Variedad secante

En geometría algebraica , la variedad secante${\displaystyle \operatorname {Sect} (V)}$, o la variedad de acordes , de una variedad proyectiva${\displaystyle V\subset \mathbb {P} ^{r}}$es el cierre de Zariski de la unión de todas las líneas secantes (cuerdas) a V en${\displaystyle \mathbb {P} ^{r}}$: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \operatorname {Sect} (V)=\bigcup _{x,y\in V}{\overline {xy}}}$

(para${\displaystyle x=y}$, la línea${\displaystyle {\overline {xy}}}$es la línea tangente .) También es la imagen bajo la proyección.${\displaystyle p_{3}:(\mathbb {P} ^{r})^{3}\to \mathbb {P} ^{r}}$del cierre Z de la variedad de incidencia

${\displaystyle \{(x,y,l)|x\wedge y\wedge l=0\}}$.

Nótese que Z tiene dimensión${\displaystyle 2\dim V+1}$y entonces${\displaystyle \operatorname {Sect} (V)}$tiene dimensión como máximo${\displaystyle 2\dim V+1}$.

En términos más generales, el${\displaystyle k^{th}}$La variedad secante es el cierre de Zariski de la unión de los espacios lineales generados por colecciones de k + 1 puntos en${\displaystyle V}$Puede denotarse por${\displaystyle \Sigma _{k}}$. La variedad secante anterior es la primera variedad secante. A menos que${\displaystyle \Sigma _{k}=\mathbb {P} ^{r}}$, siempre es singular a lo largo${\displaystyle \Sigma _{k-1}}$, pero puede tener otros puntos singulares.

Si${\displaystyle V}$tiene dimensión d , la dimensión de${\displaystyle \Sigma _{k}}$es como máximo${\displaystyle kd+d+k}$Una herramienta útil para calcular la dimensión de una variedad secante es el lema de Terracini .

Una variedad secante puede utilizarse para demostrar que una curva proyectiva suave puede incrustarse en el espacio tridimensional proyectivo.${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$de la siguiente manera. ^{[ 2 ]} Sea${\displaystyle C\subset \mathbb {P} ^{r}}$sea ​​una curva suave. Dado que la dimensión de la variedad secante S a C tiene dimensión como máximo 3, si${\displaystyle r>3}$, entonces hay un punto p en${\displaystyle \mathbb {P} ^{r}}$eso no está en S y por eso tenemos la proyección${\displaystyle \pi _{p}}$de p a un hiperplano H , que da la incrustación${\displaystyle \pi _{p}:C\hookrightarrow H\simeq \mathbb {P} ^{r-1}}$Ahora repite.

Si${\displaystyle S\subset \mathbb {P} ^{5}}$es una superficie que no se encuentra en un hiperplano y si${\displaystyle \operatorname {Sect} (S)\neq \mathbb {P} ^{5}}$, entonces S es una superficie de Veronese . ^{[ 3 ]}

• Eisenbud, David ; Joe, Harris (2016), 3264 y Todo eso: Un segundo curso de geometría algebraica , CUP, ISBN 978-1107602724
• Griffiths, P.; Harris, J. (1994). Principios de geometría algebraica . Wiley Classics Library. Wiley Interscience. pág.  617. ISBN 0-471-05059-8.
• Joe Harris, Geometría algebraica, un primer curso , (1992) Springer-Verlag, Nueva York. ISBN 0-387-97716-3