Variedad proyectiva

Let k be an algebraically closed field. The basis of the definition of projective varieties is projective space ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$, which can be defined in different, but equivalent ways:

• as the set of all lines through the origin in ${\displaystyle k^{n+1}}$ (i.e., all one-dimensional vector subspaces of ${\displaystyle k^{n+1}}$)
• as the set of tuples ${\displaystyle (x_{0},\dots ,x_{n})\in k^{n+1}}$, with ${\displaystyle x_{0},\dots ,x_{n}}$ not all zero, modulo the equivalence relation $${\displaystyle (x_{0},\dots ,x_{n})\sim \lambda (x_{0},\dots ,x_{n})}$$ for any ${\displaystyle \lambda \in k\setminus \{0\}}$. The equivalence class of such a tuple is denoted by $${\displaystyle [x_{0}:\dots :x_{n}].}$$ This equivalence class is the general point of projective space. The numbers ${\displaystyle x_{0},\dots ,x_{n}}$ are referred to as the homogeneous coordinates of the point.

A projective variety is, by definition, a closed subvariety of ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$, where closed refers to the Zariski topology.^[2] In general, closed subsets of the Zariski topology are defined to be the common zero-locus of a finite collection of homogeneous polynomial functions. Given a polynomial ${\displaystyle f\in k[x_{0},\dots ,x_{n}]}$, the condition

${\displaystyle f([x_{0}:\dots :x_{n}])=0}$

does not make sense for arbitrary polynomials, but only if f is homogeneous, i.e., the degrees of all the monomials (whose sum is f) are the same. In this case, the vanishing of

${\displaystyle f(\lambda x_{0},\dots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{\deg f}f(x_{0},\dots ,x_{n})}$

is independent of the choice of ${\displaystyle \lambda \neq 0}$.

Therefore, projective varieties arise from homogeneous prime idealsI of ${\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{n}]}$, and setting

${\displaystyle X=\left\{[x_{0}:\dots :x_{n}]\in \mathbb {P} ^{n},f([x_{0}:\dots :x_{n}])=0{\text{ para todo }}f\in I\right\}.}$

Además, la variedad proyectiva X es una variedad algebraica, lo que significa que está cubierta por subvariedades afines abiertas y satisface el axioma de separación. Por lo tanto, el estudio local de X (por ejemplo, la singularidad) se reduce al de una variedad afín. La estructura explícita es la siguiente. El espacio proyectivo${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$está cubierto por los diagramas afines abiertos estándar

${\displaystyle U_{i}=\{[x_{0}:\dots :x_{n}],x_{i}\neq 0\},}$

que a su vez son n -espacios afines con el anillo de coordenadas

${\displaystyle k\left[y_{1}^{(i)},\dots ,y_{n}^{(i)}\right],\quad y_{j}^{(i)}=x_{j}/x_{i}.}$

Digamos i = 0 para simplificar la notación y eliminemos el superíndice (0). Entonces${\displaystyle X\cap U_{0}}$es una subvariedad cerrada de${\displaystyle U_{0}\simeq \mathbb {A} ^{n}}$definido por el ideal de${\displaystyle k[y_{1},\dots,y_{n}]}$generado por

${\displaystyle f(1,y_{1},\dots ,y_{n})}$

para todo f en I. Por lo tanto, X es una variedad algebraica cubierta por ( n +1) cartas afines abiertas.${\displaystyle X\cap U_{i}}$.

Nótese que X es el cierre de la variedad afín.${\displaystyle X\cap U_{0}}$en${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$. Por el contrario, partiendo de alguna variedad cerrada (afín)${\displaystyle V\subset U_{0}\simeq \mathbb {A} ^{n}}$, el cierre de V en${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$es la variedad proyectiva llamadaCompletación proyectiva deV.Si${\displaystyle I\subset k[y_{1},\dots ,y_{n}]}$define V , entonces el ideal definitorio de esta clausura es el ideal homogéneo ^{[ 3 ]} de${\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{n}]}$generado por

${\displaystyle x_{0}^{\deg(f)}f(x_{1}/x_{0},\dots ,x_{n}/x_{0})}$

para todo f en I.

