Función constante

En matemáticas , una función constante es una función cuyo valor (de salida) es el mismo para cada valor de entrada.

Como función de valor real de un argumento de valor real, una función constante tiene la forma general y ( x ) = c o simplemente y = c . Por ejemplo, la función y ( x ) = 4 es la función constante específica cuyo valor de salida es c = 4. El dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales . La imagen de esta función es el conjunto unitario {4} . La variable independiente x no aparece en el lado derecho de la expresión de la función, por lo que su valor se "sustituye trivialmente"; es decir, y (0) = 4 , y (−2.7) = 4 , y (π) = 4 , y así sucesivamente. Independientemente del valor de x que se introduzca, la salida es 4. ^{[ 1 ]}

La gráfica de la función constante y = c es una línea horizontal en el plano que pasa por el punto (0, c ) . ^{[ 2 ]} En el contexto de un polinomio en una variable x , la función constante se llama función constante no nula porque es un polinomio de grado 0, y su forma general es f ( x ) = c , donde c es distinto de cero. Esta función no tiene punto de intersección con el eje x , lo que significa que no tiene raíz (cero) . Por otro lado, el polinomio f ( x ) = 0 es la función idénticamente nula . Es la función constante (trivial) y cada x es una raíz. Su gráfica es el eje x en el plano. ^{[ 3 ]} Su gráfica es simétrica con respecto al eje y , y por lo tanto una función constante es una función par . ^{[ 4 ]}

En el contexto en el que se define, la derivada de una función es una medida de la tasa de cambio de los valores de la función con respecto al cambio en los valores de entrada. Dado que una función constante no cambia, su derivada es 0. ^{[ 5 ]} Esto se suele escribir:${\displaystyle (x\mapsto c)'=0}$. Lo contrario también es cierto. Es decir, si y ′( x ) = 0 para todos los números reales x , entonces y es una función constante. ^{[ 6 ]} Por ejemplo, dada la función constante${\displaystyle y(x)=-{\sqrt {2}}}$La derivada de y es la función idénticamente cero .${\displaystyle y'(x)=\left(x\mapsto -{\sqrt {2}}\right)'=0}$.

Para funciones entre conjuntos preordenados , las funciones constantes son tanto preservadoras como inversoras del orden ; recíprocamente, si f es tanto preservadora como inversora del orden, y si el dominio de f es una red , entonces f debe ser constante.

• Toda función constante cuyo dominio y codominio son el mismo conjunto X es un cero izquierdo del monoide de transformación completa en X , lo que implica que también es idempotente .
• Tiene pendiente o gradiente cero .
• Toda función constante entre espacios topológicos es continua .
• Una función constante se factoriza a través del conjunto de un punto , el objeto terminal en la categoría de conjuntos . Esta observación es fundamental para la axiomatización de la teoría de conjuntos de F. William Lawvere , la Teoría Elemental de la Categoría de Conjuntos (ETCS). ^{[ 7 ]}
• Para cualquier X no vacío , todo conjunto Y es isomorfo al conjunto de funciones constantes en${\displaystyle X\to Y}$. Para cualquier X y cada elemento y en Y , existe una función única${\displaystyle {\tilde {y}}:X\a Y}$de tal manera que${\displaystyle {\tilde {y}}(x)=y}$a pesar de${\displaystyle x\in X}$. Por el contrario, si una función${\displaystyle f:X\to Y}$Satisface${\displaystyle f(x)=f(x')}$a pesar de${\displaystyle x,x'\in X}$,${\displaystyle f}$es por definición una función constante.
  • Como corolario, el conjunto de un punto es un generador en la categoría de conjuntos.
  • Cada conjunto${\displaystyle X}$es canónicamente isomorfo al conjunto de funciones${\displaystyle X^{1}}$, o conjunto de inicio${\displaystyle \operatorname {hom} (1,X)}$en la categoría de conjuntos, donde 1 es el conjunto de un punto. Debido a esto, y a la adjunción entre productos cartesianos y hom en la categoría de conjuntos (por lo que existe un isomorfismo canónico entre funciones de dos variables y funciones de una variable valoradas en funciones de otra (única) variable,${\displaystyle \operatorname {hom} (X\times Y,Z)\cong \operatorname {hom} (X(\operatorname {hom} (Y,Z))}$) la categoría de conjuntos es una categoría monoidal cerrada con el producto cartesiano de conjuntos como producto tensorial y el conjunto de un punto como unidad tensorial. En los isomorfismos${\displaystyle \lambda :1\times X\cong X\cong X\times 1:\rho }$natural en X , los unificadores izquierdo y derecho son las proyecciones${\displaystyle p_{1}}$y${\displaystyle p_{2}}$los pares ordenados${\displaystyle (*,x)}$y${\displaystyle (x,*)}$respectivamente al elemento${\displaystyle x}$, dónde${\displaystyle *}$es el punto único en el conjunto de un punto.

Una función en un conjunto conexo es localmente constante si y solo si es constante.

• Herrlich, Horst y Strecker, George E., Teoría de categorías , Heldermann Verlag (2007).

• Weisstein, Eric W. "Función constante" . MathWorld .
• "Función constante" . PlanetMath .