Sistema de coordenadas baricéntricas

En geometría , un sistema de coordenadas baricéntricas es aquel en el que la ubicación de un punto se especifica con respecto a un símplex (un triángulo para puntos en un plano , un tetraedro para puntos en el espacio tridimensional , etc.). Las coordenadas baricéntricas de un punto pueden interpretarse como masas situadas en los vértices del símplex, de modo que el punto es el centro de masa (o baricentro ) de dichas masas. Estas masas pueden ser cero o negativas; son positivas solo si el punto se encuentra estrictamente dentro del símplex.

Cada punto posee coordenadas baricéntricas, y su suma nunca es cero. Dos pares de coordenadas baricéntricas definen el mismo punto si y solo si son proporcionales; es decir, si un par se obtiene multiplicando los elementos del otro por el mismo número distinto de cero. Por lo tanto, las coordenadas baricéntricas se consideran definidas salvo multiplicación por una constante distinta de cero, o bien normalizadas para que su suma sea igual a la unidad.

Las coordenadas baricéntricas fueron introducidas por August Möbius en 1827. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} Son coordenadas homogéneas especiales . Las coordenadas baricéntricas están fuertemente relacionadas con las coordenadas cartesianas y, más generalmente, con las coordenadas afines ( ).

Las coordenadas baricéntricas son particularmente útiles en geometría triangular para estudiar propiedades que no dependen de los ángulos del triángulo, como el teorema de Ceva , el teorema de Routh y el teorema de Menelao . En diseño asistido por computadora , son útiles para definir algunos tipos de superficies de Bézier . ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Dejar${\displaystyle A_{0},\ldots ,A_{n}}$sean n + 1 puntos en un espacio euclidiano , un espacio plano o un espacio afín.${\displaystyle \mathbf {A} }$de dimensión n que son afínmente independientes ; esto significa que no hay ningún subespacio afín de dimensión n − 1 que contenga todos los puntos, ^{[ 6 ]} o, equivalentemente, que los puntos definen un simplex . Dado cualquier punto${\displaystyle P\in \mathbf {A} ,}$hay escalares${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$que no son todos cero, de tal manera que $${\displaystyle (a_{0}+\cdots +a_{n}){\overset {}{\overrightarrow {OP}}}=a_{0}{\overset {}{\overrightarrow {OA_{0}}}}+\cdots +a_{n}{\overset {}{\overrightarrow {OA_{n}}}},}$$ para cualquier punto O . (Como es habitual, la notación${\displaystyle {\overset {}{\overrightarrow {AB}}}}$representa el vector de traslación o vector libre que mapea el punto A al punto B.

Los elementos de una tupla ( n + 1)${\displaystyle (a_{0}:\dotsc :a_{n})}$que satisfacen esta ecuación se denominan coordenadas baricéntricas de P con respecto a${\displaystyle A_{0},\ldots ,A_{n}.}$El uso de dos puntos en la notación de la tupla significa que las coordenadas baricéntricas son una especie de coordenadas homogéneas ; es decir, el punto no cambia si todas las coordenadas se multiplican por la misma constante distinta de cero. Además, las coordenadas baricéntricas tampoco cambian si se modifica el punto auxiliar O , el origen .

Las coordenadas baricéntricas de un punto son únicas salvo un factor de escala . Es decir, dos tuplas${\displaystyle (a_{0}:\dotsc :a_{n})}$y${\displaystyle (b_{0}:\dotsc :b_{n})}$son coordenadas baricéntricas del mismo punto si y solo si hay un escalar distinto de cero${\displaystyle \lambda }$de tal manera que${\displaystyle b_{i}=\lambda a_{i}}$por cada i .