Por ejemplo, si V es una curva afín dada por, digamos,${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}$en el plano afín, entonces su completación proyectiva en el plano proyectivo viene dada por${\displaystyle y^{2}z=x^{3}+axz^{2}+bz^{3}.}$

Para diversas aplicaciones, es necesario considerar objetos algebro-geométricos más generales que las variedades proyectivas, a saber, esquemas proyectivos. El primer paso hacia los esquemas proyectivos es dotar al espacio proyectivo de una estructura de esquema, de manera que se refine la descripción anterior del espacio proyectivo como una variedad algebraica, es decir,${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}(k)}$es un esquema que es una unión de ( n + 1) copias del espacio afín n k ⁿ . Más generalmente, ^{[ 4 ]} el espacio proyectivo sobre un anillo A es la unión de los esquemas afines

${\displaystyle U_{i}=\operatorname {Spec} A[x_{0}/x_{i},\dots ,x_{n}/x_{i}],\quad 0\leq i\leq n,}$

De tal manera que las variables coinciden como se esperaba. El conjunto de puntos cerrados de${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$, para cuerpos algebraicamente cerrados k , es entonces el espacio proyectivo${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}(k)}$en el sentido habitual.

Una construcción equivalente pero simplificada viene dada por la construcción Proj , que es un análogo del espectro de un anillo , denotado "Spec", que define un esquema afín. ^{[ 5 ]} Por ejemplo, si A es un anillo, entonces

${\displaystyle \mathbb {P} _{A}^{n}=\operatorname {Proj} A[x_{0},\ldots ,x_{n}].}$

Si R es un cociente de${\displaystyle k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$por un ideal homogéneo I , entonces la sobreyección canónica induce la inmersión cerrada.

${\displaystyle \operatorname {Proj} R\hookrightarrow \mathbb {P} _{k}^{n}.}$

En comparación con las variedades proyectivas, se eliminó la condición de que el ideal I sea un ideal primo. Esto conduce a una noción mucho más flexible: por un lado, el espacio topológico${\displaystyle X=\operatorname {Proj} R}$puede tener múltiples componentes irreducibles . Además, puede haber funciones nilpotentes en X.

Subesquemas cerrados de${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$corresponden biyectivamente a los ideales homogéneos I de${\displaystyle k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$que están saturadas ; es decir,${\displaystyle I:(x_{0},\dots ,x_{n})=I.}$^{[ 6 ]} Este hecho puede considerarse como una versión refinada delNullstellensatz proyectivo.

Podemos dar un análogo sin coordenadas de lo anterior. Es decir, dado un espacio vectorial de dimensión finita V sobre k , dejamos que

${\displaystyle \mathbb {P} (V)=\operatorname {Proj} k[V]}$

dónde${\displaystyle k[V]=\operatorname {Sym} (V^{*})}$es el álgebra simétrica de${\displaystyle V^{*}}$. ^{[ 7 ]} Es la proyectividad de V ; es decir, parametriza líneas en V. Hay una aplicación sobreyectiva canónica${\displaystyle \pi :V\setminus \{0\}\to \mathbb {P} (V)}$, que se define utilizando el diagrama descrito anteriormente. ^{[ 8 ]} Un uso importante de la construcción es este (cf., §  Dualidad y sistema lineal ). Un divisor D en una variedad proyectiva X corresponde a un fibrado lineal L. Entonces se establece

${\displaystyle |D|=\mathbb {P} (\Gamma (X,L))}$;

Se le llama el sistema lineal completo de D.

El espacio proyectivo sobre cualquier esquema S puede definirse como un producto fibrado de esquemas.

