Gravedad cuántica de bucle

Las restricciones definen una superficie de restricción en el espacio de fase original. Los movimientos de gauge de las restricciones se aplican a todo el espacio de fase, pero tienen la característica de que dejan la superficie de restricción donde está, y por lo tanto la órbita de un punto en la hipersuperficie bajo transformaciones de gauge será una órbita completamente dentro de ella. Los observables de Dirac se definen como funciones del espacio de fase ,${\displaystyle O}$, que Poisson conmuta con todas las restricciones cuando se imponen las ecuaciones de restricción, $${\displaystyle \{G_{j},O\}_{G_{j}=C_{a}=H=0}=\{C_{a},O\}_{G_{j}=C_{a}=H=0}=\{H,O\}_{G_{j}=C_{a}=H=0}=0,}$$ Es decir, son cantidades definidas en la superficie de restricción que son invariantes bajo las transformaciones de gauge de la teoría.

Luego, resolviendo solo la restricción${\displaystyle G_{j}=0}$y determinar los observables de Dirac con respecto a él nos lleva de vuelta al espacio de fases de Arnowitt–Deser–Misner (ADM) con restricciones.${\displaystyle H,C_{a}}$La dinámica de la relatividad general se genera mediante restricciones; se puede demostrar que seis ecuaciones de Einstein que describen la evolución temporal (en realidad una transformación de gauge) se obtienen calculando los corchetes de Poisson de la métrica tridimensional y su momento conjugado con una combinación lineal del difeomorfismo espacial y la restricción hamiltoniana. La anulación de las restricciones, que da lugar al espacio de fases físico, son las otras cuatro ecuaciones de Einstein. ^{[ 11 ]}

Muchos de los problemas técnicos en la gravedad cuántica canónica giran en torno a las restricciones. La relatividad general canónica se formuló originalmente en términos de variables métricas, pero parecía haber dificultades matemáticas insuperables para extender las restricciones a los operadores cuánticos debido a su dependencia altamente no lineal de las variables canónicas. Las ecuaciones se simplificaron mucho con la introducción de las nuevas variables de Ashtekar. Las variables de Ashtekar describen la relatividad general canónica en términos de un nuevo par de variables canónicas más cercanas a las de las teorías de gauge. El primer paso consiste en utilizar tríadas densificadas.${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$(una tríada${\displaystyle E_{i}^{a}}$es simplemente tres campos vectoriales ortogonales etiquetados por${\displaystyle i=1,2,3}$y la tríada densificada se define por${\textstyle {\tilde {E}}_{i}^{a}={\sqrt {\det(q)}}E_{i}^{a}}$) para codificar información sobre la métrica espacial, $${\displaystyle \det(q)q^{ab}={\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}\delta ^{ij}.}$$ (dónde${\displaystyle \delta ^{ij}}$es la métrica del espacio plano, y la ecuación anterior expresa que${\displaystyle q^{ab}}$, cuando se escribe en términos de la base${\displaystyle E_{i}^{a}}$(es localmente plano). (Formular la relatividad general con tríadas en lugar de métricas no era nuevo). Las tríadas densificadas no son únicas y, de hecho, se puede realizar una rotación local en el espacio con respecto a los índices internos.${\displaystyle i}$. La variable canónicamente conjugada está relacionada con la curvatura extrínseca mediante${\textstyle K_{a}^{i}=K_{ab}{\tilde {E}}^{ai}/{\sqrt {\det(q)}}}$. Pero surgen problemas similares a los del uso de la formulación métrica cuando se intenta cuantificar la teoría. La nueva idea de Ashtekar fue introducir una nueva variable de configuración, $${\displaystyle A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}-iK_{a}^{i}}$$ que se comporta como un complejo${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$conexión donde${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$está relacionado con la llamada conexión de espín a través de${\displaystyle \Gamma _ {a}^{i}=\Gamma _ {ajk}\epsilon ^{jki}}$. Aquí${\displaystyle A_{a}^{i}}$Se denomina conexión de espín quiral. Define una derivada covariante.${\displaystyle {\mathcal {D}}_{a}}$Resulta que${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$es el momento conjugado de${\displaystyle A_{a}^{i}}$y juntas forman las nuevas variables de Ashtekar.

