7-símplex

En geometría de 7 dimensiones , un 7- símplex es un 7-politopo regular autodual . Tiene 8 vértices , 28 aristas , 56 caras triangulares, 70 celdas tetraédricas , 56 5-celdas de 5 caras, 28 5-símplex de 6 caras y 8 6-símplex de 7 caras. Su ángulo diedro es cos ⁻¹ (1/7), o aproximadamente 81,79°.

También se le puede llamar octaexón u octa-7-topo , como un politopo de 8 facetas en 7 dimensiones. El nombre octaexón se deriva de octa , que significa ocho facetas en griego , -ex , que significa tener facetas de seis dimensiones, y -on . Jonathan Bowers le da al octaexón el acrónimo oca . ^[1]

Esta matriz de configuración representa el 7-símplex. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas, caras, celdas, 4-caras, 5-caras y 6-caras. Los números diagonales indican cuántos elementos de cada uno se encuentran en todo el 7-símplex. Los números no diagonales indican cuántos elementos de la columna se encuentran en el elemento de la fila o en él. La matriz de este símplex autodual es idéntica a su rotación de 180 grados. ^{[2] [3]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}8&7&21&35&35&21&7\\2&28&6&15&20&15&6\\3&3&56&5&10&10&5\\4&6&4&70&4&6&4\\5&10&10&5&56&3&3\\6&15&20&15&6&28&2\\7&21&35&35&21&7&8\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

Hay muchas construcciones de simetría inferior del 7-símplex.

Algunas se expresan como particiones de unión de dos o más símplex inferiores. El orden de simetría de cada unión es el producto del orden de simetría de los elementos y se eleva aún más si se pueden intercambiar elementos idénticos.

Las coordenadas cartesianas de los vértices de un octaexón regular centrado en el origen que tiene una longitud de arista de 2 son:

${\displaystyle \left({\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ {\sqrt {1/3}},\ \pm 1\right)}$

${\displaystyle \left({\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ -2{\sqrt {1/3}},\ 0\right)}$

${\displaystyle \left({\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ -{\sqrt {3/2}},\ 0,\ ​​0\right)}$

${\displaystyle \left({\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ -2{\sqrt {2/5}},\ 0,\ ​​0,\ ​​0\right)}$

${\displaystyle \left({\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ -{\sqrt {5/3}},\ 0,\ ​​0,\ ​​0,\ ​​0\right)}$

${\displaystyle \left({\sqrt {1/28}},\ -{\sqrt {12/7}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left(-{\sqrt {7/4}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

En términos más simples, los vértices del 7-símplex se pueden posicionar en el 8-espacio como permutaciones de (0,0,0,0,0,0,0,1). Esta construcción se basa en facetas del 8-ortoplex .

Este politopo es una faceta de la teselación uniforme 3 ₃₁ con diagrama de Coxeter-Dynkin :

Este politopo es uno de los 71 7-politopos uniformes con simetría _A7 .

• Glosario del hiperespacio, George Olshevsky.
• Politopos de varias dimensiones
• Glosario multidimensional