${\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{n}=\mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}\times _{\operatorname {Spec} \mathbb {Z} }S.}$

Si${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$es el haz retorcido de Serre en${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}}$, dejamos${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$denotan el retroceso de${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$a${\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{n}}$; eso es,${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)=g^{*}({\mathcal {O}}(1))}$para el mapa canónico${\displaystyle g:\mathbb {P} _{S}^{n}\to \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}.}$

Un esquema X → S se denomina proyectivo sobre S si se factoriza como una inmersión cerrada.

${\displaystyle X\to \mathbb {P} _{S}^{n}}$

seguido de la proyección a S.

Un haz lineal (o haz invertible)${\displaystyle {\mathcal {L}}}$En un esquema X sobre S se dice que es muy amplio en relación con S si hay una inmersión (es decir, una inmersión abierta seguida de una inmersión cerrada).

${\displaystyle i:X\to \mathbb {P} _{S}^{n}}$

para algún n de modo que${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$retrocesos a${\displaystyle {\mathcal {L}}}$. Then a S-scheme X is projective if and only if it is proper and there exists a very ample sheaf on X relative to S. Indeed, if X is proper, then an immersion corresponding to the very ample line bundle is necessarily closed. Conversely, if X is projective, then the pullback of ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ under the closed immersion of X into a projective space is very ample. That "projective" implies "proper" is deeper: the main theorem of elimination theory.

Como el ideal primo P que define una variedad proyectiva X es homogéneo, el anillo de coordenadas homogéneas

${\displaystyle R=k[x_{0},\dots ,x_{n}]/P}$

es un anillo graduado , es decir, puede expresarse como la suma directa de sus componentes graduados:

${\displaystyle R=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }R_{n}.}$

Existe un polinomio P tal que${\displaystyle \dim R_{n}=P(n)}$para todo n suficientemente grande ; se le llama el polinomio de Hilbert de X. Es un invariante numérico que codifica alguna geometría extrínseca de X. El grado de P es la dimensión r de X y su coeficiente principal multiplicado por r! es el grado de la variedad X. El género aritmético de X es (−1) ^r ( P (0) − 1) cuando X es suave.

Por ejemplo, el anillo de coordenadas homogéneas de${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$es${\displaystyle k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$y su polinomio de Hilbert es${\displaystyle P(z)={\binom {z+n}{n}}}$; su género aritmético es cero.

Si el anillo de coordenadas homogéneas R es un dominio integralmente cerrado , entonces se dice que la variedad proyectiva X es proyectivamente normal . Nótese que, a diferencia de la normalidad , la normalidad proyectiva depende de R , la inmersión de X en un espacio proyectivo. La normalización de una variedad proyectiva es proyectiva; de hecho, es la Proj de la clausura integral de algún anillo de coordenadas homogéneas de X.

Dejar${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{N}}$sea ​​una variedad proyectiva. Hay al menos dos formas equivalentes de definir el grado de X en relación con su incrustación. La primera forma es definirlo como la cardinalidad del conjunto finito.

${\displaystyle \#(X\cap H_{1}\cap \cdots \cap H_{d})}$

donde d es la dimensión de X y H _i son hiperplanos en "posiciones generales". Esta definición corresponde a una idea intuitiva de grado. En efecto, si X es una hipersuperficie, entonces el grado de X es el grado del polinomio homogéneo que define X. Las "posiciones generales" pueden precisarse, por ejemplo, mediante la teoría de la intersección ; se requiere que la intersección sea propia y que las multiplicidades de los componentes irreducibles sean todas uno.

La otra definición, que se menciona en la sección anterior, es que el grado de X es el coeficiente principal del polinomio de Hilbert ^de X por (dim X )!. Geométricamente, esta definición significa que el grado de X es la multiplicidad del vértice del cono afín sobre X. ^{[ 12} ]

Dejar${\displaystyle V_{1},\dots ,V_{r}\subset \mathbb {P} ^{N}}$sean subesquemas cerrados de dimensiones puras que se intersecan adecuadamente (están en posición general). Si m _i denota la multiplicidad de un componente irreducible Z _i en la intersección (es decir, multiplicidad de intersección ), entonces la generalización del teorema de Bézout dice: ^{[ 13 ]}

${\displaystyle \sum _{1}^{s}m_{i}\deg Z_{i}=\prod _{1}^{r}\deg V_{i}.}$

La multiplicidad de intersección m _i se puede definir como el coeficiente de Z _i en el producto de intersección.${\displaystyle V_{1}\cdot \cdots \cdot V_{r}}$en el anillo Chow de${\displaystyle \mathbb {P} ^{N}}$.