En algunos contextos, es útil restringir las coordenadas baricéntricas de un punto para que sean únicas. Esto generalmente se logra imponiendo la condición $${\displaystyle \sum a_{i}=1,}$$ o equivalentemente dividiendo cada${\displaystyle a_{i}}$por la suma de todos${\displaystyle a_{i}.}$Estas coordenadas baricéntricas específicas se denominan coordenadas baricéntricas normalizadas o absolutas . ^{[ 7 ]} A veces, también se las denomina coordenadas afines , aunque este término se refiere comúnmente a un concepto ligeramente diferente.

A veces, las coordenadas baricéntricas normalizadas se denominan coordenadas baricéntricas . En este caso, las coordenadas definidas anteriormente se denominan coordenadas baricéntricas homogéneas .

Con la notación anterior, las coordenadas baricéntricas homogéneas de A _i son todas cero, excepto la de índice i . Al trabajar sobre los números reales (la definición anterior también se utiliza para espacios afines sobre un campo arbitrario ), los puntos cuyas coordenadas baricéntricas normalizadas son todas no negativas forman la envoltura convexa de${\displaystyle \{A_{0},\ldots ,A_{n}\},}$que es el simplex que tiene estos puntos como vértices.

Con la notación anterior, una tupla${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$de tal manera que $${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}=0}$$ no define ningún punto, sino el vector $${\displaystyle a_{0}{\overset {}{\overrightarrow {OA_{0}}}}+\cdots +a_{n}{\overset {}{\overrightarrow {OA_{n}}}}}$$ es independiente del origen O. Como la dirección de este vector no cambia si todos${\displaystyle a_{i}}$se multiplican por el mismo escalar, la tupla homogénea${\displaystyle (a_{0}:\dotsc :a_{n})}$Define una dirección de líneas, es decir, un punto en el infinito . Consulte a continuación para obtener más detalles.

Las coordenadas baricéntricas están fuertemente relacionadas con las coordenadas cartesianas y, más generalmente, con las coordenadas afines . Para un espacio de dimensión n , estos sistemas de coordenadas se definen en relación con un punto O , el origen , cuyas coordenadas son cero, y n puntos${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n},}$cuyas coordenadas son cero excepto la de índice i que es igual a uno.

Un punto tiene coordenadas $${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$$ para tal sistema de coordenadas si y solo si sus coordenadas baricéntricas normalizadas son $${\displaystyle (1-x_{1}-\cdots -x_{n},x_{1},\ldots ,x_{n})}$$ en relación con los puntos${\displaystyle O,A_{1},\ldots ,A_{n}.}$

La principal ventaja de los sistemas de coordenadas baricéntricas es su simetría respecto a los n + 1 puntos que los definen. Por lo tanto, suelen ser útiles para estudiar propiedades simétricas respecto a dichos puntos. Por otro lado, las distancias y los ángulos son difíciles de expresar en sistemas de coordenadas baricéntricas en general, y cuando intervienen, suele ser más sencillo utilizar un sistema de coordenadas cartesianas.

Las coordenadas baricéntricas homogéneas también están fuertemente relacionadas con algunas coordenadas proyectivas . Sin embargo, esta relación es más sutil que en el caso de las coordenadas afines y, para ser comprendida claramente, requiere una definición independiente de coordenadas de la completación proyectiva de un espacio afín y una definición de un marco proyectivo .

La completación proyectiva de un espacio afín de dimensión n es un espacio proyectivo de la misma dimensión que contiene al espacio afín como complemento de un hiperplano . La completación proyectiva es única salvo isomorfismo . El hiperplano se denomina hiperplano en el infinito , y sus puntos son los puntos en el infinito del espacio afín. ^{[ 8 ]}

Dado un espacio proyectivo de dimensión n , un marco proyectivo es un conjunto ordenado de n + 2 puntos que no están contenidos en el mismo hiperplano. Un marco proyectivo define un sistema de coordenadas proyectivas tal que las coordenadas del ( n + 2) -ésimo punto del marco son todas iguales y, en caso contrario, todas las coordenadas del i- ésimo punto son cero, excepto la i- ésima. ^{[ 8 ]}

Al construir la completación proyectiva a partir de un sistema de coordenadas afines, se suele definir con respecto a un marco proyectivo formado por las intersecciones con el hiperplano en el infinito de los ejes de coordenadas , el origen del espacio afín y el punto cuyas coordenadas afines son todas iguales a uno. Esto implica que los puntos en el infinito tienen su última coordenada igual a cero, y que las coordenadas proyectivas de un punto del espacio afín se obtienen completando sus coordenadas afines con uno como coordenada ( n + 1) .

