suma indefinida

Los factoriales descendentes proporcionan el análogo discreto de la regla de potencia del cálculo diferencial. ^{[ 18 ] [ 12 ]} En el cálculo infinitesimal,${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}}$. En el cálculo de diferencias finitas, el factorial descendente ^{[ 12 ]}

${\displaystyle (x)_{n}=x^{\underline {n}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)={\frac {\Gamma \left(x+1\right)}{\Gamma \left(x-n+1\right)}}}$

desempeña el papel de${\displaystyle x^{n}}$y el operador de diferencia hacia adelante satisface ^{[ 12 ]}

${\displaystyle \Delta (x)_{n}=n(x)_{n-1}.}$

La suma indefinida de un factorial descendente viene dada por el análogo discreto de la regla de potencia para la integración: ^{[ 12 ]}

${\displaystyle \sum _{x}(x)_{n}={\frac {(x)_{n+1}}{n+1}}+C(x),\quad n\neq -1.}$

De forma equivalente, utilizando la función Gamma : ^{[ 18 ]}

${\displaystyle \sum _{x}{\frac {\Gamma \left(x+1\right)}{\Gamma \left(x-n+1\right)}}={\frac {\Gamma \left(x+1\right)}{\left(n+1\right)\Gamma \left(x-n\right)}}+C(x),\quad n\neq -1.}$

Para el caso donde${\displaystyle n=-1}$, la solución es la función digamma con un desplazamiento,${\displaystyle \psi \left(x+1\right)+C(x)}$, lo que naturalmente extiende los números armónicos . ^{[ 19 ]}

La suma indefinida por partes es el análogo discreto de la integración por partes . ^{[ 12 ]} Se deriva de la regla del producto para el operador de diferencia directa. ^{[ 20 ]}

Regla del producto. ^{[ 20 ]} Para dos funciones${\displaystyle u(x)}$y${\displaystyle v(x)}$La regla del producto para la diferencia a plazo es:

${\displaystyle \Delta (u(x)v(x))=u(x)\Delta v(x)+v(x+1)\Delta u(x).}$

Presentamos al operador de turno.${\displaystyle \mathrm {E} }$, definido por${\displaystyle \mathrm {E} f(x)=f(x+1)}$Esto se puede escribir de forma más compacta como:

${\displaystyle \Delta (uv)=u\Delta v+\mathrm {E} v\,\Delta u.}$

Suma por partes. ^{[ 21 ]} Reorganizando la regla del producto se obtiene:

${\displaystyle u(x)\Delta v(x)=\Delta (u(x)v(x))-v(x+1)\Delta u(x).}$

Tomando la suma indefinida de ambos lados y utilizando el hecho de que${\displaystyle \sum _{x}\Delta F(x)=F(x)+C(x)}$(dónde${\displaystyle C(x)}$es una función arbitraria 1-periódica) produce la fórmula para la suma por partes: ^{[ 20 ] [ 12 ]}

${\displaystyle \sum _{x}u(x)\Delta v(x)=u(x)v(x)-\sum _{x}v(x+1)\Delta u(x)+C(x).}$

Una forma simétrica, que también se obtiene a partir de la regla del producto, es:

${\displaystyle \sum _{x}f(x)\Delta g(x)+\sum _{x}g(x)\Delta f(x)=f(x)g(x)-\sum _{x}\Delta f(x)\Delta g(x)+C(x).}$

Suma definida por partes. ^{[ 22 ]} Para sumas definidas de${\displaystyle a}$a${\displaystyle b}$La fórmula queda así:

${\displaystyle \sum _{k=a}^{b}u(k)\Delta v(k)={\bigl [}u(b+1)v(b+1)-u(a)v(a){\bigr ]}-\sum _{k=a}^{b}v(k+1)\Delta u(k).}$

Siguiendo la teoría desarrollada por Niels Erik Nørlund , ^{[ 4 ]} la suma indefinida puede determinarse de forma única para funciones analíticas imponiendo restricciones a su crecimiento en el plano complejo. Específicamente, al imponer un crecimiento mínimo, se pueden filtrar los términos periódicos no constantes. Afirma: " Unter allen regulären Lösungen sind also die Hauptlösungen die von kleinstem Wachstum in bezug auf${\displaystyle x}$" (Entre todas las soluciones regulares, las principales soluciones son, por lo tanto, aquellas de menor crecimiento con respecto a${\displaystyle x}$). ^{[ 24 ]}

Particionamiento del plano complejo para la diferencia finita inversa de${\displaystyle 1/(x^{2}+1)}$.