En particular, si${\displaystyle H\subset \mathbb {P} ^{N}}$es una hipersuperficie que no contiene X , entonces

${\displaystyle \sum _{1}^{s}m_{i}\deg Z_{i}=\deg(X)\deg(H)}$

donde Z _i son los componentes irreducibles de la intersección teórica de esquemas de X y H con multiplicidad (longitud del anillo local) m _i .

Una variedad proyectiva compleja puede considerarse como una variedad compleja compacta ; el grado de la variedad (en relación con la incrustación) es entonces el volumen de la variedad como variedad con respecto a la métrica heredada del espacio proyectivo complejo ambiente . Una variedad proyectiva compleja puede caracterizarse como un minimizador del volumen (en cierto sentido).

Sea X una variedad proyectiva y L un fibrado lineal sobre ella. Entonces el anillo graduado

${\displaystyle R(X,L)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }H^{0}(X,L^{\otimes n})}$

se llama el anillo de secciones de L. Si L es amplio , entonces Proj de este anillo es X. Además, si X es normal y L es muy amplio, entonces${\displaystyle R(X,L)}$es el cierre integral del anillo de coordenadas homogéneas de X determinado por L ; es decir,${\displaystyle X\hookrightarrow \mathbb {P} ^{N}}$de modo que${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{N}}(1)}$retrocede ^a L. [ ^{14 ]}

Para aplicaciones, es útil permitir divisores (o${\displaystyle \mathbb {Q} }$-divisores) no solo haces de líneas; suponiendo que X es normal, el anillo resultante se denomina entonces anillo generalizado de secciones. Si${\displaystyle K_{X}}$es un divisor canónico en X , entonces el anillo generalizado de secciones

${\displaystyle R(X,K_{X})}$

Se denomina anillo canónico de X. Si el anillo canónico es finitamente generado, entonces Proj del anillo se denomina modelo canónico de X. El anillo o modelo canónico puede utilizarse para definir la dimensión de Kodaira de X.

Los esquemas proyectivos de dimensión uno se denominan curvas proyectivas . Gran parte de la teoría de las curvas proyectivas se centra en las curvas proyectivas suaves, ya que las singularidades de las curvas pueden resolverse mediante la normalización , que consiste en tomar localmente la clausura integral del anillo de funciones regulares. Las curvas proyectivas suaves son isomorfas si y solo si sus campos de funciones son isomorfos. El estudio de extensiones finitas de

${\displaystyle \mathbb {F} _{p}(t),}$

o curvas proyectivas suaves equivalentes sobre${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$es una rama importante en la teoría algebraica de números . ^{[ 15 ]}

Una curva proyectiva suave de género uno se llama curva elíptica . Como consecuencia del teorema de Riemann-Roch , dicha curva puede incrustarse como una subvariedad cerrada en${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$En general, cualquier curva proyectiva (suave) puede incrustarse en${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$(para una demostración, véase Variedad secante#Ejemplos ). Por el contrario, cualquier curva cerrada suave en${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$de grado tres tiene género uno según la fórmula del género y por lo tanto es una curva elíptica.