Cuando se tienen n + 1 puntos en un espacio afín que definen un sistema de coordenadas baricéntricas, este es otro marco proyectivo de la completación proyectiva que resulta conveniente elegir. Este marco consta de estos puntos y su centroide , es decir, el punto cuyas coordenadas baricéntricas son todas iguales. En este caso, las coordenadas baricéntricas homogéneas de un punto en el espacio afín coinciden con las coordenadas proyectivas de dicho punto. Un punto se encuentra en el infinito si y solo si la suma de sus coordenadas es cero. Este punto se encuentra en la dirección del vector definido al final de la sección  Definición .

En el contexto de un triángulo , las coordenadas baricéntricas también se conocen como coordenadas de área o coordenadas areales , porque las coordenadas de${\displaystyle P}$con respecto al triángulo${\displaystyle ABC}$son equivalentes a las razones (con signo) de las áreas de${\displaystyle PBC}$,​​${\displaystyle PCA}$y​​${\displaystyle PAB}$al área del triángulo de referencia${\displaystyle ABC}$Las coordenadas areales y trilineales se utilizan con fines similares en geometría.

Las coordenadas baricéntricas o de área son extremadamente útiles en aplicaciones de ingeniería que involucran subdominios triangulares . Estas facilitan la evaluación de integrales analíticas, y las tablas de cuadratura gaussiana suelen presentarse en términos de coordenadas de área.

Consideremos un triángulo.${\displaystyle ABC}$con vértices${\displaystyle A=(a_{1},a_{2})}$,${\displaystyle B=(b_{1},b_{2})}$,${\displaystyle C=(c_{1},c_{2})}$en el ⁠${\displaystyle x,y}$-avión ,${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Uno puede considerar puntos en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$como vectores, tiene sentido sumarlos o restarlos y multiplicarlos por escalares.

Cada triángulo${\displaystyle ABC}$tiene un área con signo o área s , que es más o menos su área: $${\displaystyle \operatorname {sarea} (ABC)=\pm \operatorname {area} (ABC).}$$ La señal es más si el camino desde${\displaystyle A}$a${\displaystyle B}$a${\displaystyle C}$luego volver a${\displaystyle A}$El camino recorre el triángulo en sentido contrario a las agujas del reloj. El signo es negativo si el camino recorre el triángulo en el sentido de las agujas del reloj.

Dejar${\displaystyle P}$Sea un punto en el plano y deje que${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})}$sean sus coordenadas baricéntricas normalizadas con respecto al triángulo${\displaystyle ABC}$, entonces $${\displaystyle P=\lambda _{1}A+\lambda _{2}B+\lambda _{3}C}$$ y $${\displaystyle 1=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}.}$$

Coordenadas baricéntricas normalizadas${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})}$También se denominan coordenadas de área porque representan razones de áreas con signo de triángulos: $${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&=\operatorname {sarea} (PBC)/\operatorname {sarea} (ABC)\\\lambda _{2}&=\operatorname {sarea} (APC)/\operatorname {sarea} (ABC)\\\lambda _{3}&=\operatorname {sarea} (ABP)/\operatorname {sarea} (ABC).\end{aligned}}}$$

Estas fórmulas de proporción se pueden demostrar basándose en el hecho de que un triángulo es la mitad de un paralelogramo , y el área de un paralelogramo es fácil de calcular usando un determinante .