Las expresiones para las restricciones en variables de Ashtekar; el teorema de Gauss, la restricción de difeomorfismo espacial y la restricción hamiltoniana (densificada) se leen entonces: $${\displaystyle G^{i}={\mathcal {D}}_{a}{\tilde {E}}_{i}^{a}=0}$$$${\displaystyle C_{a}={\tilde {E}}_{i}^{b}F_{ab}^{i}-A_{a}^{i}({\mathcal {D}}_{b}{\tilde {E}}_{i}^{b})=V_{a}-A_{a}^{i}G^{i}=0,}$$$${\displaystyle {\tilde {H}}=\epsilon _{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}F_{ab}^{k}=0}$$ respectivamente, donde${\displaystyle F_{ab}^{i}}$es el tensor de intensidad de campo de la conexión${\displaystyle A_{a}^{i}}$y dónde${\displaystyle V_{a}}$se denomina restricción vectorial. La invariancia rotacional local en el espacio mencionada anteriormente es la original de la${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$Aquí se expresa la invariancia de gauge mediante el teorema de Gauss. Cabe destacar que estas restricciones son polinómicas en las variables fundamentales, a diferencia de las restricciones en la formulación métrica. Esta simplificación drástica pareció abrir el camino a la cuantización de las restricciones. (Véase el artículo « Acción de Palatini autodual» para una derivación del formalismo de Ashtekar).

Con las nuevas variables de Ashtekar, dada la variable de configuración${\displaystyle A_{a}^{i}}$Es natural considerar las funciones de onda.${\displaystyle \Psi (A_{a}^{i})}$Esta es la representación de la conexión. Es análoga a la mecánica cuántica ordinaria con variable de configuración.${\displaystyle q}$y funciones de onda${\displaystyle \psi (q)}$La variable de configuración se convierte en un operador cuántico mediante: $${\displaystyle {\hat {A}}_{a}^{i}\Psi (A)=A_{a}^{i}\Psi (A),}$$ (análogo a${\displaystyle {\sombrero {q}}\psi (q)=q\psi (q)}$) y las tríadas son derivadas (funcionales), $${\displaystyle {\hat {\tilde {E_{i}^{a}}}}\Psi (A)=-i{\delta \Psi (A) \over \delta A_{a}^{i}}.}$$ (análogo a${\displaystyle {\hat {p}}\psi (q)=-i\hbar d\psi (q)/dq}$). Al pasar a la teoría cuántica, las restricciones se convierten en operadores en un espacio de Hilbert cinemático (el espacio sin restricciones${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$Espacio de Hilbert de Yang-Mills). Nótese que diferentes ordenamientos del${\displaystyle A}$'arena${\displaystyle {\tilde {E}}}$es cuando se reemplaza el${\displaystyle {\tilde {E}}}$Las ecuaciones con derivadas dan lugar a diferentes operadores; la elección realizada se denomina ordenación de factores y debe elegirse mediante razonamiento físico. Formalmente, se leen $${\displaystyle {\hat {G}}_{j}\vert \psi \rangle =0}$$$${\displaystyle {\hat {C}}_{a}\vert \psi \rangle =0}$$$${\displaystyle {\hat {\tilde {H}}}\vert \psi \rangle =0.}$$

Todavía existen problemas para definir correctamente todas estas ecuaciones y resolverlas. Por ejemplo, la restricción hamiltoniana con la que trabajó Ashtekar fue la versión densificada en lugar del hamiltoniano original, es decir, trabajó con${\textstyle {\tilde {H}}={\sqrt {\det(q)}}H}$Existían serias dificultades para elevar esta magnitud a la categoría de operador cuántico. Además, si bien las variables de Ashtekar tenían la ventaja de simplificar el hamiltoniano, son complejas. Al cuantizar la teoría, resulta difícil asegurar que se recupere la relatividad general real en contraposición a la relatividad general compleja.

El resultado clásico del corchete de Poisson de la ley de Gauss suavizada${\textstyle G(\lambda )=\int d^{3}x\lambda ^{j}(D_{a}E^{a})^{j}}$con las conexiones es $${\displaystyle \{G(\lambda ),A_{a}^{i}\}=\partial _{a}\lambda ^{i}+g\epsilon ^{ijk}A_{a}^{j}\lambda ^{k}=(D_{a}\lambda )^{i}.}$$

La ley cuántica de Gauss dice: $${\displaystyle {\hat {G}}_{j}\Psi (A)=-iD_{a}{\delta \lambda \Psi [A] \over \delta A_{a}^{j}}=0.}$$

Si se difumina la ley de Gauss cuántica y se estudia su acción sobre el estado cuántico, se encuentra que la acción de la restricción sobre el estado cuántico es equivalente a desplazar el argumento de${\displaystyle \Psi }$por un infinitesimal (en el sentido del parámetro)${\displaystyle \lambda }$transformación de calibre pequeña, $${\displaystyle \left[1+\int d^{3}x\lambda ^{j}(x){\hat {G}}_{j}\right]\Psi (A)=\Psi [A+D\lambda ]=\Psi [A],}$$ y la última identidad proviene del hecho de que la restricción aniquila el estado. Por lo tanto, la restricción, como operador cuántico, impone la misma simetría que su anulación imponía clásicamente: nos dice que las funciones${\displaystyle \Psi [A]}$Deben ser funciones invariantes de gauge de la conexión. La misma idea es válida para las demás restricciones.

