Colector complejo

En geometría diferencial y geometría compleja , una variedad compleja o una variedad analítica compleja es una variedad con una estructura compleja , es decir, un atlas de cartas a la bola unitaria abierta ^{[ 1 ]} en el espacio de coordenadas complejas.${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, de tal manera que los mapas de transición sean holomorfos .

El término "variedad compleja" se utiliza de diversas maneras para referirse a una variedad compleja en el sentido anterior (que puede especificarse como una variedad compleja integrable ) o a una variedad casi compleja .

Dado que las funciones holomorfas son mucho más rígidas que las funciones suaves , las teorías de las variedades suaves y complejas presentan características muy diferentes: las variedades complejas compactas se asemejan mucho más a las variedades algebraicas que a las variedades diferenciables. En particular, si bien las variedades complejas y las variedades analíticas complejas son lo mismo, las variedades suaves y las variedades analíticas reales no lo son.

Por ejemplo, el teorema de incrustación de Whitney nos dice que toda variedad lisa n- dimensional puede incrustarse como una subvariedad lisa de R²ⁿ , mientras que es "raro" que una variedad compleja tenga una incrustación holomorfa en Cⁿ ^. Consideremos, por ejemplo, cualquier ^{variedad compleja} compacta y conexa M : cualquier función holomorfa en ella es constante por el principio del módulo máximo . Ahora bien ^, si tuviéramos una incrustación holomorfa de M en Cⁿ , entonces las funciones de coordenadas de ^Cⁿ se restringirían a funciones holomorfas no constantes en M , lo que contradice la compacidad, excepto en el caso de que M sea simplemente un punto. Las variedades complejas que pueden incrustarse en Cⁿ se llaman variedades de Stein ^y forman una clase muy especial de variedades que incluye, por ejemplo, variedades algebraicas afines complejas lisas.

La clasificación de las variedades complejas es mucho más sutil que la de las variedades diferenciables. Por ejemplo, mientras que en dimensiones distintas de cuatro, una variedad topológica dada tiene como máximo un número finito de estructuras suaves , una variedad topológica que admite una estructura compleja puede admitir, y a menudo admite, un número incontable de estructuras complejas. Las superficies de Riemann , variedades bidimensionales dotadas de una estructura compleja, que se clasifican topológicamente por el género , son un ejemplo importante de este fenómeno. El conjunto de estructuras complejas en una superficie orientable dada, módulo la equivalencia biholomorfa, forma en sí mismo una variedad algebraica compleja llamada espacio de módulos , cuya estructura sigue siendo un área de investigación activa.

Dado que los mapas de transición entre cartas son biholomorfos, las variedades complejas son, en particular, suaves y canónicamente orientadas (no solo orientables : un mapa biholomorfo a (un subconjunto de) C ⁿ da una orientación, ya que los mapas biholomorfos preservan la orientación).

• Superficies de Riemann .
• Variedades de Calabi-Yau .
• El producto cartesiano de dos variedades complejas.
• La imagen inversa de cualquier valor no crítico de una aplicación holomorfa.

Los siguientes espacios son diferentes como variedades complejas, lo que demuestra el carácter geométrico más rígido de las variedades complejas (en comparación con las variedades diferenciables):

• espacio complejo${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$.
• el disco unitario o bola abierta

${\displaystyle \left\{z\in \mathbb {C} ^{n}:\|z\|<1\right\}.}$

• el polidisco

${\displaystyle \left\{z=(z_{1},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}:\vert z_{j}\vert <1\ \forall j=1,\dots ,n\right\}.}$

Una estructura casi compleja en una variedad real 2n es una estructura GL( n , C ) (en el sentido de las estructuras G ) – es decir, el fibrado tangente está equipado con una estructura compleja lineal .

Concretamente, se trata de un endomorfismo del fibrado tangente cuyo cuadrado es −I ; este endomorfismo es análogo a la multiplicación por el número imaginario i , y se denota J (para evitar confusiones con la matriz identidad I ). Una variedad casi compleja es necesariamente de dimensión par.