Específicamente, dejemos $${\displaystyle D=-A+B+C.}$$${\displaystyle ABCD}$es un paralelogramo porque sus pares de lados opuestos, representados por los pares de vectores de desplazamiento${\displaystyle D-C=B-A}$, y${\displaystyle D-B=C-A}$son paralelas y congruentes.

Triángulo${\displaystyle ABC}$es la mitad del paralelogramo${\displaystyle ABDC}$, por lo que el doble de su área con signo es igual al área con signo del paralelogramo, que viene dada por la${\displaystyle 2\times 2}$determinante${\displaystyle \det(B-A,C-A)}$cuyas columnas son los vectores de desplazamiento${\displaystyle B-A}$y${\displaystyle C-A}$: $${\displaystyle \operatorname {sarea} (ABCD)=\det {\begin{pmatrix}b_{1}-a_{1}&c_{1}-a_{1}\\b_{2}-a_{2}&c_{2}-a_{2}\end{pmatrix}}}$$

Al expandir el determinante, utilizando sus propiedades alternantes y multilineales , se obtiene $${\displaystyle {\begin{aligned}\det(B-A,C-A)&=\det(B,C)-\det(A,C)-\det(B,A)+\det(A,A)\\&=\det(A,B)+\det(B,C)+\det(C,A)\end{aligned}}}$$ entonces $${\displaystyle 2\operatorname {sarea} (ABC)=\det(A,B)+\det(B,C)+\det(C,A).}$$ Similarmente, $${\displaystyle 2\operatorname {sarea} (PBC)=\det(P,B)+\det(B,C)+\det(C,P).}$$ Para obtener la razón de estas áreas con signo, exprese${\displaystyle P}$en la segunda fórmula en términos de sus coordenadas baricéntricas: $${\displaystyle {\begin{aligned}2\operatorname {sarea} (PBC)&=\det(\lambda _{1}A+\lambda _{2}B+\lambda _{3}C,B)+\det(B,C)+\det(C,\lambda _{1}A+\lambda _{2}B+\lambda _{3}C)\\&=\lambda _{1}\det(A,B)+\lambda _{3}\det(C,B)+\det(B,C)+\lambda _{1}\det(C,A)+\lambda _{2}\det(C,B)\\&=\lambda _{1}\det(A,B)+\lambda _{1}\det(C,A)+(1-\lambda _{2}-\lambda _{3})\det(B,C)\end{aligned}}.}$$ Las coordenadas baricéntricas están normalizadas de manera que${\displaystyle 1=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}$, por eso ${\displaystyle \lambda _{1}=(1-\lambda _{2}-\lambda _{3})}$. Inserta eso en la línea anterior para obtener $${\displaystyle {\begin{aligned}2\operatorname {sarea} (PBC)&=\lambda _{1}(\det(A,B)+\det(B,C)+\det(C,A))\\&=(\lambda _{1})(2\operatorname {sarea} (ABC)).\end{aligned}}}$$ Por lo tanto $${\displaystyle \lambda _{1}=\operatorname {sarea} (PBC)/\operatorname {sarea} (ABC).}$$

Cálculos similares demuestran las otras dos fórmulas. $${\displaystyle \lambda _{2}=\operatorname {sarea} (APC)/\operatorname {sarea} (ABC)}$$$${\displaystyle \lambda _{3}=\operatorname {sarea} (ABP)/\operatorname {sarea} (ABC).}$$

