6-símplex

En geometría , un 6- símplex es un 6-politopo regular autodual . Tiene 7 vértices , 21 aristas , 35 caras triangulares , 35 celdas tetraédricas , 21 5-celdas de 4 caras y 7 5-símplex de 5 caras. Su ángulo diedro es cos ⁻¹ (1/6), o aproximadamente 80,41°.

También se le puede llamar heptapetón o hepta-6-topo , ya que es un politopo de 7 facetas en 6 dimensiones. El nombre heptapetón se deriva de hepta , que significa siete facetas en griego , y -peta, que significa tener facetas de cinco dimensiones, y -on . Jonathan Bowers le da al heptapetón el acrónimo hop . ^[2]

Esta matriz de configuración representa el 6-símplex. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas, caras, celdas, 4-caras y 5-caras. Los números diagonales indican cuántos elementos de cada uno se encuentran en todo el 6-símplex. Los números no diagonales indican cuántos elementos de la columna se encuentran en el elemento de la fila o en él. La matriz de este símplex autodual es idéntica a su rotación de 180 grados. ^{[3] [4]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}7&6&15&20&15&6\\2&21&5&10&10&5\\3&3&35&4&6&4\\4&6&4&35&3&3\\5&10&10&5&21&2\\6&15&20&15&6&7\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

Las coordenadas cartesianas para un heptapetón regular centrado en el origen que tiene una longitud de arista de 2 son:

${\displaystyle \left({\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ {\sqrt {1/3}},\ \pm 1\right)}$

${\displaystyle \left({\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ -2{\sqrt {1/3}},\ 0\right)}$

${\displaystyle \left({\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ -{\sqrt {3/2}},\ 0,\ ​​0\right)}$

${\displaystyle \left({\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ -2{\sqrt {2/5}},\ 0,\ ​​0,\ ​​0\right)}$

${\displaystyle \left({\sqrt {1/21}},\ -{\sqrt {5/3}},\ 0,\ ​​0,\ ​​0,\ ​​0\right)}$

${\displaystyle \left(-{\sqrt {12/7}},\ 0,\ ​​0,\ ​​0,\ ​​0,\ ​​0\right)}$

Los vértices del 6-símplex se pueden posicionar de forma más sencilla en el 7-espacio como permutaciones de:

(0,0,0,0,0,0,1)

Esta construcción se basa en facetas del 7-ortoplex .

El 6-símplex regular es uno de los 35 6-politopos uniformes basados ​​en el grupo de Coxeter [3,3,3,3,3] , todos mostrados aquí en proyecciones ortográficas del plano de Coxeter A ₆ .

• Coxeter, HSM :
  • — (1973). "Tabla I (iii): Politopos regulares, tres politopos regulares en n-dimensiones (n≥5)". Politopos regulares (3.ª ed.). Dover. pág. 296. ISBN 0-486-61480-8.
  • Sherk, F. Arthur; McMullen, Peter; Thompson, Anthony C.; Weiss, Asia Ivic, eds. (1995). Caleidoscopios: escritos selectos de HSM Coxeter. Wiley. ISBN 978-0-471-01003-6.
    • (Artículo 22) — (1940). "Polítopos regulares y semirregulares I". Math. Zeit . 46 : 380–407. doi :10.1007/BF01181449. S2CID  186237114.
    • (Artículo 23) — (1985). "Polítopos regulares y semirregulares II". Math. Zeit . 188 (4): 559–591. doi :10.1007/BF01161657. S2CID  120429557.
    • (Artículo 24) — (1988). "Polítopos regulares y semirregulares III". Math. Zeit . 200 : 3–45. doi :10.1007/BF01161745. S2CID  186237142.
• Conway, John H .; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (2008). "26. Hemicubos: 1 _n1 ". Las simetrías de las cosas . pág. 409. ISBN 978-1-56881-220-5.
• Johnson, Norman (1991). "Polítopos uniformes" (manuscrito). Norman Johnson (matemático).
  • Johnson, NW (1966). La teoría de politopos uniformes y panales (PhD). Universidad de Toronto. OCLC  258527038.

• Olshevsky, George. "Simplex". Glosario de hiperespacio . Archivado desde el original el 4 de febrero de 2007.
• Politopos de varias dimensiones
• Glosario multidimensional