La formulación habitual supone que el sumando${\displaystyle f(z)}$es analítica en una franja vertical que contiene una porción de la recta real. ^{[ 25 ]} Sin embargo, cuando${\displaystyle f(z)}$tiene singularidades (incluidas aquellas que se extienden en la dirección imaginaria), una sola franja vertical no puede contener todo el eje real. ^{[ 25 ]} En cambio, estas singularidades crean límites verticales que dividen el dominio en componentes conexas disjuntas. ^{[ 25 ]} Por ejemplo, polos en${\displaystyle \pm i}$evitar que una sola tira cruce el eje imaginario, dividiendo el dominio en${\displaystyle \Re (z)=0}$en semiplanos conectados disjuntos. ^{[ 25 ]}

La teoría de Nørlund proporciona una solución principal en cada componente conexa que contiene un segmento de la recta real. Si bien estas franjas verticales infinitas pueden desplazarse horizontalmente para evaluar la función, no pueden cruzar las singularidades sin que la relación de recurrencia provoque que estas se repitan (por ejemplo, digamma). ^{[ 25 ]} Por lo tanto, la solución principal de cada componente conexa no contiene singularidades en su respectiva componente conexa, pero sí contiene singularidades que se repiten hacia afuera en componentes conexas disjuntas externas.

La solución que contiene la mayor porción definida de la suma discreta que se está extendiendo se designa típicamente como la solución principal "canónica" (tratada como si fuera la única solución principal). ^{[ 13 ]} La elección de este componente y, por lo tanto, qué solución principal se utiliza, no está dictada de forma unívoca por la teoría; ^{[ 25 ]} más bien, es una cuestión de convención que varía entre las aplicaciones.

Existen dos prácticas comunes. Un enfoque selecciona la franja vertical máxima que contiene el origen (o la franja inmediatamente a su derecha si el origen se encuentra en una singularidad), ya que esto a menudo preserva la simetría o se alinea con la condición de contorno natural.${\displaystyle F(0)=0}$. ^{[ 26 ] [ 5 ] [ 27 ]} Alternativamente, los autores pueden designar la franja situada inmediatamente a la derecha de la singularidad más a la derecha en el plano complejo como el componente canónico, lo que permite que la recurrencia se propague directamente desde las sumas parciales sobre enteros positivos a la derecha de dicha singularidad.

La condición de tipo exponencial menor que${\displaystyle 2\pi }$en la dirección imaginaria en${\displaystyle f}$es suficiente pero no estrictamente necesario . La definición general de Nørlund de la solución principal es la solución analítica.${\displaystyle F}$que tenga componentes de Fourier del tipo exponencial mínimo posible para el dado${\displaystyle f}$(${\displaystyle F}$del crecimiento más lento posible en el plano complejo). ^{[ 30 ] [ 4 ]} Si${\displaystyle f}$tiene tipo exponencial${\displaystyle k}$en dirección imaginaria, entonces la solución principal${\displaystyle F(z)}$también tendrá tipo${\displaystyle k}$en esa franja, siempre que converja. Por ejemplo,${\displaystyle f(z)=\sin(7z)}$tiene tipo exponencial${\displaystyle 7}$; su solución principal existe y tiene tipo${\displaystyle 7}$, a pesar de${\displaystyle 7>2\pi }$. ^{[ 30 ] [ 12 ]}