Coordenadas trilineales${\displaystyle (\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3})}$de${\displaystyle P}$son distancias señalizadas desde${\displaystyle P}$a las líneas${\displaystyle BC}$,​​${\displaystyle AC}$y​​${\displaystyle AB}$⁠ , respectivamente. El signo de${\displaystyle \gamma _{1}}$es positivo si${\displaystyle P}$y${\displaystyle A}$yacen del mismo lado de${\displaystyle BC}$⁠ , negativo en caso contrario. Los signos de${\displaystyle \gamma _{2}}$y${\displaystyle \gamma _{3}}$se asignan de manera similar. ${\displaystyle a=\operatorname {length} (BC)}$,${\displaystyle b=\operatorname {length} (CA)}$,${\displaystyle c=\operatorname {length} (AB)}$. Entonces $${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{1}a&=\pm 2\operatorname {sarea} (PBC)\\\gamma _{2}b&=\pm 2\operatorname {sarea} (APC)\\\gamma _{3}c&=\pm 2\operatorname {sarea} (ABP)\end{aligned}}}$$ donde, como se indicó anteriormente, sarea significa área señalizada. Los tres signos son más si se trata de un triángulo .${\displaystyle ABC}$La orientación es positiva, y negativa en caso contrario. Las relaciones entre coordenadas trilineales y baricéntricas se obtienen sustituyendo estas fórmulas en las fórmulas anteriores que expresan las coordenadas baricéntricas como cocientes de áreas.

Alternar entre las coordenadas baricéntricas y otros sistemas de coordenadas facilita mucho la resolución de algunos problemas.

Aplicaciones

Determinación de la ubicación con respecto a un triángulo.

Aunque las coordenadas baricéntricas se utilizan más comúnmente para manejar puntos dentro de un triángulo, también se pueden usar para describir un punto fuera del triángulo. Si el punto no está dentro del triángulo, aún podemos usar las fórmulas anteriores para calcular las coordenadas baricéntricas. Sin embargo, dado que el punto está fuera del triángulo, al menos una de las coordenadas violará nuestra suposición original de que${\displaystyle \lambda _{1...3}\geq 0}$De hecho, dado cualquier punto en coordenadas cartesianas, podemos usar este hecho para determinar dónde se encuentra ese punto con respecto a un triángulo.

Si un punto se encuentra en el interior del triángulo, todas las coordenadas baricéntricas se encuentran en el intervalo abierto.${\displaystyle (0,1).}$ Si un punto se encuentra en un borde del triángulo pero no en un vértice, una de las coordenadas del área${\displaystyle \lambda _{1...3}}$(la asociada con el vértice opuesto) es cero, mientras que las otras dos se encuentran en el intervalo abierto.${\displaystyle (0,1).}$Si el punto se encuentra sobre un vértice, la coordenada asociada a ese vértice es igual a 1 y las demás son iguales a cero. Finalmente, si el punto se encuentra fuera del triángulo, al menos una coordenada es negativa.

En resumen,

• Punto${\displaystyle \mathbf {r} }$se encuentra dentro del triángulo si y solo si${\displaystyle 0<\lambda _{i}<1}$${\displaystyle \forall \;i{\text{ in }}\{1,2,3\}}$.
• ${\displaystyle \mathbf {r} }$se encuentra en el borde o esquina del triángulo si${\displaystyle 0\leq \lambda _{i}\leq 1}$${\displaystyle \forall \;i{\text{ in }}\{1,2,3\}}$y${\displaystyle \lambda _{i}=0}$para algunos${\displaystyle i{\text{ in }}\{1,2,3\}}$.
• De lo contrario,${\displaystyle \mathbf {r} }$se encuentra fuera del triángulo.

En particular, si un punto se encuentra en el lado opuesto de una línea, la coordenada baricéntrica del punto del triángulo que no está sobre la línea tendrá un valor negativo.

Interpolación en una cuadrícula triangular no estructurada

Si${\displaystyle f(\mathbf {r} _{1}),f(\mathbf {r} _{2}),f(\mathbf {r} _{3})}$son cantidades conocidas, pero los valores de f dentro del triángulo definido por${\displaystyle \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}}$Se desconocen, se pueden aproximar mediante interpolación lineal . Las coordenadas baricéntricas proporcionan una forma conveniente de calcular esta interpolación. Si${\displaystyle \mathbf {r} }$es un punto dentro del triángulo con coordenadas baricéntricas${\displaystyle \lambda _{1}}$,${\displaystyle \lambda _{2}}$,${\displaystyle \lambda _{3}}$, entonces $${\displaystyle f(\mathbf {r} )\approx \lambda _{1}f(\mathbf {r} _{1})+\lambda _{2}f(\mathbf {r} _{2})+\lambda _{3}f(\mathbf {r} _{3})}$$

