}b^{m}+r_{m-1}b^{m-1}+\dotsb +r_{1}b+r_{0},}$$ donde m es un entero no negativo y los r son enteros tales que

0 < r _m < b y 0 ≤ r _i < b para i = 0, 1, . . . , m − 1 . ^{[ 36 ]}

La estructura simple de las funciones polinómicas las hace muy útiles para analizar funciones generales mediante aproximaciones polinómicas. Un ejemplo importante en cálculo es el teorema de Taylor , que establece, a grandes rasgos, que toda función diferenciable se asemeja localmente a una función polinómica, y el teorema de Stone-Weierstrass , que establece que toda función continua definida en un intervalo compacto del eje real puede aproximarse en todo el intervalo con la precisión deseada mediante una función polinómica. Entre los métodos prácticos de aproximación se incluyen la interpolación polinómica y el uso de splines . ^{[ 37 ]}

Los polinomios se utilizan frecuentemente para codificar información sobre algún otro objeto. En álgebra lineal , el polinomio característico de una matriz o un operador lineal contiene información sobre los autovalores del operador . En teoría de campos , el polinomio mínimo de un elemento algebraico registra la relación algebraica más simple que satisface dicho elemento. ^{[ 38 ]} En teoría algebraica de grafos , el polinomio cromático de un grafo cuenta el número de coloraciones propias de ese grafo. ^{[ 39 ]}

El término "polinomial", como adjetivo, también puede usarse para cantidades o funciones que se pueden expresar en forma polinomial. Por ejemplo, en la teoría de la complejidad computacional, la expresión " tiempo polinomial" significa que el tiempo que tarda en completarse un algoritmo está acotado por una función polinomial de alguna variable, como el tamaño de la entrada.

El primer uso conocido del signo de igualdad se encuentra en The Whetstone of Witte de Robert Recorde , 1557. Los signos + para la suma, − para la resta y el uso de una letra para una incógnita aparecen en Arithemetica integra de Michael Stifel , 1544. René Descartes , en La géometrie , 1637, introdujo el concepto de la gráfica de una ecuación polinómica. Popularizó el uso de letras del principio del alfabeto para denotar constantes y letras del final del alfabeto para denotar variables, como se puede ver arriba, en la fórmula general para un polinomio en una variable, donde las a denotan constantes y x denota una variable. Descartes también introdujo el uso de superíndices para denotar exponentes. ^{[ 40 ]}