Cuando${\displaystyle f}$tiene tipo exponencial exactamente${\displaystyle 2\pi n}$para algún entero distinto de cero${\displaystyle n}$en cada tira donde sea analítica (por ejemplo${\displaystyle f(z)=\sin(2\pi nz)}$tiene tipo${\displaystyle 2\pi n}$; su antidiferencia contiene${\displaystyle \sin(\pi n)=0}$en el denominador ^{[ 12 ]} ) la solución principal no existe (no está definida en todas partes o no es única salvo una constante) ^{[ 31 ]} porque resuena con el núcleo del operador de diferencia: ^{[ 32 ] [ 33 ] [ 34 ]}$${\displaystyle \Delta ^{-1}={\frac {1}{e^{D}-1}}.}$$ En todos los demás casos, cuando${\displaystyle f}$es meromorfa y en alguna franja vertical que contiene un segmento de la recta real, y su tipo exponencial en dicha franja no es un múltiplo entero de${\displaystyle 2\pi }$–la solución principal existe y está determinada de forma única, salvo una constante${\displaystyle C}$, en ese componente conectado. ^{[ 25 ]}

Para funciones con polos aislados, los componentes distintos deben dar ramas diferentes: el componente nativo proporciona una solución principal sin polos, y la recurrencia propaga los polos originales por la longitud del paso de cada componente vecino, por lo que ninguna solución principal puede continuarse analíticamente a través de las líneas de polos verticales que corresponden a una parte real. ^{[ 25 ]}

Para funciones con singularidades de ramificación (por ejemplo, logaritmos, potencias fraccionarias positivas), la suma indefinida puede converger en una única solución en una superficie de Riemann . En tales casos, la misma solución principal puede ser válida en múltiples franjas, y el número de soluciones principales independientes es igual al número de componentes conexas del dominio de la suma indefinida después de haber colocado sus propios cortes de ramificación. ^{[ 25 ]}

En análisis real, la condición de unicidad puede darse utilizando convexidad de orden superior, generalizando el teorema de Bohr-Mollerup . Para un entero${\displaystyle p\geq 0}$, se llama función${\displaystyle p}$-convexa si sus diferencias divididas de orden${\displaystyle p+1}$(es decir, diferencias divididas calculadas a partir de${\displaystyle p+2}$puntos distintos) son no negativos y${\displaystyle p}$-cóncava si esas diferencias divididas no son positivas. Una función se llama eventualmente${\displaystyle p}$-convexo (resp. eventualmente)${\displaystyle p}$-cóncavo) si existe${\displaystyle M>0}$de tal manera que es${\displaystyle p}$-convexo (resp.${\displaystyle p}$-cóncava) en el intervalo${\displaystyle (M,\infty )}$. ^{[ 27 ]}

Marichal y Zenaïdi demostraron el siguiente teorema de unicidad, cuyo método requiere que la solución sea finalmente${\displaystyle p}$-convexo o${\displaystyle p}$-cóncava. ^{[ 27 ] [ 35 ]}

Teorema. Sea${\displaystyle p\geq 0}$sea ​​un número entero y sea${\displaystyle g:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} }$satisfacer${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Delta ^{p}g(n)=0}$. Si${\displaystyle f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} }$es un eventual${\displaystyle p}$-convexo o eventualmente${\displaystyle p}$-solución cóncava de${\displaystyle \Delta f=g}$, entonces${\displaystyle f}$está determinado de forma única salvo una constante aditiva. Además, para cualquier${\displaystyle x>0}$, ^{[ 27 ]}

${\displaystyle f(x)=f(1)+\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n-1}g(k)-\sum _{k=0}^{n-1}g(x+k)+\sum _{j=1}^{p}{\binom {x}{j}}\Delta ^{\,j-1}g(n)\right),}$^{[ 27 ] [ 5 ]}

y la convergencia es uniforme en subconjuntos acotados de${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$.

Método de Müller aplicado a la diferencia inversa hacia atrás de${\displaystyle 1/x.}$

En su artículo Cómo sumar un número no entero de términos , ^{[ 5 ]} Müller y Schleicher introdujeron un enfoque axiomático para la suma fraccionaria con un número real o complejo de términos. Su método extiende la suma discreta clásica.