En general, dada cualquier cuadrícula no estructurada o malla poligonal , este tipo de técnica se puede utilizar para aproximar el valor de f en todos los puntos, siempre que se conozca el valor de la función en todos los vértices de la malla. En este caso, tenemos muchos triángulos, cada uno correspondiente a una parte diferente del espacio. Para interpolar una función f en un punto${\displaystyle \mathbf {r} }$, primero se debe encontrar un triángulo que contenga${\displaystyle \mathbf {r} }$Para ello,${\displaystyle \mathbf {r} }$se transforma en las coordenadas baricéntricas de cada triángulo. Si se encuentra algún triángulo tal que las coordenadas satisfacen${\displaystyle 0\leq \lambda _{i}\leq 1}$${\displaystyle \forall \;i{\text{ in }}1,2,3}$, entonces el punto se encuentra en ese triángulo o en su borde (explicado en la sección anterior). Entonces el valor de${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$puede interpolarse como se describió anteriormente.

Estos métodos tienen muchas aplicaciones, como el método de elementos finitos (MEF).

Integración sobre un triángulo o tetraedro

La integral de una función sobre el dominio del triángulo puede ser difícil de calcular en un sistema de coordenadas cartesianas. Generalmente hay que dividir el triángulo en dos mitades, lo que genera mucha confusión. En cambio, suele ser más fácil cambiar las variables a dos coordenadas baricéntricas cualesquiera, por ejemplo${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}$. Bajo este cambio de variables, $${\displaystyle \int _{T}f(\mathbf {r} )\ d\mathbf {r} =2A\int _{0}^{1}\int _{0}^{1-\lambda _{2}}f(\lambda _{1}\mathbf {r} _{1}+\lambda _{2}\mathbf {r} _{2}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2})\mathbf {r} _{3})\ d\lambda _{1}\ d\lambda _{2}}$$ donde A es el área del triángulo. Este resultado se deriva del hecho de que un rectángulo en coordenadas baricéntricas corresponde a un cuadrilátero en coordenadas cartesianas, y la razón de las áreas de las figuras correspondientes en los sistemas de coordenadas correspondientes viene dada por${\displaystyle 2A}$De manera similar, para la integración sobre un tetraedro, en lugar de dividir la integral en dos o tres partes separadas, se podría cambiar a coordenadas tetraédricas 3D mediante el cambio de variables. $${\displaystyle \int _{T}f(\mathbf {r} )\ d\mathbf {r} =6V\int _{0}^{1}\int _{0}^{1-\lambda _{3}}\int _{0}^{1-\lambda _{2}-\lambda _{3}}f(\lambda _{1}\mathbf {r} _{1}+\lambda _{2}\mathbf {r} _{2}+\lambda _{3}\mathbf {r} _{3}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3})\mathbf {r} _{4})\ d\lambda _{1}\ d\lambda _{2}\ d\lambda _{3}}$$donde V es el volumen del tetraedro.

Este enfoque puede generalizarse a dimensiones superiores, para integrar sobre cualquier simplex n -dimensional.

Las coordenadas baricéntricas se pueden extender fácilmente a tres dimensiones . El simplex 3D es un tetraedro , un poliedro que tiene cuatro caras triangulares y cuatro vértices. Una vez más, las cuatro coordenadas baricéntricas se definen de manera que el primer vértice${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$mapas a coordenadas baricéntricas${\displaystyle \lambda =(1,0,0,0)}$,${\displaystyle \mathbf {r} _{2}\to (0,1,0,0)}$, etc.

