complejo simplicial

En matemáticas , un complejo simplicial es un conjunto estructurado de símplices (por ejemplo, puntos , segmentos de línea , triángulos y sus contrapartes n -dimensionales) tal que todas las caras e intersecciones de los elementos también están incluidas en el conjunto (véase la ilustración). Los complejos simpliciales no deben confundirse con la noción más abstracta de conjunto simplicial que aparece en la teoría moderna de homotopía simplicial . La contraparte puramente combinatoria de un complejo simplicial es un complejo simplicial abstracto . Para distinguir un complejo simplicial de un complejo simplicial abstracto, al primero se le suele llamar complejo simplicial geométrico . ^{[ 1 ] : 7}

Un complejo simplicial${\displaystyle {\mathcal {K}}}$es un conjunto de símplices que satisface las siguientes condiciones:

1. Cada cara de un simplex desde${\displaystyle {\mathcal {K}}}$también está en${\displaystyle {\mathcal {K}}}$.
2. La intersección no vacía de dos símplices cualesquiera${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}\in {\mathcal {K}}}$es un rostro de ambos${\displaystyle \sigma _{1}}$y${\displaystyle \sigma _{2}}$.

Véase también la definición de complejo simplicial abstracto , que, en términos generales, es un complejo simplicial sin geometría asociada.

Un complejo k simplicial${\displaystyle {\mathcal {K}}}$es un complejo simplicial donde la dimensión más grande de cualquier simplex en${\displaystyle {\mathcal {K}}}$es igual a k . Por ejemplo, un 2-complejo simplicial debe contener al menos un triángulo y no debe contener ningún tetraedro ni símplices de dimensiones superiores.

Un complejo k simplicial puro u homogéneo${\displaystyle {\mathcal {K}}}$es un complejo simplicial donde cada símplex de dimensión menor que k es una cara de algún símplex.${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {K}}}$de dimensión exactamente k . De manera informal, un 1-complejo puro "parece" estar hecho de un conjunto de líneas, un 2-complejo "parece" estar hecho de un conjunto de triángulos, etc. Un ejemplo de un complejo no homogéneo es un triángulo con un segmento de línea unido a uno de sus vértices. Los complejos simpliciales puros pueden pensarse como triangulaciones y proporcionan una definición de politopos .

Una faceta es un simplex maximal, es decir, cualquier simplex en un complejo que no sea una cara de ningún simplex mayor. ^{[ 2 ]} (Nótese la diferencia con una "cara" de un simplex ). Un complejo simplicial puro puede considerarse como un complejo donde todas las facetas tienen la misma dimensión. Para los politopos simpliciales (o complejos frontera) , esto coincide con el significado de la combinatoria poliédrica.

A veces, el término cara se utiliza para referirse a un simplex de un complejo, que no debe confundirse con una cara de un simplex.

Para un complejo simplicial incrustado en un espacio k -dimensional, las k -caras a veces se denominan sus celdas . El término celda se usa a veces en un sentido más amplio para denotar un conjunto homeomorfo a un simplex, lo que lleva a la definición de complejo celular .

El espacio subyacente , a veces llamado portador de un complejo simplicial, es la unión de sus símplices. Generalmente se denota por${\displaystyle |{\mathcal {K}}|}$o${\displaystyle \|{\mathcal {K}}\|}$.

Los interiores relativos de todos los símplices en${\displaystyle {\mathcal {K}}}$formar una partición de su espacio subyacente${\displaystyle |{\mathcal {K}}|}$: para cada punto${\displaystyle x\in |{\mathcal {K}}|}$, hay exactamente un simplex en${\displaystyle {\mathcal {K}}}$que contiene${\displaystyle x}$en su interior relativo. Este simplex se llama soporte de x y se denota${\displaystyle \operatorname {supp} (x)}$. ^{[ 3 ] : 9}

Sea K un complejo simplicial y sea S una colección de símplices en K.

El cierre de S (denotado${\displaystyle \mathrm {Cl} \S}$) es el subcomplejo simplicial más pequeño de K que contiene cada símplex en S.${\displaystyle \mathrm {Cl} \S}$se obtiene añadiendo repetidamente a S cada cara de cada simplex en S.

La estrella S ( denotada${\displaystyle \mathrm {st} \ S}$) es la unión de las estrellas de cada símplice en S . Para un solo símplice s , la estrella de s es el conjunto de símplices en K que tienen a s como cara. La estrella de S generalmente no es un complejo simplicial en sí mismo, por lo que algunos autores definen la estrella cerrada de S (denotada${\displaystyle \mathrm {St} \ S}$) como${\displaystyle \mathrm {Cl} \ \mathrm {st} \ S}$el cierre de la estrella de S.

El enlace S ( denotado${\displaystyle \mathrm {Lk} \ S}$) es igual a${\displaystyle \mathrm {Cl} {\big (}\mathrm {st} (S){\big )}\setminus \mathrm {st} {\big (}\mathrm {Cl} (S){\big )}}$. Es la estrella cerrada de S menos las estrellas de todas las caras de S .