${\displaystyle \sum _{k=1}^{x}f(k)}$

a límites superiores no enteros y complejos${\displaystyle x}$. La definición se basa en seis axiomas naturales: ^{[ 5 ]}

1. Resumen continuado:${\displaystyle \sum _{\nu =x}^{y}f(\nu )+\sum _{\nu =y+1}^{z}f(\nu )=\sum _{\nu =x}^{z}f(\nu )}$.
2. Invariancia de la traslación:${\displaystyle \sum _{\nu =x+s}^{y+s}f(\nu )=\sum _{\nu =x}^{y}f(\nu +s)}$.
3. Linealidad:${\displaystyle \sum _{\nu =x}^{y}(\lambda f(\nu )+\mu g(\nu ))=\lambda \sum _{\nu =x}^{y}f(\nu )+\mu \sum _{\nu =x}^{y}g(\nu )}$.
4. Condición de suma vacía:${\displaystyle \sum _{\nu =1}^{1}f(\nu )=f(1)}$(equivalente a la condición de suma vacía).
5. Holomorfía para monomios: para cada${\displaystyle d\in \mathbb {N} }$,${\displaystyle z\mapsto \sum _{\nu =1}^{z}\nu ^{d}}$es holomorfo en${\displaystyle \mathbb {C} }$.
6. Continuidad de desplazamiento a la derecha: si${\displaystyle f(z+n)\to 0}$punto por punto como${\displaystyle n\to +\infty }$, entonces${\displaystyle \sum _{\nu =x}^{y}f(\nu +n)\to 0}$; más generalmente, si${\displaystyle f(z+n)}$se puede aproximar mediante polinomios${\displaystyle p_{n}(z+n)}$de grado fijo con${\displaystyle |f(z+n)-p_{n}(z+n)|\to 0}$, entonces:

${\displaystyle \left|\sum _{\nu =x}^{y}f(\nu +n)-\sum _{\nu =x}^{y}p_{n}(\nu +n)\right|\to 0}$.

Los axiomas S1–S4 obligan a que la suma se alinee con la suma finita ordinaria cuando los límites son enteros. El axioma S5 obliga a que los monomios se comporten de la misma manera bajo la generalización de sumas fraccionarias. El axioma S6 es el axioma crucial que permite “retroceder” en la región asintótica para determinar la suma fraccionaria en un intervalo finito. Las condiciones exactas para que el método funcione son, como se indica en la Definición 1.2 del artículo: ^{[ 5 ]}

Dejar${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$y${\displaystyle \sigma \in \mathbb {N} \cup \{-\infty \}}$. Una función${\displaystyle f:U\rightarrow \mathbb {C} }$se denominará sumable fraccionario de grado${\displaystyle \sigma }$si se cumplen las siguientes condiciones:

• ${\displaystyle x+1\in U}$a pesar de${\displaystyle x\in U;}$
• Existe una sucesión de polinomios${\displaystyle (p_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$de grado fijo${\displaystyle \sigma }$de tal manera que para todos${\displaystyle x\in U}$

${\displaystyle |f(n+x)-p_{n}(n+x)|\rightarrow 0}$como${\displaystyle n\rightarrow +\infty }$

• por cada${\displaystyle x,y+1\in U,}$el límite

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\sum _{\nu =n+x}^{n+y}p_{n}(\nu )+\sum _{\nu =1}^{n}{\bigl (}f(\nu +x-1)-f(\nu +y){\bigr )}\right),}$

existe.

En el caso más simple cuando${\displaystyle f(t)\to 0}$como${\displaystyle t\to \infty }$(es decir, los polinomios de aproximación son cero), esto se reduce a:

${\displaystyle \nabla ^{-1}f(x)=\sum _{k=1}^{x}f(k)=\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}f(n)-f(n+x){\bigr )}+C}$

Si${\displaystyle f}$es una función extraña (${\displaystyle f(-z)=-f(z)}$) y una solución principal${\displaystyle F}$entonces existe

