Elemento absorbente

En matemáticas , un elemento absorbente (o elemento aniquilador ) es un tipo especial de elemento de un conjunto con respecto a una operación binaria sobre dicho conjunto. El resultado de combinar un elemento absorbente con cualquier elemento del conjunto es el propio elemento absorbente. En teoría de semigrupos , el elemento absorbente se denomina elemento cero ^{[ 1 ] [ 2 ]} porque no existe riesgo de confusión con otras nociones de cero , con la notable excepción de que, bajo notación aditiva, el cero puede, de forma natural, denotar el elemento neutro de un monoide. En este artículo, «elemento cero» y «elemento absorbente» son sinónimos.

Formalmente, dejemos${\displaystyle (S,*)}$ser un conjunto${\displaystyle S}$con una operación binaria cerrada${\displaystyle *}$sobre él (conocido como magma ). Un elemento cero (o un elemento absorbente / aniquilador ) es un elemento${\displaystyle z}$de tal manera que para todos${\displaystyle s}$en${\displaystyle S}$,${\displaystyle z*s=s*z=z}$. Esta noción se puede refinar a las nociones de cero izquierdo , donde solo se requiere que${\displaystyle z*s=z}$y cero derecho , donde${\displaystyle s*z=z}$. ^{[ 2 ]}

Los elementos absorbentes son particularmente interesantes para los semigrupos , especialmente el semigrupo multiplicativo de un semianillo . En el caso de un semianillo con${\displaystyle 0}$La definición de un elemento absorbente a veces se relaja de modo que no se requiere que absorba.${\displaystyle 0}$; de lo contrario,${\displaystyle 0}$sería el único elemento absorbente. ^{[ 3 ]}

• Si un magma tiene un cero a la izquierda${\displaystyle z}$y un cero a la derecha${\displaystyle z'}$, entonces tiene un cero, ya que${\displaystyle z=z*z'=z'}$.
• Un magma puede tener como máximo un elemento cero.

• El ejemplo más conocido de un elemento absorbente proviene del álgebra elemental, donde cualquier número multiplicado por cero es igual a cero. Por lo tanto, el cero es un elemento absorbente.
• El cero de cualquier anillo es también un elemento absorbente. Para un elemento${\displaystyle r}$de un anillo${\displaystyle R}$,${\displaystyle r0=r(0+0)=r0+r0}$, entonces${\displaystyle 0=r0}$, ya que cero es el elemento único${\displaystyle a}$para qué${\displaystyle rr=a}$para cualquier${\displaystyle r}$en el ring${\displaystyle R}$Esta propiedad también se cumple en un generador de números aleatorios , ya que no se requiere la identidad multiplicativa.
• La aritmética de punto flotante , tal como se define en el estándar IEEE-754, contiene un valor especial llamado Not-a-Number (${\displaystyle \mathrm {NaN}}$). Es un elemento absorbente para cada operación; es decir,${\displaystyle x+\mathrm {NaN} =\mathrm {NaN} +x=\mathrm {NaN} }$,${\displaystyle x-\mathrm {NaN} =\mathrm {NaN} -x=\mathrm {NaN} }$, etc.
• El conjunto de relaciones binarias sobre un conjunto${\displaystyle X}$, junto con la composición de relaciones forma un monoide con cero, donde el elemento cero es la relación vacía ( conjunto vacío ).
• El intervalo cerrado${\displaystyle H=[0,1]}$con${\displaystyle x*y=\min(x,y)}$es también un monoide con cero, y el elemento cero es${\displaystyle 0}$.
• Más ejemplos:

• Conjunto absorbente : conjunto que puede "inflarse" para alcanzar cualquier punto. 
• Aniquilador (desambiguación)
• Aniquilador (teoría de anillos) – Ideal que asigna a cero un subconjunto de un módulo. 
• Ideal (teoría de anillos)
• Idempotente (teoría de anillos) – En matemáticas, elemento que es igual a su cuadrado – un elemento  ${\displaystyle x}$de un anillo tal que${\displaystyle x^{2}=x}$
• Elemento identidad : elemento específico de una estructura algebraica. 
• semigrupo nulo

• Howie, John M. (1995). Fundamentos de la teoría de semigrupos . Clarendon Press . ISBN 0-19-851194-9.
• Kilp, M.; Knauer, U.; Mikhalev, AV (2000), "Monoides, actos y categorías con aplicaciones a gráficos y productos de corona", Exposiciones de De Gruyter en Matemáticas , vol.  29, Walter de Gruyter, ISBN 3-11-015248-7
• Golan, Jonathan S. (1999). Semirings and Their Applications . Springer. ISBN 0-7923-5786-8.

• Elemento absorbente en PlanetMath