Dualidad (geometría proyectiva)

Como el plano proyectivo real , PG(2, R ) , es autodual, existen varios pares de resultados bien conocidos que son duales entre sí. Algunos de ellos son:

• Teorema de Desargues ⇔ Recíproco del teorema de Desargues
• Teorema de Pascal ⇔ Teorema de Brianchon
• Teorema de Menelao ⇔ Teorema de Ceva

No solo las afirmaciones, sino también los sistemas de puntos y líneas pueden ser dualizados.

Un conjunto de m puntos y n líneas se denomina configuración ( mc _, nd ₎ si c de las n líneas pasan por cada punto y d de los m puntos se encuentran sobre cada línea. La configuración dual de ( mc , nd ₎ es una configuración ( nd , mc _{) . Por lo tanto, la configuración} dual de un cuadrilátero, una configuración (4³ _, 6² _{) de} cuatro puntos y seis líneas, es un cuadrilátero, una configuración (6² _, 4³ ₎ de seis puntos y cuatro líneas. ^{[ 4 ]}

El conjunto de todos los puntos sobre una línea, llamado rango proyectivo , tiene como dual un haz de líneas , el conjunto de todas las líneas que pasan por un punto, en dos dimensiones, o un haz de hiperplanos en dimensiones superiores. Un segmento de línea sobre una línea proyectiva tiene como dual la forma barrida por estas líneas o hiperplanos, una cuña doble . ^{[ 5 ]}

Una dualidad plana es una aplicación de un plano proyectivo C = ( P , L , I) a su plano dual C ^∗ = ( L , P , I ^∗ ) (véase §  Principio de dualidad más arriba) que preserva la incidencia . Es decir, una dualidad plana σ mapeará puntos a líneas y líneas a puntos ( P ^σ = L y L ^σ = P ) de tal manera que si un punto Q está en una línea m (denotada por Q I m ) entonces Q I m ⇔ m ^σ I ^∗ Q ^σ . Una dualidad plana que es un isomorfismo se llama correlación . ^{[ 6 ]} La existencia de una correlación significa que el plano proyectivo C es autodual .

El plano proyectivo C en esta definición no tiene por qué ser un plano desarguesiano . Sin embargo, si lo es, es decir, C = PG(2, K ) con K un anillo de división (cuerpo sesgado), entonces una dualidad, como se define más adelante para espacios proyectivos generales , da lugar a una dualidad de planos en C que satisface la definición anterior.

Una dualidad δ de un espacio proyectivo es una permutación de los subespacios de PG( n , K ) (también denotada por K P ⁿ ) con K un cuerpo (o más generalmente un cuerpo sesgado ( anillo de división )) que invierte la inclusión, ^{[ 7 ]} es decir:

S ⊆ T implica S ^δ ⊇ T ^δ para todos los subespacios S , T de PG( n , K ) . ^{[ 8 ]}

En consecuencia, una dualidad intercambia objetos de dimensión r con objetos de dimensión n − 1 − r (= codimensión r + 1 ). Es decir, en un espacio proyectivo de dimensión n , los puntos (dimensión 0) corresponden a hiperplanos (codimensión 1), las líneas que unen dos puntos (dimensión 1) corresponden a la intersección de dos hiperplanos (codimensión 2), y así sucesivamente.

Se puede establecer una relación de reciprocidad simple (en realidad, una correlación) entre puntos e hiperplanos mediante la fórmula u _P ↔ u _H. Esta relación se extiende a la reciprocidad entre la recta generada por dos puntos y la intersección de dos hiperplanos de este tipo, y así sucesivamente.

Específicamente, en el plano proyectivo PG (2, K ) , con K un campo, tenemos la correlación dada por: puntos en coordenadas homogéneas ( a , b , c ) ↔ líneas con ecuaciones ax + by + cz = 0 . En un espacio proyectivo PG(3, K ) , una correlación está dada por: puntos en coordenadas homogéneas ( a , b , c , d ) ↔ planos con ecuaciones ax + by + cz + dw = 0 . Esta correlación también mapearía una línea determinada por dos puntos ( a ₁ , b ₁ , c ₁ , d ₁ ) y ( a ₂ , b ₂ , c ₂ , d ₂ ) a la línea que es la intersección de los dos planos con ecuaciones a ₁ x + b ₁ y + c ₁ z + d ₁ w = 0 y a ₂ x + b ₂ y + c ₂ z + d ₂ w = 0 .