${\displaystyle F(z)=F(-1-z),}$

que representa una simetría puntual respecto a${\displaystyle z=-1/2}$. Por ejemplo,${\displaystyle f(z)=z}$da${\displaystyle F(z)={\frac {z(z+1)}{2}}}$. ^{[ 30 ]}

Si${\displaystyle f}$es una función par (${\displaystyle f(-z)=f(z)}$) con una solución principal${\displaystyle F}$, entonces

${\displaystyle F(z)+F(-1-z)=F(-1).}$^{[ 30 ]}

El método más directo obliga a la suma indefinida a extender la suma discreta usual y a satisfacer la convención de suma vacía. ^{[ 5 ]} Alternativamente,${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}F(x)=0\ {\text{or}}\ \lim _{x\to 0^{+}}F(x)=0.}$

Diferencia inversa hacia atrás de${\displaystyle 1/x}$con respecto a${\displaystyle x}$, mostrando una función digamma desplazada.

Diferencia inversa hacia atrás

${\displaystyle \nabla ^{-1}f(x)}$corresponde a${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{x}f(k)}$La convención${\displaystyle \left.\nabla ^{-1}f(x)\right|_{x=0}=0}$hace que la suma sobre un intervalo vacío sea cero. ^{[ 5 ] [ 12 ]}

Diferencia inversa directa

${\displaystyle \Delta ^{-1}f(x)}$corresponde a${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{x-1}f(k)}$. La misma convención produce${\displaystyle \left.\Delta ^{-1}f(x)\right|_{x=0}=0}$. ^{[ 5 ]}

Estas condiciones determinan la solución de forma única salvo una constante aditiva. Por ejemplo, ^{[ 13 ]}

${\displaystyle \nabla ^{-1}x^{a}={H_{x}^{(-a)}}=\zeta (-a)-\zeta (-a,x+1).}$

Aquí,${\displaystyle \zeta (-a)}$es la constante${\displaystyle C}$de tal manera que${\displaystyle F(0)=0}$.

En el estudio de la fórmula de Faulhaber y la fórmula de Euler-Maclaurin , resulta conveniente identificar la suma indefinida de un monomio con el polinomio de Bernoulli correspondiente . Siguiendo la construcción de Nørlund, los polinomios de Bernoulli se obtienen como la única solución polinómica de la ecuación de diferencias discretas.${\displaystyle \Delta B_{\nu }(x)=\nu x^{\nu -1}}$, sujeto a la condición inicial${\displaystyle B_{\nu }(0)=B_{\nu }}$[ ^{14 ]} De esta definición se deriva la regla de diferenciación analítica ^.${\displaystyle {\frac {d}{dx}}B_{\nu }(x)=\nu B_{\nu -1}(x)}$, lo que produce directamente la fórmula de integración${\displaystyle \int _{x}^{x+1}B_{\nu }(z)\,dz=x^{\nu }}$y, en consecuencia, la condición de normalización${\displaystyle \int _{0}^{1}B_{n}(x)\,dx=0}$. ^{[ 14 ]} La función generadora estándar

${\displaystyle {\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}}$

se deriva entonces como consecuencia formal de estos resultados previos (específicamente, aplicando la identidad del operador formal)${\displaystyle \Delta ^{-1}=(e^{D}-1)^{-1}}$a la expansión de la serie Maclaurin de${\displaystyle e^{xt}}$y sumando término a término mediante linealidad), en lugar de servir como propiedad definitoria.

Para ajustarse a esta convención, la constante se fija exigiendo que la solución tenga media cero en un intervalo unitario. Para la diferencia inversa hacia atrás se puede utilizar ^{[ 14 ].}

${\displaystyle \int _{-1}^{0}{\bigl (}\nabla ^{-1}f(x)+C{\bigr )}\,dx=0\quad {\text{or}}\quad \int _{0}^{1}{\bigl (}\nabla ^{-1}f(x)+C{\bigr )}\,dx=0,}$

y para la diferencia inversa hacia adelante

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\bigl (}\Delta ^{-1}f(x)+C{\bigr )}\,dx=0\quad {\text{or}}\quad \int _{1}^{2}{\bigl (}\Delta ^{-1}f(x)+C{\bigr )}\,dx=0.}$

