Conjunto Delta

En matemáticas, un Δ-conjunto , a menudo llamado Δ-complejo o semisimplicial , es un objeto combinatorio útil para la construcción y triangulación de espacios topológicos , así como para el cálculo de invariantes algebraicos relacionados con dichos espacios. Un Δ-conjunto es algo más general que un complejo simplicial , aunque no tan sofisticado como un conjunto simplicial . Los conjuntos simpliciales poseen una estructura adicional, de modo que todo conjunto simplicial es también un semisimplicial.

Como ejemplo, supongamos que queremos triangular un círculo unidimensional.${\displaystyle S^{1}}$Para hacerlo con un complejo simplicial, necesitamos al menos tres vértices y aristas que los conecten. Pero los conjuntos delta permiten una triangulación más simple: pensando en${\displaystyle S^{1}}$Como el intervalo [0,1] con los dos puntos extremos identificados, podemos definir una triangulación con un único vértice 0 y una única arista que se extiende entre 0 y 0.

Formalmente, un Δ-conjunto es una secuencia de conjuntos.${\displaystyle \{S_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$junto con mapas

${\displaystyle d_{i}^{n}\colon S_{n+1}\rightarrow S_{n}}$

para cada${\displaystyle n\geq 0}$y${\displaystyle i=0,1,\dots ,n+1}$, que satisfacen

${\displaystyle d_{i}^{n}\circ d_{j}^{n+1}=d_{j-1}^{n}\circ d_{i}^{n+1}}$

cuando sea${\displaystyle i<j}$. A menudo, el superíndice de${\displaystyle {d_{i}^{n}}}$Se omite por brevedad.

Esta definición generaliza la noción de un complejo simplicial, donde el${\displaystyle S_{n}}$son los conjuntos de n -símplices, y el${\displaystyle d_{i}}$son los mapas faciales asociados, cada uno mapeando el${\displaystyle i}$-en la cara de un simplex en${\displaystyle S_{n+1}}$a un simplex en${\displaystyle S_{n}}$. La regla de composición asegura que las caras en${\displaystyle S_{n+1}}$de un simplex en${\displaystyle S_{n+2}}$comparten sus rostros vecinos en${\displaystyle S_{n}}$, es decir, que los símplexes estén bien formados. El Δ-conjunto no es tan general como un conjunto simplicial, ya que carece de "degeneraciones".

Dados los Δ-conjuntos S y T , un mapa de Δ-conjuntos es una colección de mapas de conjuntos.

${\displaystyle \{f_{n}\colon S_{n}\rightarrow T_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$

de tal manera que

${\displaystyle f_{n}\circ d_{i}=d_{i}\circ f_{n+1}}$

siempre que ambos lados de la ecuación estén definidos.

Con esta noción, podemos definir la categoría de Δ-conjuntos , cuyos objetos son Δ-conjuntos y cuyos morfismos son aplicaciones de Δ-conjuntos.

Cada Δ-conjunto tiene una realización geométrica correspondiente , que asocia un espacio definido geométricamente (un n-símplex estándar) con cada símplex abstracto en el Δ-conjunto, y luego "pega" los espacios utilizando relaciones de inclusión entre ellos para definir una relación de equivalencia:

${\displaystyle |S|=\left(\coprod _{n=0}^{\infty }S_{n}\times \Delta ^{n}\right)/_{\sim }}$

donde declaramos${\displaystyle {\sim }}$como

${\displaystyle (\sigma ,\iota ^{i}t)\sim (d_{i}\sigma ,t)\quad {\text{ para todo }}\sigma \in S_{n},t\in \Delta ^{n-1}.}$

Aquí,${\displaystyle \Delta ^{n}}$denota un n -símplex estándar como un espacio, y

${\displaystyle \iota ^{i}\colon \Delta ^{n-1}\rightarrow \Delta ^{n}}$

es la inclusión de la i -ésima cara. La realización geométrica es un espacio topológico con la topología cociente .

La realización geométrica de un Δ-conjunto S tiene una filtración natural.