Esta es nuevamente una transformación lineal, y podemos extender el procedimiento anterior para triángulos para encontrar las coordenadas baricéntricas de un punto.${\displaystyle \mathbf {r} }$con respecto a un tetraedro: $${\displaystyle \left({\begin{matrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{matrix}}\right)=\mathbf {T} ^{-1}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{4})}$$ dónde${\displaystyle \mathbf {T} }$Ahora es una matriz de 3×3: $${\displaystyle \mathbf {T} =\left({\begin{matrix}x_{1}-x_{4}&x_{2}-x_{4}&x_{3}-x_{4}\\y_{1}-y_{4}&y_{2}-y_{4}&y_{3}-y_{4}\\z_{1}-z_{4}&z_{2}-z_{4}&z_{3}-z_{4}\end{matrix}}\right)}$$ y${\displaystyle \lambda _{4}=1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3}}$con las coordenadas cartesianas correspondientes:$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\lambda _{3}x_{3}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3})x_{4}\\y&=\lambda _{1}y_{1}+\,\lambda _{2}y_{2}+\lambda _{3}y_{3}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3})y_{4}\\z&=\lambda _{1}z_{1}+\,\lambda _{2}z_{2}+\lambda _{3}z_{3}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3})z_{4}\end{aligned}}}$$Una vez más, el problema de encontrar las coordenadas baricéntricas se ha reducido a invertir una matriz de 3×3 .

Las coordenadas baricéntricas tridimensionales pueden utilizarse para determinar si un punto se encuentra dentro de un volumen tetraédrico y para interpolar una función dentro de una malla tetraédrica, de forma análoga al procedimiento bidimensional. Las mallas tetraédricas se utilizan con frecuencia en el análisis de elementos finitos, ya que el uso de coordenadas baricéntricas simplifica enormemente la interpolación tridimensional.

Coordenadas baricéntricas${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{k})}$de un punto${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$que se definen con respecto a un conjunto finito de ⁠${\displaystyle k}$puntos​${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{k}\in \mathbb {R} ^{n}}$En lugar de un simplex, se denominan coordenadas baricéntricas generalizadas . Para estas, la ecuación $${\displaystyle (\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{k})p=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\cdots +\lambda _{k}x_{k}}$$ aún se requiere mantener. ^{[ 14 ]} Por lo general se utilizan coordenadas normalizadas,${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{k}=1}$. En cuanto al caso de un simplex, los puntos con coordenadas generalizadas normalizadas no negativas (${\displaystyle 0\leq \lambda _{i}\leq 1}$) forman la envoltura convexa de x ₁ , ..., x _n . Si hay más puntos que en un simplex completo (${\displaystyle k>n+1}$) las coordenadas baricéntricas generalizadas de un punto no son únicas, ya que el sistema lineal definitorio (aquí para ⁠${\displaystyle n=2}$)​$${\displaystyle \left({\begin{matrix}1&1&1&...\\x_{1}&x_{2}&x_{3}&...\\y_{1}&y_{2}&y_{3}&...\end{matrix}}\right){\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\\\vdots \end{pmatrix}}=\left({\begin{matrix}1\\x\\y\end{matrix}}\right)}$$está subdeterminado . El ejemplo más simple es un cuadrilátero en el plano. Se pueden usar varios tipos de restricciones adicionales para definir coordenadas baricéntricas únicas. ^{[ 15 ]}

Aplicaciones

Las coordenadas baricéntricas generalizadas tienen aplicaciones en gráficos por computadora y, más específicamente, en modelado geométrico . ^{[ 16 ]} A menudo, un modelo tridimensional puede aproximarse mediante un poliedro, de modo que las coordenadas baricéntricas generalizadas con respecto a dicho poliedro tengan un significado geométrico. De esta manera, el procesamiento del modelo puede simplificarse utilizando estas coordenadas significativas. Las coordenadas baricéntricas también se utilizan en geofísica . ^{[ 17 ]}

• Diagrama ternario
• Combinación convexa
• Rompecabezas de vertido de agua
• Coordenadas homogéneas
• álgebra baricéntrica