Ejemplo. Para${\displaystyle \Delta ^{-1}x={\frac {x(x-1)}{2}}+C}$, la condición${\displaystyle \int _{0}^{1}(\Delta ^{-1}x)\,dx=0}$da${\displaystyle C={\tfrac {1}{12}}}$. Por eso${\displaystyle \Delta ^{-1}x={\frac {x(x-1)}{2}}+{\frac {1}{12}}={\tfrac {1}{2}}B_{2}(x)}$con${\displaystyle B_{2}(x)=x^{2}-x+{\tfrac {1}{6}}}$, en consonancia con la normalización de Bernoulli.

Esta normalización no es obligatoria; en los tratamientos modernos, generalmente se prefiere la condición de suma vacía. ^{[ 26 ] [ 5 ] [ 27 ]} Esto se usa generalmente en el contexto de los polinomios de Bernoulli, las funciones zeta de Hurwitz o Riemann, la función de número armónico generalizado u otros casos que tratan con monomios y sus antidiferencias. ^{[ 13 ] [ 26 ]}

Para${\displaystyle f(x)=x}$, la diferencia a plazo producto indefinido${\displaystyle \prod _{x}x}$es la solución de${\displaystyle F(x+1)=x\,F(x)}$con la normalización del producto vacío${\displaystyle F(1)=1}$junto con el crecimiento mínimo de Nørlund. Esto produce la función Gamma.${\displaystyle \prod _{x}x=\Gamma (x),}$que representa el producto discreto${\displaystyle \prod _{k=1}^{x-1}k.}$

También se puede obtener tomando la solución principal de Nørlund para la diferencia inversa hacia adelante:${\displaystyle \sum _{x}\ln x=\ln \Gamma (x)+C(x)}$. ^{[ 12 ] [ 36 ]} Al exponenciar y elegir la condición de producto vacío para establecer la constante, se obtiene la función Gamma.

Si en cambio se trabaja con el producto indefinido de diferencia hacia atrás, satisfaciendo${\displaystyle F(x)=x\,F(x-1)}$y${\displaystyle F(0)=1}$, la solución es la función Pi de Gauss ,${\displaystyle \Pi (x)}$, que se extiende${\displaystyle x!}$directamente y representa el producto discreto${\displaystyle \prod _{k=1}^{x}k}$.

Las dos convenciones difieren únicamente por un cambio en el argumento (una propiedad heredada de la relación entre${\displaystyle \nabla ^{-1}}$y${\displaystyle \Delta ^{-1}}$):${\displaystyle \Pi (x)=\Gamma (x+1)}$La condición de crecimiento imaginario mínimo en cada caso obliga a${\displaystyle \varpi (x)}$ser una constante${\displaystyle 1}$, por lo tanto, el producto indefinido principal de${\displaystyle x}$Recupera las extensiones factoriales clásicas.

La suma indefinida${\displaystyle \nabla ^{-1}f(x)=\sum _{k=1}^{x}f(k)}$puede continuarse analíticamente aplicando la fórmula estándar de Abel-Plana a la suma finita${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(k)}$y luego continuando analíticamente el límite entero${\displaystyle n}$a la variable${\displaystyle x}$. Esto da como resultado la fórmula: ^{[ 8 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{-1}f(x)&=\int _{1}^{x}f(t)dt+{\frac {f(1)+f(x)}{2}}\\&\quad +i\int _{0}^{\infty }{\frac {\left(f(x-it)-f(1-it)\right)-\left(f(x+it)-f(1+it)\right)}{e^{2\pi t}-1}}dt+C(x)\end{aligned}}}$$

Esta continuación analítica es válida cuando se cumplen las condiciones de la fórmula original. Las condiciones suficientes son: ^{[ 28 ] [ 29 ]}

