Superficie veronesa

En matemáticas , la superficie de Veronese es una superficie algebraica en el espacio proyectivo pentadimensional , y se realiza mediante la inmersión de Veronese , la inmersión del plano proyectivo dada por el sistema lineal completo de cónicas . Recibe su nombre de Giuseppe Veronese (1854-1917). Su generalización a dimensiones superiores se conoce como variedad de Veronese .

La superficie admite una incrustación en el espacio proyectivo de cuatro dimensiones definido por la proyección desde un punto general en el espacio de cinco dimensiones. Su proyección general al espacio proyectivo tridimensional se denomina superficie de Steiner .

La superficie veronesa es la imagen del mapeo.

${\displaystyle \nu :\mathbb {P} ^{2}\to \mathbb {P} ^{5}}$

dado por

${\displaystyle \nu :[x:y:z]\mapsto [x^{2}:y^{2}:z^{2}:yz:xz:xy]}$

donde denota coordenadas homogéneas . El mapa se conoce como incrustación de Veronese.${\displaystyle [x:\cdots ]}$${\displaystyle \nu }$

La superficie veronesa surge de forma natural en el estudio de las cónicas . Una cónica es una curva plana de grado 2, definida así por la siguiente ecuación:

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dxz+Eyz+Fz^{2}=0.}$

La relación entre coeficientes y variables es lineal en los coeficientes y cuadrática en las variables; la transformación de Veronese la convierte en lineal en los coeficientes y en lineal en los monomios. Por lo tanto, para un punto fijo, la condición de que una cónica contenga dicho punto es una ecuación lineal en los coeficientes, lo que formaliza la afirmación de que "pasar por un punto impone una condición lineal a las cónicas". ${\displaystyle (A,B,C,D,E,F)}$${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle [x:y:z],}$

El mapa de Veronese o variedad de Veronese generaliza esta idea a mapeos de grado general d en n + 1 variables. Es decir, el mapa de Veronese de grado d es el mapa

${\displaystyle \nu _{d}\colon \mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{m}}$

donde m viene dado por el coeficiente multiconjunto , o más familiarmente el coeficiente binomial , como:

${\displaystyle m=\left(\!\!{n+1 \choose d}\!\!\right)-1={n+d \choose d}-1.}$

El mapa envía a todos los monomios posibles de grado total d (de los cuales hay ); tenemos ya que hay variables para elegir; y restamos ya que el espacio proyectivo tiene coordenadas. La segunda igualdad muestra que para una dimensión de origen fija n, la dimensión de destino es un polinomio en d de grado n y coeficiente principal${\displaystyle [x_{0}:\ldots :x_{n}]}$${\displaystyle m+1}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{m}}$${\displaystyle m+1}$${\displaystyle 1/n!.}$

Para grados bajos, es el mapa constante trivial a y es el mapa identidad en , por lo que d generalmente se toma como 2 o más. ${\displaystyle d=0}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{0},}$${\displaystyle d=1}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{n},}$

Se puede definir el mapa de Veronese de una manera independiente de las coordenadas, como

${\displaystyle \nu _{d}:\mathbb {P} (V)\ni [v]\mapsto [v^{d}]\in \mathbb {P} ({\rm {{Sym}^{d}V)}}}$

donde V es cualquier espacio vectorial de dimensión finita, y son sus potencias simétricas de grado d . Esto es homogéneo de grado d bajo la multiplicación escalar en V , y por lo tanto pasa a una aplicación en los espacios proyectivos subyacentes . ${\displaystyle {\rm {{Sym}^{d}V}}}$

Si el espacio vectorial V se define sobre un cuerpo K de característica distinta de cero , entonces la definición debe modificarse para entenderse como una aplicación al espacio dual de polinomios en V. Esto se debe a que, para cuerpos de característica finita p , las potencias p -ésimas de los elementos de V no son curvas normales racionales , sino una recta. (Véase, por ejemplo, el polinomio aditivo para un tratamiento de polinomios sobre un cuerpo de característica finita).

La variedad de Veronese se conoce como curva normal racional , cuyos ejemplos de menor grado son bien conocidos. ${\displaystyle n=1,}$

• El mapa de Veronese es simplemente el mapa identidad sobre la línea proyectiva.${\displaystyle n=1,d=1}$
• Para la variedad veronesa, la parábola estándar en coordenadas afines${\displaystyle n=1,d=2,}$${\displaystyle [x^{2}:xy:y^{2}],}$${\displaystyle (x,x^{2}).}$
• Para la variedad veronesa es el cúbico retorcido , en coordenadas afines${\displaystyle n=1,d=3,}$${\displaystyle [x^{3}:x^{2}y:xy^{2}:y^{3}],}$${\displaystyle (x,x^{2},x^{3}).}$

La imagen de una variedad bajo la aplicación de Veronese es nuevamente una variedad, y no simplemente un conjunto construible ; además, son isomorfas en el sentido de que la aplicación inversa existe y es regular : la aplicación de Veronese es biregular . Más precisamente, las imágenes de conjuntos abiertos en la topología de Zariski también son abiertas.

• La superficie veronesa es la única variedad Severi de dimensión 2.

• Joe Harris , Geometría algebraica, un primer curso , (1992) Springer-Verlag, Nueva York. ISBN 0-387-97716-3