Una curva completa y suave de género mayor o igual a dos se denomina curva hiperelíptica si existe un morfismo finito.${\displaystyle C\to \mathbb {P} ^{1}}$de segundo grado. ^{[ 16 ]}

Todo subconjunto cerrado irreducible de${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$de codimensión uno es una hipersuperficie ; es decir, el conjunto cero de algún polinomio irreducible homogéneo. ^{[ 17 ]}

Otro invariante importante de una variedad proyectiva X es el grupo de Picard.${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)}$de X , el conjunto de clases de isomorfismo de haces de líneas en X. Es isomorfo a${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})}$y por lo tanto una noción intrínseca (independiente de la incrustación). Por ejemplo, el grupo de Picard de${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$es isomorfo a${\displaystyle \mathbb {Z} }$a través del mapa de grados. El núcleo de${\displaystyle \deg$ :\operatorname {Pic} (X)\to \mathbb {Z} } no es solo un grupo abeliano abstracto, sino que existe una variedad llamada variedad jacobiana de X , Jac( X ), cuyos puntos son iguales a este grupo. El jacobiano de una curva (suave) juega un papel importante en el estudio de la curva. Por ejemplo, el jacobiano de una curva elíptica E es la propia E. Para una curva X de género g , Jac( X ) tiene dimensión g .

Las variedades, como la variedad jacobiana, que son completas y tienen una estructura de grupo se conocen como variedades abelianas , en honor a Niels Abel . En marcado contraste con los grupos algebraicos afines como${\displaystyle GL_{n}(k)}$Estos grupos son siempre conmutativos, de ahí su nombre. Además, admiten un fibrado lineal amplio y, por lo tanto, son proyectivos. Por otro lado, un esquema abeliano puede no ser proyectivo. Ejemplos de variedades abelianas son las curvas elípticas, las variedades jacobianas y las superficies K3 .

La dualidad de Serre establece que para cualquier haz localmente libre${\displaystyle {\mathcal {F}}}$en X ,

${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})\simeq H^{n-i}(X,{\mathcal {F}}^{\vee }\otimes \omega _{X})'}$

donde el superíndice prima se refiere al espacio dual y${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\vee }}$es el haz doble de${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. Una generalización a esquemas proyectivos, pero no necesariamente suaves, se conoce como dualidad de Verdier .

Para una curva (proyectiva suave) X , H ² y superiores se anulan por razones dimensionales y el espacio de las secciones globales del haz de estructura es unidimensional. Por lo tanto, el género aritmético de X es la dimensión de${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$Por definición, el género geométrico de X es la dimensión de H ⁰ ( X , ω _X ). La dualidad de Serre implica, por lo tanto , que el género aritmético y el género geométrico coinciden. Simplemente se les denominará el género de X.

La dualidad de Serre es también un ingrediente clave en la demostración del teorema de Riemann-Roch . Dado que X es liso, existe un isomorfismo de grupos.

${\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {Cl} (X)\to \operatorname {Pic} (X)\\D\mapsto {\mathcal {O}}(D)\end{cases}}}$

del grupo de divisores (de Weil) módulo divisores principales al grupo de clases de isomorfismo de haces de líneas. Un divisor correspondiente a ω _X se llama divisor canónico y se denota por K . Sea l ( D ) la dimensión de${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {O}}(D))}$. Entonces el teorema de Riemann-Roch establece: si g es un género de X ,

${\displaystyle l(D)-l(K-D)=\deg D+1-g,}$

para cualquier divisor D en X. Por la dualidad de Serre, esto es lo mismo que:

${\displaystyle \chi ({\mathcal {O}}(D))=\deg D+1-g,}$

lo cual se puede demostrar fácilmente. ^{[ 25 ]} Una generalización del teorema de Riemann-Roch a dimensiones superiores es el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch , así como el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch de gran alcance .

El espacio proyectivo complejo es una variedad de Kähler . Esto implica que, para cualquier variedad algebraica proyectiva X ,${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$es una variedad de Kähler compacta. Lo contrario no es cierto en general, pero el teorema de inmersión de Kodaira proporciona un criterio para que una variedad de Kähler sea proyectiva.