Una estructura casi compleja es más débil que una estructura compleja: toda variedad compleja tiene una estructura casi compleja, pero no toda estructura casi compleja proviene de una estructura compleja. Nótese que toda variedad real de dimensión par tiene una estructura casi compleja definida localmente a partir de la carta de coordenadas local. La cuestión es si esta estructura casi compleja puede definirse globalmente. Una estructura casi compleja que proviene de una estructura compleja se denomina integrable , y cuando se desea especificar una estructura compleja en contraposición a una estructura casi compleja, se habla de una estructura compleja integrable . Para las estructuras complejas integrables, el llamado tensor de Nijenhuis se anula. Este tensor se define en pares de campos vectoriales, X , Y, mediante

${\displaystyle N_{J}(X,Y)=[X,Y]+J[JX,Y]+J[X,JY]-[JX,JY]\ .}$

Por ejemplo, la esfera de 6 dimensiones S ⁶ tiene una estructura casi compleja natural que surge del hecho de que es el complemento ortogonal de i en la esfera unitaria de los octoniones , pero esta no es una estructura compleja. (La cuestión de si tiene una estructura compleja se conoce como el problema de Hopf, en honor a Heinz Hopf . ^{[ 3 ]} ) Usando una estructura casi compleja podemos comprender las aplicaciones holomorfas y preguntarnos sobre la existencia de coordenadas holomorfas en la variedad. La existencia de coordenadas holomorfas es equivalente a decir que la variedad es compleja (que es lo que dice la definición de la carta).

Al tensorializar el fibrado tangente con los números complejos obtenemos el fibrado tangente complejizado , sobre el cual la multiplicación por números complejos tiene sentido (incluso si partimos de una variedad real). Los autovalores de una estructura casi compleja son ± i y los autoespacios forman subfibrados denotados por T ^0,1 M y T ^1,0 M . El teorema de Newlander-Nirenberg muestra que una estructura casi compleja es en realidad una estructura compleja precisamente cuando estos subfibrados son involutivos , es decir, cerrados bajo el corchete de Lie de campos vectoriales, y dicha estructura casi compleja se llama integrable .

Se puede definir un análogo de la métrica riemanniana para variedades complejas, denominada métrica hermitiana . Al igual que la métrica riemanniana, la métrica hermitiana consiste en un producto interno definido positivo y de variación suave sobre el fibrado tangente, que es hermitiano con respecto a la estructura compleja del espacio tangente en cada punto. Como en el caso riemanniano, estas métricas siempre existen en abundancia en cualquier variedad compleja; es decir, una estructura hermitiana no es rígida.

Una forma hermitiana puede descomponerse en una parte real y una parte compleja como${\displaystyle h(X,Y)=g(X,Y)+i\omega (X,Y)}$La parte real es una métrica riemanniana, y la parte compleja es antisimétrica . Si la parte antisimétrica es simpléctica , es decir, cerrada y no degenerada , entonces la métrica se denomina de Kähler . Las estructuras de Kähler son raras y mucho más rígidas.

Ejemplos de variedades de Kähler incluyen variedades proyectivas suaves y, más generalmente, cualquier subvariedad compleja de una variedad de Kähler. Las variedades de Hopf son ejemplos de variedades complejas que no son de Kähler. Para construir una, se toma un espacio vectorial complejo sin el origen y se considera la acción del grupo de los enteros sobre este espacio mediante la multiplicación por exp( n ). El cociente es una variedad compleja cuyo primer número de Betti es uno, por lo que, según la teoría de Hodge , no puede ser de Kähler.

Una variedad de Calabi-Yau se puede definir como una variedad de Kähler compacta y plana de Ricci o, equivalentemente, una cuya primera clase de Chern se anula.

• Dimensión compleja
• Variedad analítica compleja
• variedad cuaterniónica
• variedad real-compleja

• Kodaira, Kunihiko (17 de noviembre de 2004). Variedades complejas y deformación de estructuras complejas . Clásicos en matemáticas. Springer. ISBN 3-540-22614-1.