Enlace (complejo simplicial)

El enlace en un complejo simplicial es una generalización del entorno de un vértice en un grafo. El enlace de un vértice codifica información sobre la estructura local del complejo en dicho vértice.

Dado un complejo simplicial abstracto X y${\textstyle v}$un vértice en${\textstyle V(X)}$, su enlace${\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)}$es un conjunto que contiene todas las caras${\textstyle \tau \in X}$de tal manera que${\textstyle v\not \in \tau }$y${\textstyle \tau \cup \{v\}}$es una cara de X.

• En el caso especial en que X es un complejo unidimensional (es decir: un grafo ),${\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)}$contiene todos los vértices${\textstyle u\neq v}$de tal manera que${\textstyle \{u,v\}}$es una arista en el grafo; es decir,${\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)={\mathcal {N}}(v)=}$el sistema vecinal de${\textstyle v}$en el gráfico.

Dado un complejo simplicial geométrico X y${\textstyle v\in V(X)}$, su enlace${\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)}$es un conjunto que contiene todas las caras${\textstyle \tau \in X}$de tal manera que${\textstyle v\not \in \tau }$y hay un simplex en${\textstyle X}$que tiene${\textstyle v}$como un vértice y${\textstyle \tau }$como una cara. ^{[ 1 ] : 3} De manera equivalente, la unión${\textstyle v\star \tau }$es una cara en${\textstyle X}$. ^{[ 2 ] : 20}

• Por ejemplo, supongamos que v es el vértice superior del tetraedro de la izquierda. Entonces, el enlace de v es el triángulo en la base del tetraedro. Esto se debe a que, para cada arista de ese triángulo, la unión de v con la arista es un triángulo (uno de los tres triángulos en los lados del tetraedro); y la unión de v con el triángulo mismo es el tetraedro completo.

  

Una definición alternativa es: el enlace de un vértice${\textstyle v\in V(X)}$es el grafo Lk( v , X ) construido de la siguiente manera. Los vértices de Lk( v , X ) son las aristas de X incidentes a v . Dos de dichas aristas son adyacentes en Lk( v , X ) si y solo si son incidentes a una 2-celda común en v .

• A menudo se le da al gráfico Lk( v , X ) la topología de una bola de radio pequeño centrada en v ; es análogo a una esfera centrada en un punto. ^{[ 3 ]}

La definición de enlace puede extenderse desde un único vértice a cualquier cara.

Dado un complejo simplicial abstracto X y cualquier cara${\textstyle \sigma }$de X , su enlace${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma,X)}$es un conjunto que contiene todas las caras${\textstyle \tau \in X}$de tal manera que${\textstyle \sigma ,\tau }$son disjuntos y${\textstyle \tau \cup \sigma }$es una cara de X :${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X):=\{\tau \in X:~\tau \cap \sigma =\emptyset ,~\tau \cup \sigma \in X\}}$.

Dado un complejo simplicial geométrico X y cualquier cara${\textstyle \sigma \in X}$, su enlace${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma,X)}$es un conjunto que contiene todas las caras${\textstyle \tau \in X}$de tal manera que${\textstyle \sigma ,\tau }$son disjuntos y hay un simplex en${\textstyle X}$que tiene ambos${\textstyle \sigma }$y${\textstyle \tau }$como rostros. ^{[ 1 ] : 3}

El enlace de un vértice de un tetraedro es un triángulo: los tres vértices del enlace corresponden a las tres aristas incidentes al vértice, y las tres aristas del enlace corresponden a las caras incidentes al vértice. En este ejemplo, el enlace se puede visualizar cortando el vértice con un plano; formalmente, intersectando el tetraedro con un plano cerca del vértice, la sección transversal resultante es el enlace.

Otro ejemplo se ilustra a continuación. Se muestra un complejo simplicial bidimensional. A la izquierda, un vértice está marcado en amarillo. A la derecha, el enlace de ese vértice está marcado en verde.

• 
  Un vértice y su enlace .

• Para cualquier complejo simplicial X , cada enlace${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma,X)}$es cerrado hacia abajo y, por lo tanto , también es un complejo simplicial; es un subcomplejo de X.
• Debido a que X es simplicial, existe un isomorfismo de conjuntos entre${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma,X)}$y el conjunto${\displaystyle X_{\sigma }:=\{\rho \in X{\text{ tal que }}\sigma \subseteq \rho \}}$: cada${\textstyle \tau \in \operatorname {Lk} (\sigma,X)}$corresponde a${\textstyle \tau \cup \sigma }$, que está en${\displaystyle X_{\sigma }}$.

Un concepto estrechamente relacionado con el enlace es la estrella .

Dado un complejo simplicial abstracto X y cualquier cara${\textstyle \sigma \in X}$,${\textstyle V(X)}$, su estrella${\textstyle \operatorname {St} (\sigma,X)}$es un conjunto que contiene todas las caras${\textstyle \tau \in X}$de tal manera que${\textstyle \tau \cup \sigma }$es una cara de X. En el caso especial en que X es un complejo unidimensional (es decir: un grafo ),${\textstyle \operatorname {St} (v,X)}$contiene todos los bordes${\textstyle \{u,v\}}$para todos los vértices${\textstyle u}$que son vecinos de${\textstyle v}$. Es decir, es una estrella de teoría de grafos centrada en${\textstyle u}$.

Dado un complejo simplicial geométrico X y cualquier cara${\textstyle \sigma \in X}$, su estrella${\textstyle \operatorname {St} (\sigma,X)}$es un conjunto que contiene todas las caras${\textstyle \tau \in X}$de tal manera que haya un simplex en${\textstyle X}$tener ambos${\textstyle \sigma }$y${\textstyle \tau }$como rostros:${\textstyle \operatorname {St} (\sigma ,X):=\{\tau \in X:\exists \rho \in X:\tau ,\sigma {\text{ son caras de }}\rho \}}$En otras palabras, es el cierre del conjunto.${\textstyle \{\rho \in X:\sigma {\text{ es una cara de }}\rho \}}$—el conjunto de símplices que tienen${\textstyle \sigma }$como un rostro.

Por lo tanto, el enlace es un subconjunto de la estrella. La estrella y el enlace están relacionados de la siguiente manera:

• Para cualquier${\textstyle \sigma \in X}$,${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X)=\{\tau \in \operatorname {St} (\sigma ,X):\tau \cap \sigma =\emptyset \}}$. ^{[ 1 ] : 3}
• Para cualquier${\textstyle v\in V(X)}$,${\textstyle \operatorname {St} (v,X)=v\star \operatorname {Lk} (v,X)}$, es decir, la estrella de${\textstyle v}$es el cono de su enlace en${\textstyle v}$. ^{[ 2 ] : 20}

A continuación se muestra un ejemplo. Se trata de un complejo simplicial bidimensional. A la izquierda, un vértice está marcado en amarillo. A la derecha, la estrella de ese vértice está marcada en verde.

• 
  Un vértice y su estrella .

• Figura de vértice : un concepto geométrico similar al enlace simplicial.