1. Analiticidad:${\displaystyle f(z)}$debe ser analítico en la franja vertical cerrada entre${\displaystyle \Re (z)=1}$y${\displaystyle \Re (z)=\Re (x)}$La fórmula proporciona la solución analítica hasta, pero no más allá de, las singularidades más cercanas de${\displaystyle f}$hasta la línea${\displaystyle \Re (z)=1.}$
2. Crecimiento:${\displaystyle f(z)}$debe ser de tipo exponencial menor que${\displaystyle 2\pi }$en esta tira, satisfactorio${\displaystyle |f(z)|\leq Me^{(2\pi -\epsilon )|\Im (z)|}}$para algunos${\displaystyle M>0}$,${\displaystyle \epsilon >0}$como${\displaystyle |\Im (z)|\to \infty .}$

La fórmula de Abel-Plana se puede utilizar para obtener la solución principal de Nørlund en componentes conexas disjuntas arbitrarias a través de la recurrencia.${\displaystyle F(z)-F(z-1)=f(z)}$permitiendo desplazar el dominio de convergencia de la fórmula de Abel-Plana y luego extender repetidamente fuera del dominio de convergencia original utilizando el dominio válido conocido de${\displaystyle F}$(que se conoce en el componente conexo disjunto inicial) y${\displaystyle f}$(lo cual es completamente conocido), justificado nuevamente mediante la reordenación de la ecuación.${\displaystyle F(z)-F(z-1)=f(z)}$. ^{[ 25 ]} Esto está sujeto a la condición de que se pueda obtener una longitud de paso (a lo largo del eje real) de franja vertical máxima (que se extiende infinitamente en las direcciones imaginarias) sin singularidades y de menor que${\displaystyle 2\pi /S}$(dónde${\displaystyle S}$es el tamaño del paso) tipo exponencial en la dirección imaginaria en${\displaystyle f}$. ^{[ 38 ]} Si no se puede establecer tal tira, se debe recurrir a expansiones en series de Laurent o Taylor y sumar término a término. ^{[ 16 ]} El tipo exponencial se puede reducir ^{[ 21 ]} mediante reglas de suma por partes y la linealidad del operador para hacer${\displaystyle f}$es posible tomar la antidiferencia numéricamente usando Abel-Plana y expansiones término a término, a menos que${\displaystyle f}$resuena globalmente en todas las franjas posibles.

Para una función entera de tipo exponencial menor que${\displaystyle \ln \left(2\right)}$^{[ 39 ]} el operador de diferencia inversa hacia adelante,${\displaystyle \Delta ^{-1}f(x)}$, puede expresarse mediante su expansión en serie de Newton: ^{[ 40 ] [ 41 ]}

${\displaystyle \sum _{x}f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\binom {x}{k}}\Delta ^{k-1}f\left(0\right)+C(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k-1}f(0)}{k!}}(x)_{k}+C(x).}$

${\displaystyle (x)_{k}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-k+1)}}}$es el factorial descendente .

Formalmente , el operador de diferencia inversa hacia adelante puede expresarse en términos del operador de derivada.${\displaystyle D={\frac {d}{dx}}}$utilizando la función generadora exponencial de los números de Bernoulli: ^{[ 32 ] [ 33 ] [ 34 ]}

$${\displaystyle \Delta ^{-1}={\frac {1}{e^{D}-1}}=\sum _{v=0}^{\infty }{\frac {B_{v}}{v!}}D^{\,v-1},}$$

dónde${\displaystyle B_{v}}$son los números de Bernoulli definidos por la función generadora${\displaystyle {\frac {t}{e^{t}-1}}=\sum _{v=0}^{\infty }B_{v}{\frac {t^{v}}{v!}}}$Conforme a este convenio${\displaystyle B_{1}=-{\tfrac {1}{2}}}$.

Si${\displaystyle f}$es un polinomio, solo un número finito de términos de la serie son distintos de cero, ya que la diferencia finita de un monomio es un polinomio de un grado menor (siguiendo por inducción, se requieren un número finito de términos). Para${\displaystyle f(x)=x^{n}}$se obtiene la antidiferencia: ^{[ 33 ]}

$${\displaystyle \sum _{x}x^{n}={\frac {B_{n+1}(x)}{n+1}}+C(x),}$$