En dimensiones reducidas, se obtienen los siguientes resultados:

• (Riemann) Una superficie de Riemann compacta (es decir, una variedad compleja compacta de dimensión uno) es una variedad proyectiva. Por el teorema de Torelli , está determinada unívocamente por su jacobiano.
• (Chow-Kodaira) Una variedad compleja compacta de dimensión dos con dos funciones meromorfas algebraicamente independientes es una variedad proyectiva. ^{[ 29 ]}

El teorema de Chow ofrece una forma sorprendente de ir en la dirección opuesta, de la geometría analítica a la algebraica. Afirma que toda subvariedad analítica de un espacio proyectivo complejo es algebraica. El teorema puede interpretarse en el sentido de que una función holomorfa que satisface cierta condición de crecimiento es necesariamente algebraica: el término "proyectivo" proporciona esta condición de crecimiento. Del teorema se puede deducir lo siguiente:

• Las funciones meromorfas en el espacio proyectivo complejo son racionales.
• Si una aplicación algebraica entre variedades algebraicas es un isomorfismo analítico , entonces es un isomorfismo (algebraico). (Este es un hecho fundamental en el análisis complejo). En particular, el teorema de Chow implica que una aplicación holomorfa entre variedades proyectivas es algebraica. (Consideremos la gráfica de dicha aplicación).
• Todo fibrado vectorial holomorfo sobre una variedad proyectiva es inducido por un único fibrado vectorial algebraico. ^{[ 30 ]}
• Todo fibrado lineal holomorfo en una variedad proyectiva es un fibrado lineal de un divisor. ^{[ 31 ]}

El teorema de Chow se puede demostrar mediante el principio GAGA de Serre . Su teorema principal establece:

Sea X un esquema proyectivo sobre${\displaystyle \mathbb {C} }$Entonces, el functor que asocia los haces coherentes en X con los haces coherentes en el espacio analítico complejo correspondiente X ^an es una equivalencia de categorías. Además, los mapas naturales

${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})\to H^{i}(X^{\text{an}},{\mathcal {F}})}$

son isomorfismos para todo i y todos los haces coherentes${\displaystyle {\mathcal {F}}}$en X . ^{[ 32 ]}

La variedad compleja asociada a una variedad abeliana A sobre${\displaystyle \mathbb {C} }$es un grupo de Lie complejo compacto . Se puede demostrar que estos tienen la forma

${\displaystyle \mathbb {C} ^{g}/L}$

y también se les conoce como toros complejos . Aquí, g es la dimensión del toro y L es una red (también conocida como red periódica ).

Según el teorema de uniformización ya mencionado, cualquier toro de dimensión 1 surge de una variedad abeliana de dimensión 1, es decir, de una curva elíptica . De hecho, la función elíptica de Weierstrass${\displaystyle \wp }$adjunta a L satisface una cierta ecuación diferencial y, como consecuencia, define una inmersión cerrada: ^{[ 33 ]}

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {C} /L\to \mathbb {P} ^{2}\\L\mapsto (0:0:1)\\z\mapsto (1:\wp (z):\wp '(z))\end{cases}}}$

Existe un análogo p -ádico, el teorema de uniformización p-ádica .

Para dimensiones superiores, las nociones de variedades abelianas complejas y toros complejos difieren: solo los toros complejos polarizados provienen de variedades abelianas.

El teorema fundamental de desaparición de Kodaira establece que para un fibrado lineal amplio se cumple que${\displaystyle {\mathcal {L}}}$en una variedad proyectiva suave X sobre un cuerpo de característica cero,

${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {L}}\otimes \omega _{X})=0}$

para i > 0, o, equivalentemente por la dualidad de Serre${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {L}}^{-1})=0}$para i < n . ^{[ 34 ]} La primera demostración de este teorema utilizó métodos analíticos de la geometría de Kähler, pero posteriormente se encontró una demostración puramente algebraica. La anulación de Kodaira en general falla para una variedad proyectiva lisa en característica positiva. El teorema de Kodaira es uno de varios teoremas de anulación que dan criterios para que las cohomologías de haces superiores se anulen. Dado que la característica de Euler de un haz (véase más arriba) suele ser más manejable que los grupos de cohomología individuales, esto suele tener consecuencias importantes sobre la geometría de las variedades proyectivas. ^{[ 35 ]}