Hispanopedia WikiEn geometría proyectiva , una correlación es una transformación de un espacio proyectivo d -dimensional que mapea subespacios de dimensión k a subespacios de dimensión d − k − 1 , invirtiendo la inclusión y preservando la incidencia . Las correlaciones también se denominan reciprocidades o transformaciones recíprocas .
En dos dimensiones
En el plano proyectivo real , los puntos y las líneas son duales entre sí. Como lo expresó Coxeter,
- Una correlación es una transformación de punto a línea y de línea a punto que preserva la relación de incidencia de acuerdo con el principio de dualidad. Así, transforma rangos en haces , haces en rangos, cuadriláteros completos en cuadriláteros completos, y así sucesivamente. [ 1 ]
Dada una línea m y un punto P que no está en m , se obtiene una correlación elemental de la siguiente manera: para cada Q en m, se forma la línea PQ . La correlación inversa comienza con el haz en P : para cualquier línea q en este haz, se toma el punto m ∩ q . La composición de dos correlaciones que comparten el mismo haz es una perspectividad .
En tres dimensiones
En un espacio proyectivo tridimensional, una correlación mapea un punto a un plano . Como se indica en un libro de texto: [ 2 ]
- Si κ es tal correlación, cada punto P se transforma mediante ella en un plano π ′ = κP , y a la inversa, cada punto P surge de un plano único π ′ mediante la transformación inversa κ − 1 .
Las correlaciones tridimensionales también transforman líneas en líneas, por lo que pueden considerarse colineaciones de los dos espacios.
En dimensiones superiores
En general, en un espacio proyectivo n- dimensional, una correlación lleva un punto a un hiperplano . Este contexto fue descrito por Paul Yale:
- Una correlación del espacio proyectivo P ( V ) es una permutación de inversión de inclusión de los subespacios propios de P ( V ). [ 3 ]
Demuestra un teorema que establece que una correlación φ intercambia uniones e intersecciones, y para cualquier subespacio proyectivo W de P ( V ), la dimensión de la imagen de W bajo φ es ( n − 1) − dim W , donde n es la dimensión del espacio vectorial V utilizado para producir el espacio proyectivo P ( V ).
Existencia de correlaciones
Las correlaciones solo pueden existir si el espacio es autodual. Para dimensiones 3 y superiores, la autodualidad es fácil de comprobar: existe un campo sesgado de coordinación y la autodualidad falla si y solo si el campo sesgado no es isomorfo a su opuesto.
Tipos especiales de correlaciones
Polaridad
Si una correlación φ es una involución (es decir, dos aplicaciones de la correlación son iguales a la identidad: φ 2 ( P ) = P para todos los puntos P ), entonces se denomina polaridad . Las polaridades de los espacios proyectivos dan lugar a espacios polares , que se definen tomando el conjunto de todos los subespacios contenidos en su imagen bajo la polaridad.
Correlación natural
Existe una correlación natural inducida entre un espacio proyectivo P ( V ) y su dual P ( V ∗ ) por el emparejamiento natural ⟨ ⋅,⋅ ⟩ entre los espacios vectoriales subyacentes V y su dual V ∗ , donde cada subespacio W de V ∗ se mapea a su complemento ortogonal W ⊥ en V , definido como W ⊥ = { v ∈ V | ⟨ w , v ⟩ = 0, ∀ w ∈ W }. [ 4 ]
Al combinar esta correlación natural con un isomorfismo de espacios proyectivos inducido por una aplicación semilineal, se obtiene una correlación de P ( V ) consigo mismo. De esta forma, toda aplicación semilineal no degenerada V → V * induce una correlación de un espacio proyectivo consigo mismo.
Referencias
- ↑ HSM Coxeter (1974) Geometría proyectiva , segunda edición, página 57, University of Toronto Press ISBN 0-8020-2104-2
- ↑ JG Semple y GT Kneebone (1952) Geometría proyectiva algebraica , pág. 360, Clarendon Press
- ↑ Paul B. Yale (1968, 1988, 2004) Geometría y simetría , capítulo 6.9 Correlaciones y formas semibilineales, Dover Publications ISBN 0-486-43835-X
- ↑ Irving Kaplansky (1974) [1969], Álgebra lineal y geometría (2.ª ed.), pág. 104
- Robert J. Bumcroft (1969), Geometría proyectiva moderna , Holt, Rinehart y Winston , Capítulo 4.5 Correlaciones, pág. 90
- Robert A. Rosenbaum (1963), Introducción a la geometría proyectiva y al álgebra moderna , Addison-Wesley , pág. 198
- Geometría proyectiva
- Funciones y asignaciones