Usando el teorema de Borsuk-Ulam

El libro «Using the Borsuk–Ulam Theorem: Lectures on Topological Methods in Combinatorics and Geometry» es un libro de texto de matemáticas de nivel de posgrado sobre combinatoria topológica . Describe el uso de resultados en topología , y en particular del teorema de Borsuk–Ulam , para demostrar teoremas en combinatoria y geometría discreta . Fue escrito por el matemático checo Jiří Matoušek y publicado en 2003 por Springer-Verlag en su serie Universitext ( ISBN). 978-3-540-00362-5). ^{[ 1 ] [ 2 ]}

El tema del libro forma parte de un campo relativamente nuevo de las matemáticas que cruza entre la topología y la combinatoria, ahora llamado combinatoria topológica . ^{[ 2 ] [ 3 ]} El punto de partida del campo, ^{[ 3 ]} y una de las inspiraciones centrales para el libro, fue una demostración que László Lovász publicó en 1978 de una conjetura de 1955 de Martin Kneser , según la cual los gráficos de Kneser${\displaystyle KG_{2n+k,n}}$no tienen coloración de gráficos con${\displaystyle k+1}$colores. Lovász utilizó el teorema de Borsuk-Ulam en su demostración, y Matoušek reúne muchos resultados relacionados, publicados posteriormente, para mostrar que esta conexión entre topología y combinatoria no es solo un truco de demostración, sino un área. ^{[ 4 ]}

El libro tiene seis capítulos. Después de dos capítulos que repasan las nociones básicas de topología algebraica y demuestran el teorema de Borsuk-Ulam , las aplicaciones a la combinatoria y la geometría comienzan en el tercer capítulo, con temas que incluyen el teorema del sándwich de jamón , el problema de la división del collar , el lema de Gale sobre puntos en hemisferios y varios resultados sobre coloraciones de grafos de Kneser . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Después de otro capítulo sobre temas más avanzados en topología equivariante , siguen dos capítulos más de aplicaciones, separados según si la equivariancia es módulo dos o usando una acción de grupo más complicada . ^{[ 5 ]} Los temas de estos capítulos incluyen el teorema de van Kampen-Flores sobre la incrustabilidad de esqueletos de símplices en espacios euclidianos de menor dimensión , y variantes topológicas y multicolores del teorema de Radon y del teorema de Tverberg sobre particiones en subconjuntos con envolturas convexas que se intersecan. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

El libro está escrito a nivel de posgrado e incluye ejercicios que lo hacen adecuado como libro de texto para estudiantes de posgrado. Algunos conocimientos de topología serían útiles para los lectores, pero no son necesarios. La reseñadora Mihaela Poplicher escribe que no es de fácil lectura, pero que está "muy bien escrito, es muy interesante y muy informativo". ^{[ 2 ]} Y el reseñador Imre Bárány escribe que "El libro está bien escrito, y el estilo es lúcido y ameno, con muchos ejemplos ilustrativos".

Matoušek pretendía que este material formara parte de un libro de texto más amplio sobre combinatoria topológica, que escribiría junto con Anders Björner y Günter M. Ziegler . ^{[ 2 ] [ 5 ]} Sin embargo, no se completó antes de la prematura muerte de Matoušek en 2015. ^{[ 6 ]}