La forma sesquilineal asociada a esta correlación es:

φ ( u , x ) = u _H ⋅ x _P = u ₀ x ₀ + u ₁ x ₁ + ... + u _n x _n ,

donde el antiautomorfismo acompañante σ = id . Por lo tanto, se trata de una forma bilineal (nótese que K debe ser un cuerpo). Esto se puede escribir en forma matricial (con respecto a la base estándar ) como:

φ ( u , x ) = u _H G x _P ,

donde G es la matriz identidad ( n + 1) × ( n + 1) , utilizando la convención de que u _H es un vector fila y x _P es un vector columna.

La correlación viene dada por:

${\displaystyle \pi (\mathbf {x} _{P})=(G\mathbf {x} _{P})^{\mathsf {T}}=(\mathbf {x} _{P})^{\mathsf {T}}=\mathbf {x} _{H}.}$

Como en el ejemplo anterior, las matrices pueden usarse para representar dualidades. Sea π una dualidad de PG( n , K ) para n > 1 y sea φ la forma sesquilineal asociada (con antiautomorfismo acompañante σ ) en el espacio vectorial subyacente V de dimensión ( n + 1 ) . Dada una base { e _i } de V , podemos representar esta forma mediante:

${\displaystyle \varphi (\mathbf {u} ,\mathbf {x} )=\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}G(\mathbf {x} ^{\sigma }),}$

donde G es una matriz no singular ( n + 1) × ( n + 1) sobre K y los vectores se escriben como vectores columna. La notación x ^σ significa que el antiautomorfismo σ se aplica a cada coordenada del vector x .

Ahora definimos la dualidad en términos de coordenadas de puntos mediante:

${\displaystyle \pi (\mathbf {x} )=(G(\mathbf {x} ^{\sigma }))^{\mathsf {T}}.}$

Si π es una dualidad de PG( n , K ) , con K un campo sesgado, entonces una notación común se define por π ( S ) = S ^⊥ para un subespacio S de PG( n , K ) . Por lo tanto, una polaridad es una dualidad para la cual S ^⊥⊥ = S para cada subespacio S de PG( n , K ) . También es común omitir mencionar el espacio dual y escribir, en términos de la forma sesquilineal asociada:

${\displaystyle S^{\bot }=\{\mathbf {u} {\text{ en }}V\colon \varphi (\mathbf {u} ,\mathbf {x} )=0{\text{ para todos }}\mathbf {x} {\text{ en }}S\}.}$

Una forma sesquilineal φ es reflexiva si φ ( u , x ) = 0 implica φ ( x , u ) = 0 .

Una dualidad es una polaridad si y solo si la forma sesquilineal (no degenerada) que la define es reflexiva. ^{[ 12 ]}

Se han clasificado las polaridades, un resultado de Birkhoff y von Neumann (1936) que se ha reprobado varias veces. ^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]} Sea V un espacio vectorial (izquierdo) sobre el campo sesgado K y φ una forma sesquilineal reflexiva no degenerada en V con antiautomorfismo acompañante σ . Si φ es la forma sesquilineal asociada a una polaridad, entonces:

1. σ = id (por lo tanto, K es un campo) y φ ( u , x ) = φ ( x , u ) para todo u , x en V , es decir, φ es una forma bilineal. En este caso, la polaridad se llama ortogonal (u ordinaria ). Si la característica del campo K es dos, entonces para que se dé este caso debe existir un vector z tal que φ ( z , z ) ≠ 0 , y la polaridad se llama pseudopolaridad . ^{[ 15 ]}
2. σ = id (por lo tanto, K es un campo) y φ ( u , u ) = 0 para todo u en V . La polaridad se llama polaridad nula (o polaridad simpléctica ) y solo puede existir cuando la dimensión proyectiva n es impar.
3. σ ² = id ≠ σ (aquí K no tiene por qué ser un campo) y φ ( u , x ) = φ ( x , u ) ^σ para todo u , x en V . Dicha polaridad se denomina polaridad unitaria (o polaridad hermitiana ).

Un punto P de PG( n , K ) es un punto absoluto (punto autoconjugado) con respecto a la polaridad ⊥ si P I P ^⊥ . De manera similar, un hiperplano H es un hiperplano absoluto (hiperplano autoconjugado) si H ^⊥ I H . Expresado en otros términos, un punto x es un punto absoluto de polaridad π con forma sesquilineal asociada φ si φ ( x , x ) = 0 y si φ se escribe en términos de la matriz G , x ^T G x ^σ = 0 .

Se puede describir el conjunto de puntos absolutos de cada tipo de polaridad. Restringimos nuevamente la discusión al caso en que K es un campo. ^{[ 16 ]}

1. Si K es un cuerpo cuya característica no es dos, el conjunto de puntos absolutos de polaridad ortogonal forma una cuádrica no singular (si K es infinito, esta podría ser vacía). Si la característica es dos, los puntos absolutos de pseudopolaridad forman un hiperplano.
2. Todos los puntos del espacio PG(2 s + 1, K ) son puntos absolutos de polaridad nula.
3. Los puntos absolutos de una polaridad hermitiana forman una variedad hermitiana , que puede estar vacía si K es infinito.

