5-símplex

En geometría de cinco dimensiones , un 5- símplex es un 5-politopo regular autodual . Tiene seis vértices , 15 aristas , 20 caras triangulares, 15 celdas tetraédricas y 6 facetas de 5 celdas . Tiene un ángulo diedro de cos ⁻¹ ( ⁠ 1/5) , o aproximadamente 78,46°.

El 5-símplex es una solución al problema: hacer 20 triángulos equiláteros usando 15 fósforos, donde cada lado de cada triángulo es exactamente un fósforo.

También se le puede llamar hexaterón o hexa-5-topo , ya que es un politopo de 6 facetas en 5 dimensiones. El nombre hexaterón se deriva de hexa- , que significa que tiene seis facetas , y teron ( ter- es una corrupción de tetra- ), que significa que tiene facetas de cuatro dimensiones.

Jonathan Bowers le da al hexaterón el acrónimo hix . ^[1]

Esta matriz de configuración representa el 5-símplex. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas, caras, celdas y 4-caras. Los números diagonales indican cuántos elementos de cada uno hay en todo el 5-símplex. Los números no diagonales indican cuántos elementos de la columna hay en el elemento de la fila o en él. La matriz de este símplex autodual es idéntica a su rotación de 180 grados. ^{[2] [3]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}6&5&10&10&5\\2&15&4&6&4\\3&3&20&3&3\\4&6&4&15&2\\5&10&10&5&6\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

El hexaterón se puede construir a partir de 5 celdas agregando un sexto vértice tal que sea equidistante de todos los demás vértices de las 5 celdas.

Las coordenadas cartesianas de los vértices de un hexaterón regular centrado en el origen que tiene una longitud de arista de 2 son:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {1}{\sqrt {15}}},\ {\frac {1}{\sqrt {10}}},\ {\frac {1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {1}{\sqrt {3}}},\ \pm 1\right)\\[5pt]&\left({\frac {1}{\sqrt {15}}},\ {\frac {1}{\sqrt {10}}},\ {\frac {1}{\sqrt {6}}},\ -{\frac {2}{\sqrt {3}}},\ 0\right)\\[5pt]&\left({\frac {1}{\sqrt {15}}},\ {\frac {1}{\sqrt {10}}},\ -{\frac {\sqrt {3}}{\sqrt {2}}},\ 0,\ ​​0\right)\\[5pt]&\left({\tfrac {1}{\sqrt {15}}},\ -{\tfrac {2{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}},\ 0,\ ​​0,\ ​​0\right)\\[5pt]&\left(-{\tfrac {\sqrt {5}}{\sqrt {3}}},\ 0,\ ​​0,\ ​​0,\ ​​0\right)\end{aligned}}}$

Los vértices del 5-símplex se pueden posicionar de forma más sencilla en un hiperplano en el 6-espacio como permutaciones de (0,0,0,0,0,1) o (0,1,1,1,1,1). Estas construcciones se pueden considerar como facetas del 6-ortoplex o del 6-cubo rectificado respectivamente.

Una forma de simetría inferior es una pirámide de 5 celdas {3,3,3}∨( ), con un orden de simetría [3,3,3] de 120, construida como una base de 5 celdas en un hiperplano de 4 espacios y un punto de vértice por encima del hiperplano. Los cinco lados de la pirámide están formados por celdas de 5 celdas. Estas se ven como figuras de vértice de 6-politopos regulares truncados , como un 6-cubo truncado .

Otra forma es {3,3}∨{ }, con orden de simetría [3,3,2,1] 48, la unión de un diágono ortogonal y un tetraedro, desplazados ortogonalmente, con todos los pares de vértices conectados entre sí. Otra forma es {3}∨{3}, con orden de simetría [3,2,3,1] 36, y simetría extendida [[3,2,3],1], orden 72. Representa la unión de 2 triángulos ortogonales, desplazados ortogonalmente, con todos los pares de vértices conectados entre sí.

