Avión Hughes

En matemáticas, un plano de Hughes es uno de los planos proyectivos no desarguesianos encontrados por Hughes (1957) . Hay ejemplos de orden p ^{2 n} para cada primo impar p y cada entero positivo n .

La construcción de un plano de Hughes se basa en un campo cercano N de orden p ²ⁿ para p un primo impar cuyo núcleo K tiene orden p ⁿ y coincide con el centro de N.

Un plano de Hughes H : ^{[ 1 ]}

1. es un plano proyectivo no desarguesiano de orden de potencia de primo cuadrado impar de tipo Lenz-Barlotti I.1,
2. tiene un subplano de Baer de Desarguesian H ₀ ,
3. es un plano autodual en el que cada polaridad ortogonal de H ₀ puede extenderse a una polaridad de H ,
4. toda colineación central de H ₀ se extiende a una colineación central de H , y
5. El grupo de colineación completo de H tiene dos órbitas puntuales (una de las cuales es H ₀ ), dos órbitas lineales y cuatro órbitas de bandera.

El plano de Hughes de orden 9 fue encontrado en realidad antes por Veblen y Wedderburn en 1907. ^{[ 2 ]} Una construcción de este plano se puede encontrar en Room y Kirkpatrick (1971) donde se le llama el plano Ψ.

• Dembowski, P. (1968), Geometrías finitas , Berlín: Springer-Verlag
• Hughes, DR (1957), "Una clase de planos proyectivos no desarguesianos", Canadian Journal of Mathematics , 9 : 378– 388, doi : 10.4153/CJM-1957-045-0 , ISSN 0008-414X , MR 0087960  
• Room, TG; Kirkpatrick, PB (1971). Geometría de minicuaterniones: una introducción al estudio de planos proyectivos . Cambridge [Inglaterra]: University Press. ISBN 0-521-07926-8OCLC 111943 .​ 
• Weibel, Charles (2007), "Estudio de planos no desarguesianos" , Notices of the AMS , 54 ( 10): 1294–1303