Cuando se compone consigo misma, la correlación φ ( x _P ) = x _H (en cualquier dimensión) produce la función identidad , por lo que es una polaridad. El conjunto de puntos absolutos de esta polaridad serían los puntos cuyas coordenadas homogéneas satisfacen la ecuación:

x _H ⋅ x _P = x ₀ x ₀ + x ₁ x ₁ + ... + x _n x _n = x ₀ ² + x ₁ ² + ... + x _n ² = 0 .

Los puntos que componen este conjunto dependen del cuerpo K. Si K = R , el conjunto está vacío; no hay puntos absolutos (ni hiperplanos absolutos). Por otro lado, si K = C, el conjunto de puntos absolutos forma una cuádrica no degenerada (una cónica en el espacio bidimensional). Si K es un cuerpo finito de característica impar , los puntos absolutos también forman una cuádrica; pero si la característica es par, los puntos absolutos forman un hiperplano (un ejemplo de pseudopolaridad).

En cualquier dualidad, el punto P se denomina polo del hiperplano P⊥ , y este hiperplano se denomina polar del punto P. Según esta terminología, los puntos absolutos de una polaridad son los puntos incidentes con sus polares ^, y los hiperplanos absolutos son los hiperplanos incidentes con sus polos.

Según el teorema de Wedderburn, todo cuerpo sesgado finito es un cuerpo y un automorfismo de orden dos (distinto de la identidad) solo puede existir en un cuerpo finito cuyo orden sea un cuadrado. Estos hechos ayudan a simplificar la situación general para planos desarguesianos finitos . Tenemos: ^{[ 17 ]}

Si π es una polaridad del plano proyectivo de Desarguesian finito PG(2, q ) donde q = p ^e para algún primo p , entonces el número de puntos absolutos de π es q + 1 si π es ortogonal o q ^3/2 + 1 si π es unitario. En el caso ortogonal, los puntos absolutos se encuentran en una cónica si p es impar o forman una línea si p = 2 . El caso unitario solo puede ocurrir si q es un cuadrado; los puntos absolutos y las líneas absolutas forman una unidad .

En el caso general del plano proyectivo, donde la dualidad significa dualidad plana , las definiciones de polaridad, elementos absolutos, polo y polar permanecen iguales.

Sea P un plano proyectivo de orden n . Los argumentos de conteo pueden establecer que para una polaridad π de P : ^{[ 17 ]}

El número de puntos (líneas) no absolutos incidentes con una línea (punto) no absoluto es par.

Además, ^{[ 18 ]}

La polaridad π tiene al menos n + 1 puntos absolutos y, si n no es un cuadrado, exactamente n + 1 puntos absolutos. Si π tiene exactamente n + 1 puntos absolutos, entonces;

1. Si n es impar, los puntos absolutos forman un óvalo cuyas tangentes son las líneas absolutas; o
2. Si n es par, los puntos absolutos son colineales en una línea no absoluta.

^{Seib [ 19 ]} dio una cota superior para el número de puntos absolutos en el caso de que n sea un cuadrado y un argumento puramente combinatorio puede establecer: ^{[ 20 ]}

Una polaridad π en un plano proyectivo de orden cuadrado n = s² tiene como máximo ^s³ + 1 puntos absolutos. Además, si el número de puntos absolutos es ^s³ + 1 ^, entonces los puntos absolutos y las líneas absolutas forman un conjunto unitario (es decir, cada línea del plano interseca este conjunto de puntos absolutos en 1 o s + 1 puntos) ^{. [ 21} ]

Un método que puede utilizarse para construir una polaridad del plano proyectivo real tiene como punto de partida la construcción de una dualidad parcial en el plano euclidiano .

En el plano euclidiano, fijemos un círculo C con centro O y radio r . Para cada punto P distinto de O, ^definamos un punto imagen Q tal que OP ⋅ OQ = r² . La transformación definida por P → Q se denomina inversión con respecto al círculo C. La recta p que pasa por Q y es perpendicular a la recta OP se denomina polar ^{[ 22 ]} del punto P con respecto al círculo C.