En topología algebraica , los complejos simpliciales suelen ser útiles para cálculos concretos. Para la definición de grupos de homología de un complejo simplicial, se puede leer directamente el complejo de cadena correspondiente , siempre que se formen orientaciones consistentes de todos los símplices. Los requisitos de la teoría de la homotopía conducen al uso de espacios más generales, los complejos CW . Los complejos infinitos son una herramienta técnica fundamental en topología algebraica. En topología algebraica, un espacio topológico compacto que es homeomorfo a la realización geométrica de un complejo simplicial finito se denomina habitualmente poliedro (véase Spanier 1966 , Maunder 1996 , Hilton y Wylie 1967 ).

Los combinatorios suelen estudiar el f -vector de un d-complejo simplicial Δ, que es la secuencia de enteros.${\displaystyle (f_{0},f_{1},f_{2},\ldots ,f_{d+1})}$donde f _i es el número de caras ( i −1)-dimensionales de Δ (por convención, f ₀  =  1 a menos que Δ sea el complejo vacío). Por ejemplo, si Δ es el borde del octaedro , entonces su f -vector es (1, 6, 12, 8), y si Δ es el primer complejo simplicial representado arriba, su f -vector es (1, 18, 23, 8, 1). Una caracterización completa de los posibles f -vectores de los complejos simpliciales viene dada por el teorema de Kruskal-Katona .

Al usar el f -vector de un d -complejo simplicial Δ como coeficientes de un polinomio (escrito en orden decreciente de exponentes), obtenemos el f-polinomio de Δ. En nuestros dos ejemplos anteriores, los f -polinomios serían${\displaystyle x^{3}+6x^{2}+12x+8}$y${\displaystyle x^{4}+18x^{3}+23x^{2}+8x+1}$, respectivamente.

Los combinatoristas suelen estar muy interesados ​​en el h-vector de un complejo simplicial Δ, que es la secuencia de coeficientes del polinomio que resulta de sustituir x  −  1 en el f -polinomio de Δ. Formalmente, si escribimos F _Δ ( x ) para referirnos al f -polinomio de Δ, entonces el h-polinomio de Δ es

${\displaystyle F_{\Delta }(x-1)=h_{0}x^{d+1}+h_{1}x^{d}+h_{2}x^{d-1}+\cdots +h_{d}x+h_{d+1}}$

y el vector h de Δ es

${\displaystyle (h_{0},h_{1},h_{2},\cdots ,h_{d+1}).}$

Calculamos el vector h del límite del octaedro (nuestro primer ejemplo) de la siguiente manera:

${\displaystyle F(x-1)=(x-1)^{3}+6(x-1)^{2}+12(x-1)+8=x^{3}+3x^{2}+3x+1.}$

Así pues, el vector h del borde del octaedro es (1, 3, 3, 1). No es casualidad que este vector h sea simétrico. De hecho, esto ocurre siempre que Δ es el borde de un politopo simplicial (estas son las ecuaciones de Dehn-Sommerville ). Sin embargo, en general, el vector h de un complejo simplicial no es necesariamente positivo. Por ejemplo, si tomamos Δ como el 2-complejo dado por dos triángulos que se intersecan solo en un vértice común, el vector h resultante es (1, 3, −2).

El célebre teorema g de Stanley , Billera y Lee proporciona una caracterización completa de todos los h -vectores de politopos simpliciales.

Se puede observar que los complejos simpliciales tienen la misma estructura geométrica que el grafo de contacto de un empaquetamiento de esferas (un grafo donde los vértices son los centros de las esferas y existen aristas si los elementos de empaquetamiento correspondientes se tocan entre sí) y, como tales, se pueden utilizar para determinar la combinatoria de los empaquetamientos de esferas, como el número de pares que se tocan (1-símplices), tríos que se tocan (2-símplices) y cuádruples que se tocan (3-símplices) en un empaquetamiento de esferas.

Una triangulación de un espacio topológico${\displaystyle X}$es un homeomorfismo${\displaystyle t:|{\mathcal {T}}|\rightarrow X}$dónde${\displaystyle {\mathcal {T}}}$es un complejo simplicial.

Los espacios topológicos no necesariamente admiten una triangulación y, si lo hacen, nunca es única. Variedades topológicas de dimensión${\displaystyle d\leq 3}$son siempre triangulables, ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} pero no necesariamente para${\displaystyle d>3}$. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

Variedades diferenciables de cualquier dimensión${\displaystyle d\geq 1}$admitir triangulaciones. ^{[ 9 ]}

Cualquier resumen${\displaystyle d}$El complejo simplicial de -dimensiones puede estar incrustado en un${\displaystyle (2d+1)}$espacio -dimensional. ^{[ 10 ] : Cap. I Teorema 3 [ 11 ] : Cap. IV §1.9} Este resultado es la contraparte lineal por partes del teorema de incrustación de Whitney (débil) .

El problema de reconocimiento de complejos simpliciales es: dado un complejo simplicial finito, decidir si es homeomorfo a un objeto geométrico dado. Este problema es indecidible para cualquier variedad d -dimensional.${\displaystyle d\geq 5}$. ^{[ 12 ] [ 13 ] : 9–11}

• complejo simplicial abstracto
• subdivisión baricéntrica
• Triangulación dinámica causal
• Conjunto Delta
• gravedad cuántica de bucle
• Cadena poligonal – complejo simplicial unidimensional 
• El lema de Tucker
• Árbol simplex

• Weisstein, Eric W. "Complejo simplicial" . MathWorld .