${\displaystyle |S|_{0}\subset |S|_{1}\subset \cdots \subset |S|,}$

dónde

${\displaystyle |S|_{N}=\left(\coprod _{n=0}^{N}S_{n}\times \Delta ^{n}\right)/_{\sim }}$

es una realización geométrica "restringida".

La realización geométrica de un Δ-conjunto, descrita anteriormente, define un functor covariante de la categoría de Δ-conjuntos a la categoría de espacios topológicos . La realización geométrica transforma un Δ-conjunto en un espacio topológico y genera aplicaciones de Δ-conjuntos a aplicaciones continuas inducidas entre realizaciones geométricas.

Si S es un Δ-conjunto, existe un complejo de cadena abeliana libre asociado , denotado${\displaystyle (\mathbb {Z} S,\partial )}$, cuyo n -ésimo grupo es el grupo abeliano libre

${\displaystyle (\mathbb {Z} S)_{n}=\mathbb {Z} \langle S_{n}\rangle ,}$

generado por el conjunto${\displaystyle S_{n}}$y cuyo n -ésimo diferencial se define por

${\displaystyle \partial _{n}=d_{0}-d_{1}+d_{2}-\cdots +(-1)^{n}d_{n}.}$

Esto define un functor covariante de la categoría de conjuntos Δ a la categoría de complejos de cadenas de grupos abelianos. Un conjunto Δ se transforma en el complejo de cadenas descrito anteriormente, y una aplicación de conjuntos Δ se transforma en una aplicación de complejos de cadenas, que se define extendiendo la aplicación de conjuntos Δ de la forma estándar utilizando la propiedad universal de los grupos abelianos libres.

Dado cualquier espacio topológico X , se puede construir un Δ-conjunto.${\displaystyle \mathrm {sing} (X)}$de la siguiente manera. Un n -símplex singular en X es una aplicación continua.

${\displaystyle \sigma \colon \Delta ^{n}\rightarrow X.}$

Definir

${\displaystyle \mathrm {sing} _{n}^{}(X)}$

ser la colección de todos los n -símplices singulares en X , y definir

${\displaystyle d_{i}\colon \mathrm {sing} _{i+1}(X)\rightarrow \mathrm {sing} _{i}(X)}$

por

${\displaystyle d_{i}(\sigma )=\sigma \circ d^{i},}$

¿Dónde de nuevo?${\displaystyle d^{i}}$es el${\displaystyle i}$Mapa de caras -ésimo. Se puede comprobar que se trata, de hecho, de un Δ-conjunto. Esto define un functor covariante de la categoría de espacios topológicos a la categoría de Δ-conjuntos. Un espacio topológico se transforma en el Δ-conjunto descrito, y un mapa continuo de espacios se transforma en un mapa de Δ-conjuntos, que se obtiene componiendo el mapa con los n -símplices singulares.

Este ejemplo ilustra las construcciones descritas anteriormente. Podemos crear un conjunto Δ S cuya realización geométrica es el círculo unitario.${\displaystyle S^{1}}$y usarlo para calcular la homología de este espacio. Pensando en${\displaystyle S^{1}}$como un intervalo con los puntos finales identificados, defina

${\displaystyle S_{0}=\{v\},\quad S_{1}=\{e\},}$

con${\displaystyle S_{n}=\varnothing }$a pesar de${\displaystyle n\geq 2}$Los únicos mapas posibles${\displaystyle d_{0},d_{1}\colon S_{1}\rightarrow S_{0},}$son

${\displaystyle d_{0}(e)=d_{1}(e)=v.\quad }$

Es sencillo comprobar que se trata de un Δ-conjunto y que${\displaystyle |S|\cong S^{1}}$Ahora, el complejo de cadena asociado${\displaystyle (\mathbb {Z} S,\partial )}$es

${\displaystyle 0\longrightarrow \mathbb {Z} \langle e\rangle {\stackrel {\partial _{1}}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} \langle v\rangle \longrightarrow 0,}$

dónde

${\displaystyle \partial _{1}(e)=d_{0}(e)-d_{1}(e)=v-v=0.}$

De hecho,${\displaystyle \partial _{n}=0}$para todo n . La homología de este complejo de cadenas también es sencilla de calcular:

${\displaystyle H_{0}(\mathbb {Z} S)={\frac {\ker \partial _{0}}{\mathrm {im} \partial _{1}}}=\mathbb {Z} \langle v\rangle \cong \mathbb {Z} ,}$

${\displaystyle H_{1}(\mathbb {Z} S)={\frac {\ker \partial _{1}}{\mathrm {im} \partial _{2}}}=\mathbb {Z} \langle e\rangle \cong \mathbb {Z} .}$

Todos los demás grupos de homología son claramente triviales.