Sea q una recta que no pasa por O. Tracemos una perpendicular desde O a q , que interseca a q en el punto P (este es el punto de q más cercano a O ). La imagen Q de P bajo inversión con respecto a C se llama polo ^{[ 22 ]} de q . Si un punto M está en una recta q (que no pasa por O ), entonces el polo de q se encuentra en la polar de M y viceversa. El proceso que conserva la incidencia, en el cual los puntos y las rectas se transforman en sus polares y polos con respecto a C, se llama reciprocación . ^{[ 23 ]}

Para convertir este proceso en una correlación, el plano euclidiano (que no es un plano proyectivo) debe expandirse al plano euclidiano extendido añadiendo una línea en el infinito y puntos en el infinito que se encuentran sobre esta línea. En este plano expandido, definimos el polar del punto O como la línea en el infinito (y O es el polo de la línea en el infinito), y los polos de las líneas que pasan por O son los puntos del infinito donde, si una línea tiene pendiente s (≠ 0), su polo es el punto del infinito asociado a la clase de líneas paralelas con pendiente −1/ s . El polo del eje x es el punto del infinito de las líneas verticales y el polo del eje y es el punto del infinito de las líneas horizontales.

La construcción de una correlación basada en la inversión en un círculo, descrita anteriormente, puede generalizarse utilizando la inversión en una sección cónica (en el plano real extendido). Las correlaciones construidas de esta manera son de orden dos, es decir, polaridades.

Formulación algebraica

Describiremos esta polaridad algebraicamente siguiendo la construcción anterior en el caso de que C sea el círculo unitario (es decir, r = 1 ) centrado en el origen.

Un punto afín P , distinto del origen, con coordenadas cartesianas ( a , b ) tiene como su inverso en el círculo unitario el punto Q con coordenadas,

${\displaystyle \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}},{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}\right).}$

La recta que pasa por Q y es perpendicular a la recta OP tiene la ecuación ax + by = 1 .

Al cambiar a coordenadas homogéneas usando la incrustación ( a , b ) ↦ ( a , b , 1) , la extensión al plano proyectivo real se obtiene permitiendo que la última coordenada sea 0. Recordando que las coordenadas de los puntos se escriben como vectores columna y las coordenadas de las líneas como vectores fila, podemos expresar esta polaridad de la siguiente manera:

${\displaystyle \pi$ :\mathbb {R} P^{2}\rightarrow \mathbb {R} P^{2}}

de tal manera que

${\displaystyle \pi \left((x,y,z)^{\mathsf {T}}\right)=(x,y,-z).}$

O bien, utilizando la notación alternativa, π (( x , y , z ) _P ) = ( x , y , − z ) _L . La matriz de la forma sesquilineal asociada (con respecto a la base estándar) es:

${\displaystyle G=\left({\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{matrix}}\right).}$

Los puntos absolutos de esta polaridad vienen dados por las soluciones de:

${\displaystyle 0=P^{\mathsf {T}}GP=x^{2}+y^{2}-z^{2},}$

donde P ^T = ( x , y , z ) . Nótese que restringido al plano euclidiano (es decir, estableciendo z = 1 ) esto es simplemente el círculo unitario, el círculo de inversión.

La teoría de polos y polares de una cónica en un plano proyectivo puede desarrollarse sin el uso de coordenadas ni otros conceptos métricos.

Sea C una cónica en PG(2, F ), donde F es un cuerpo de característica distinta a dos, y sea P un punto de este plano que no pertenece a C. Dos rectas secantes distintas a la cónica, digamos AB y JK, determinan cuatro puntos en la cónica ( A , B , J , K ) que forman un cuadrilátero . El punto P es un vértice del triángulo diagonal de este cuadrilátero. La polar de P con respecto a C es el lado del triángulo diagonal opuesto a P. ^{[ 24 ]}

La teoría de los conjugados armónicos proyectivos de puntos en una línea también puede utilizarse para definir esta relación. Utilizando la misma notación que la anterior;

Si una línea variable que pasa por el punto ^P es una secante de la cónica C , los conjugados armónicos de P con respecto a los dos puntos de C en la secante se encuentran todos en la polar de P. ^{[ 25} ]

Existen varias propiedades que poseen las polaridades en un plano proyectivo. ^{[ 26 ]}

Dada una polaridad π , un punto P se encuentra en la línea q , la polar del punto Q , si y solo si Q se encuentra en p , la polar de P.

Los puntos P y Q que guardan esta relación se denominan puntos conjugados con respecto a π . Los puntos absolutos se denominan autoconjugados, de acuerdo con esta definición, ya que inciden con sus propias polares. Las líneas conjugadas se definen de forma dual.

La línea que une dos puntos autoconjugados no puede ser una línea autoconjugada.

Una línea no puede contener más de dos puntos autoconjugados.

Una polaridad induce una involución de los puntos conjugados en cualquier línea que no sea autoconjugada.

Un triángulo en el que cada vértice es el polo del lado opuesto se denomina triángulo autopolar .

Una correlación que relaciona los tres vértices de un triángulo con sus lados opuestos respectivamente es una polaridad, y este triángulo es autopolar con respecto a esta polaridad.