La forma { }∨{ }∨{ } tiene simetría [2,2,1,1], orden 8, extendida permutando 3 segmentos como [3[2,2],1] o [4,3,1,1], orden 48.

Estos se ven en las figuras de vértice de politopos regulares de 6 bits truncados y tritruncados, como un cubo de 6 bits truncados y un simplex de 6 bits truncados . Las etiquetas de borde aquí representan los tipos de caras a lo largo de esa dirección y, por lo tanto, representan diferentes longitudes de borde.

La figura del vértice del panal 5-símplex omnitruncado ,, es un 5-símplex con un ciclo de polígono de Petrie de 5 aristas largas. Su simetría es isomófila al grupo diedro Dih ₆ o grupo de rotación simple [6,2] ⁺ , orden 12.

El compuesto de dos 5-símplex en configuraciones duales se puede ver en esta proyección del plano de Coxeter A6 , con vértices y aristas de 5-símplex rojo y azul. Este compuesto tiene simetría [[3,3,3,3]], orden 1440. La intersección de estos dos 5-símplex es un 5-símplex birectificado uniforme .=∩.

Es el primero de una serie dimensional de politopos y panales uniformes, expresados ​​por Coxeter como la serie 1 _3k . Existe un caso degenerado de 4 dimensiones como teselación de 3 esferas, un hosoedro tetraédrico .

Es el primero de una serie dimensional de politopos y panales uniformes, expresados ​​por Coxeter como series 3 _k1 . Existe un caso degenerado de 4 dimensiones como teselación de 3 esferas, un diedro tetraédrico .

El 5-símplex, como politopo 2 _20, es el primero en la serie dimensional 2 _2k .

El 5-símplex regular es uno de los 19 polígonos uniformes basados ​​en el grupo de Coxeter [3,3,3,3] , todos mostrados aquí en proyecciones ortográficas del plano de Coxeter A _5. (Los vértices están coloreados por orden de superposición de proyecciones, rojo, naranja, amarillo, verde, cian, azul, violeta tienen progresivamente más vértices)

• 11 celdas

• Gosset, T. (1900). "Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones". Messenger of Mathematics. Macmillan. págs. 43–44.
• Coxeter, HSM :
  • — (1973). "Tabla I (iii): Politopos regulares, tres politopos regulares en n-dimensiones (n≥5)". Politopos regulares (3.ª ed.). Dover. pp. 296. ISBN 0-486-61480-8.
  • Sherk, F. Arthur; McMullen, Peter; Thompson, Anthony C.; Weiss, Asia Ivic, eds. (1995). Caleidoscopios: escritos selectos de HSM Coxeter. Wiley. ISBN 978-0-471-01003-6.
    • (Artículo 22) — (1940). "Polítopos regulares y semirregulares I". Math. Zeit . 46 : 380–407. doi :10.1007/BF01181449. S2CID  186237114.
    • (Artículo 23) — (1985). "Polítopos regulares y semirregulares II". Math. Zeit . 188 (4): 559–591. doi :10.1007/BF01161657. S2CID  120429557.
    • (Artículo 24) — (1988). "Polítopos regulares y semirregulares III". Math. Zeit . 200 : 3–45. doi :10.1007/BF01161745. S2CID  186237142.
• Conway, John H .; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (2008). "26. Hemicubos: 1 _n1 ". Las simetrías de las cosas . pág. 409. ISBN 978-1-56881-220-5.
• Johnson, Norman (1991). "Polítopos uniformes" (manuscrito). Norman Johnson.
  • Johnson, NW (1966). La teoría de politopos uniformes y panales (PhD). Universidad de Toronto.

• Olshevsky, George. "Simplex". Glosario de hiperespacio . Archivado desde el original el 4 de febrero de 2007.
• Politopos de varias dimensiones, Jonathan Bowers
• Glosario multidimensional