Tipo exponencial

En el análisis complejo , una rama de las matemáticas , se dice que una función holomorfa es de tipo exponencial C si su crecimiento está acotado por la función exponencial.${\displaystyle e^{C|z|}}$para alguna constante de valor real${\displaystyle C}$como${\displaystyle |z|\to \infty }$Cuando una función está acotada de esta manera, es posible expresarla como ciertos tipos de sumas convergentes sobre una serie de otras funciones complejas, así como comprender cuándo es posible aplicar técnicas como la suma de Borel , o, por ejemplo, aplicar la transformada de Mellin , o realizar aproximaciones utilizando la fórmula de Euler-Maclaurin . El caso general se maneja mediante el teorema de Nachbin , que define la noción análoga de${\displaystyle \Psi }$-tipo para una función general${\displaystyle \Psi (z)}$en contraposición a${\displaystyle e^{z}}$.

Una función${\displaystyle f(z)}$Se dice que una función definida en el plano complejo es de tipo exponencial si existen constantes de valor real.${\displaystyle M}$y${\displaystyle \tau }$de tal manera que

${\displaystyle \left|f\left(re^{i\theta }\right)\right|\leq Me^{\tau r}}$

en el límite de${\displaystyle r\to \infty }$Aquí, la variable compleja${\displaystyle z}$fue escrito como${\displaystyle z=re^{i\theta }}$para enfatizar que el límite debe cumplirse en todas las direcciones${\displaystyle \theta }$Alquiler${\displaystyle \tau }$representar el ínfimo de todos tales${\displaystyle \tau }$, entonces se dice que la función${\displaystyle f}$es de tipo exponencial${\displaystyle \tau }$.

Por ejemplo, dejemos${\displaystyle f(z)=\sin(\pi z)}$Entonces uno dice que${\displaystyle \sin(\pi z)}$es de tipo exponencial${\displaystyle \pi }$, desde${\displaystyle \pi }$es el número más pequeño que limita el crecimiento de${\displaystyle \sin(\pi z)}$a lo largo del eje imaginario. Por lo tanto, para este ejemplo, el teorema de Carlson no se puede aplicar, ya que requiere funciones de tipo exponencial menores que${\displaystyle \pi }$. De manera similar, la fórmula de Euler-Maclaurin tampoco se puede aplicar, ya que también expresa un teorema que en última instancia se basa en la teoría de las diferencias finitas .

Una función holomorfa${\displaystyle F(z)}$Se dice que es de tipo exponencial.${\displaystyle \sigma >0}$si por cada${\displaystyle \varepsilon >0}$existe una constante de valor real${\ Displaystyle A _ {\ varepsilon}}$de tal manera que

${\displaystyle |F(z)|\leq A_{\varepsilon }e^{(\sigma +\varepsilon )|z|}}$

para${\displaystyle |z|\to \infty }$dónde${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$Decimos${\displaystyle F(z)}$es de tipo exponencial si${\displaystyle F(z)}$es de tipo exponencial${\displaystyle \sigma }$para algunos${\displaystyle \sigma >0}$. El número

${\displaystyle \tau (F)=\sigma =\displaystyle \limsup _ {|z|\rightarrow \infty }|z|^{-1}\log |F(z)|}$

es el tipo exponencial de${\displaystyle F(z)}$El límite superior aquí significa el límite del supremo de la razón fuera de un radio dado cuando el radio tiende a infinito. Este es también el límite superior del máximo de la razón en un radio dado cuando el radio tiende a infinito. El límite superior puede existir incluso si el máximo en el radio${\displaystyle r}$no tiene límite como${\displaystyle r}$va al infinito. Por ejemplo, para la función

${\displaystyle F(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{10^{n!}}}{(10^{n!})!}}}$

el valor de

${\displaystyle (\max _{|z|=r}\log |F(z)|)/r}$

en${\displaystyle r=10^{n!-1}}$está dominado por el ^término n −1 y este tiende a cero como${\displaystyle n}$va al infinito, ^{[ 1 ]} pero${\displaystyle F(z)}$Sin embargo, es de tipo exponencial 1, como se puede observar al mirar los puntos.${\displaystyle z=10^{n!}}$.

Stein (1957) ha dado una generalización de tipo exponencial para funciones enteras de varias variables complejas . Supongamos que${\displaystyle K}$es un subconjunto convexo , compacto y simétrico de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Se sabe que por cada uno de esos${\displaystyle K}$existe una norma asociada${\displaystyle \|\cdot \|_{K}}$con la propiedad que

${\displaystyle K=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|_{K}\leq 1\}.}$

En otras palabras,${\displaystyle K}$es la bola de la unidad en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$con respecto a${\displaystyle \|\cdot \|_{K}}$. El conjunto

${\displaystyle K^{*}=\{y\in \mathbb {R} ^{n}:x\cdot y\leq 1{\text{ para todo }}x\in {K}\}}$

se llama conjunto polar y también es un subconjunto convexo , compacto y simétrico de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Además, podemos escribir

${\displaystyle \|x\|_{K}=\displaystyle \sup _{y\in K^{*}}|x\cdot y|.}$

Nos extendemos${\displaystyle \|\cdot \|_{K}}$de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$a${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$por

${\displaystyle \|z\|_{K}=\displaystyle \sup _ {y\in K^{*}}|z\cdot y|.}$

Una función completa${\displaystyle F(z)}$de${\displaystyle n}$-Se dice que las variables complejas son de tipo exponencial con respecto a${\displaystyle K}$si por cada${\displaystyle \varepsilon >0}$existe una constante de valor real${\ Displaystyle A _ {\ varepsilon}}$de tal manera que

${\displaystyle |F(z)|<A_{\varepsilon }e^{2\pi (1+\varepsilon )\|z\|_{K}}}$

a pesar de${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}$.

Colecciones de funciones de tipo exponencial${\displaystyle \tau }$puede formar un espacio uniforme completo , a saber, un espacio de Fréchet , mediante la topología inducida por la familia numerable de normas.

${\displaystyle \|f\|_{n}=\sup _{z\in \mathbb {C} }\exp \left[-\left(\tau +{\frac {1}{n}}\right)|z|\right]|f(z)|.}$

• Teorema de Paley-Wiener
• espacio Paley-Wiener

• Stein, EM (1957), "Funciones de tipo exponencial", Ann. of Math. , 2, 65 (3): 582– 592, doi : 10.2307/1970066 , JSTOR 1970066 , MR 0085342