El siguiente ejemplo es de la sección 2.1 de Topología Algebraica de Hatcher. ^{[ 1 ]} Considere la estructura de Δ-conjunto dada al toro en la figura, que tiene un vértice, tres aristas y dos 2-símplices.

El mapa de límites${\displaystyle \partial _{1}}$es 0 porque solo hay un vértice, por lo tanto${\displaystyle H_{0}(T^{2})={\text{ker }}\partial _{0}/{\text{ im }}\partial _{1}=\mathbb {Z} }$. Dejar${\displaystyle \{e_{0}^{1},e_{1}^{1},e_{0}^{1}+e_{1}^{1}-e_{2}^{1}\}}$ser una base para${\displaystyle \Delta _{1}(T^{2})}$. Entonces${\displaystyle \partial _{2}(e_{0}^{2})=e_{0}^{1}+e_{1}^{1}-e_{2}^{1}=\partial _{2}(e_{1}^{2})}$, entonces ${\displaystyle {\text{im }}\partial _{2}=\langle e_{0}^{1}+e_{1}^{1}-e_{2}^{1}\rangle }$y por lo tanto${\displaystyle H_{1}(T^{2})={\text{ker }}\partial _{1}/{\text{ im }}\partial _{2}=\mathbb {Z} ^{3}/\mathbb {Z} =\mathbb {Z} ^{2}.}$

Como no hay 3 simples,  ${\displaystyle H_{2}(T^{2})={\text{ker }}\partial _{2}}$Tenemos eso${\displaystyle \partial _{2}(pe_{0}^{2}+qe_{1}^{2})=(p+q)(e_{0}^{1}+e_{1}^{1}-e_{2}^{1})}$que es 0 si y solo si${\displaystyle p=-q}$. Por eso${\displaystyle {\text{ker }}\partial _{2}}$es cíclico infinito generado por${\displaystyle e_{0}^{2}-e_{1}^{2}}$.

Entonces${\displaystyle H_{2}(T^{2})=\mathbb {Z} }$. Claramente${\displaystyle H_{n}(T^{2})=0}$para${\displaystyle n\geq 3.}$

De este modo, ${\displaystyle H_{n}(T^{2})={\begin{cases}\mathbb {Z} &n=0,2\\\mathbb {Z} ^{2}&n=1\\0&n\geq 3.\end{cases}}}$

Vale la pena destacar que el número mínimo de símplices necesarios para dotar${\displaystyle T^{2}}$La estructura de un complejo simplicial consta de 7 vértices, 21 aristas y 14 2-símplices, lo que da un total de 42 símplices. Esto dificultaría enormemente los cálculos anteriores, que solo utilizaron 6 símplices, si se realizaran manualmente.

Esto no es un ejemplo. Consideremos un segmento de recta . Este es un conjunto Δ unidimensional y un conjunto simplicial unidimensional. Sin embargo, si consideramos el segmento de recta como un conjunto simplicial bidimensional, en el que el 2-símplex se considera degenerado, entonces el segmento de recta no es un conjunto Δ, ya que no permitimos tales degeneraciones.

Ahora examinaremos la relación entre los conjuntos Δ y los conjuntos simpliciales . Consideremos la categoría simplex.${\displaystyle \Delta }$cuyos objetos son los conjuntos finitos totalmente ordenados${\displaystyle [n]:=\{0,1,\cdots ,n\}}$y cuyos morfismos son aplicaciones monótonas . Un conjunto simplicial se define como un prehaz en${\displaystyle \Delta }$, es decir, un funtor (contravariante)${\displaystyle S:\Delta ^{\text{op}}\to {\text{Set}}}$. Por otro lado, consideremos la subcategoría${\displaystyle {\hat {\Delta }}}$de${\displaystyle \Delta }$cuyos morfismos son solo las aplicaciones monótonas estrictas . Nótese que los morfismos en${\displaystyle {\hat {\Delta }}}$son precisamente las inyecciones en${\displaystyle \Delta }$y se puede demostrar que estos son generados por los mapas monótonos de la forma${\displaystyle \delta ^{i}:[n]\to [n+1]}$que "omiten" el elemento${\displaystyle i\in [n+1]}$De esto vemos que una gavilla previa${\displaystyle S:{\hat {\Delta }}^{\text{op}}\to {\text{Set}}}$en${\displaystyle {\hat {\Delta }}}$está determinado por una secuencia de conjuntos${\displaystyle \{S_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$(donde denotamos${\displaystyle S([n])}$por${\displaystyle S_{n}}$(para simplificar) junto con mapas${\displaystyle d_{i}:S_{n+1}\to S_{n}}$para${\displaystyle i=0,1,\ldots ,n+1}$(donde denotamos${\displaystyle S(\delta ^{i})}$por${\displaystyle d_{i}}$(también por simplicidad). De hecho, después de comprobar que${\displaystyle \delta ^{j}\circ \delta ^{i}=\delta ^{i}\circ \delta ^{j-1}}$en${\displaystyle {\hat {\Delta }}}$, se concluye que

${\displaystyle d_{i}\circ d_{j}=d_{j-1}\circ d_{i}}$

cuando sea${\displaystyle i<j}$. Por lo tanto, una gavilla previa en${\displaystyle {\hat {\Delta }}}$determina los datos de un Δ-conjunto y, a la inversa, todos los Δ-conjuntos surgen de esta manera. ^{[ 2 ]} Además, los Δ-mapas${\displaystyle f:S\to T}$Entre los conjuntos Δ se corresponden transformaciones naturales cuando observamos${\displaystyle S}$y${\displaystyle T}$como functores (contravariantes). En este sentido, los Δ-conjuntos son prehaces en${\displaystyle {\hat {\Delta }}}$mientras que los conjuntos simpliciales son prehaces en${\displaystyle \Delta }$.

Desde esta perspectiva, ahora es fácil ver que todo conjunto simplicial es un Δ-conjunto. De hecho, observe que hay una inclusión.${\displaystyle {\hat {\Delta }}\hookrightarrow \Delta }$; de modo que cada conjunto simplicial${\displaystyle S:\Delta ^{\text{op}}\to {\text{Set}}}$da lugar naturalmente a un conjunto Δ, a saber, el compuesto${\textstyle {\hat {\Delta }}^{\text{op}}\hookrightarrow \Delta ^{\text{op}}\xrightarrow {S} {\text{Set}}}$.

Una ventaja de usar conjuntos Δ de esta manera es que el complejo de cadenas resultante suele ser mucho más simple que el complejo de cadenas singular . Para espacios razonablemente simples, todos los grupos serán finitamente generados, mientras que los grupos de cadenas singulares, en general, ni siquiera son numerablemente generados.

Una desventaja de este método es que hay que demostrar que la representación geométrica del conjunto Δ es realmente homeomorfa al espacio topológico en cuestión. Esto puede convertirse en un reto computacional a medida que aumenta la complejidad del conjunto Δ.

• complejos simpliciales
• conjuntos simpliciales
• Homología singular

• Ranicki, Andrew A. (1993). Teoría L algebraica y variedades topológicas (PDF) . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol.  102. Cambridge Univ. Press . ISBN 978-0-521-42024-2.
• Ranicki, Andrew ; Weiss, Michael (2012). "Sobre la teoría L algebraica de los conjuntos Δ ". Pure and Applied Mathematics Quarterly . 8 (2): 423– 450. arXiv : math.AT/0701833 . doi : 10.4310/pamq.2012.v8.n2.a3 . MR 2900173 . 
• Rourke, Colin P. ; Sanderson, Brian J. (1971). " Δ -Sets I: Homotopy Theory". Quarterly Journal of Mathematics . 22 (3): 321– 338. Bibcode : 1971QJMat..22..321R . doi : 10.1093/qmath/22.3.321 .