Por lo tanto, el proceso de dos pasos en la teoría clásica de resolución de restricciones${\displaystyle C_{I}=0}$(equivalente a resolver las condiciones de admisibilidad para los datos iniciales) y buscar las órbitas de gauge (resolver las ecuaciones de 'evolución') se reemplaza por un proceso de un solo paso en la teoría cuántica, a saber, buscar soluciones.${\displaystyle \Psi }$de las ecuaciones cuánticas${\displaystyle {\sombrero {C}}_{I}\Psi =0}$Esto se debe a que resuelve la restricción a nivel cuántico y simultáneamente busca estados que sean invariantes de gauge porque${\displaystyle {\sombrero {C}}_{I}}$es el generador cuántico de transformaciones de gauge (las funciones invariantes de gauge son constantes a lo largo de las órbitas de gauge y, por lo tanto, las caracterizan). ^{[ 12 ]} Recordemos que, a nivel clásico, resolver las condiciones de admisibilidad y las ecuaciones de evolución era equivalente a resolver todas las ecuaciones de campo de Einstein, lo que subraya el papel central de las ecuaciones de restricción cuántica en la gravedad cuántica canónica.

Fue precisamente la incapacidad de tener un buen control sobre el espacio de soluciones a la ley de Gauss y las restricciones de difeomorfismo espacial lo que llevó a Rovelli y Smolin a considerar la representación de bucles en teorías de gauge y gravedad cuántica . ^{[ 13 ]}

LQG incluye el concepto de holonomía . Una holonomía es una medida de cuánto difieren los valores inicial y final de un espinor o vector después del transporte paralelo alrededor de un bucle cerrado; se denota $${\displaystyle h_{\gamma }[A].}$$

El conocimiento de las holonomías es equivalente al conocimiento de la conexión, salvo equivalencia de calibre. Las holonomías también pueden asociarse con una arista; bajo una Ley de Gauss, estas se transforman como $${\displaystyle (h'_{e})_{\alpha \beta }=U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)(h_{e})_{\gamma \sigma }U_{\sigma \beta }(y).}$$

Para un circuito cerrado${\displaystyle x=y}$y suponiendo${\displaystyle \alpha =\beta }$, produce $${\displaystyle (h'_{e})_{\alpha \alpha }=U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)(h_{e})_{\gamma \sigma }U_{\sigma \alpha }(x)=[U_{\sigma \alpha }(x)U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)](h_{e})_{\gamma \sigma }=\delta _{\sigma \gamma }(h_{e})_{\gamma \sigma }=(h_{e})_{\gamma \gamma }}$$ o $${\displaystyle \operatorname {Tr} h'_{\gamma }=\operatorname {Tr} h_{\gamma }.}$$

Se escribe el rastro de una holonomía alrededor de un bucle cerrado. $${\displaystyle W_{\gamma }[A]}$$ y se denomina bucle de Wilson. Por lo tanto, los bucles de Wilson son invariantes de gauge. La forma explícita de la holonomía es $${\displaystyle h_{\gamma }[A]={\mathcal {P}}\exp \left\{-\int _{\gamma _{0}}^{\gamma _{1}}ds{\dot {\gamma }}^{a}A_{a}^{i}(\gamma (s))T_{i}\right\}}$$ dónde${\displaystyle \gamma }$es la curva a lo largo de la cual se evalúa la holonomía, y${\displaystyle s}$es un parámetro a lo largo de la curva,${\displaystyle {\mathcal {P}}}$denota ordenamiento de ruta, lo que significa factores para valores más pequeños de${\displaystyle s}$aparecen a la izquierda y${\displaystyle T_{i}}$son matrices que satisfacen la${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$álgebra $${\displaystyle [T^{i},T^{j}]=2i\epsilon ^{ijk}T_{k}.}$$

Las matrices de Pauli satisfacen la relación anterior. Resulta que hay infinitos más ejemplos de conjuntos de matrices que satisfacen estas relaciones, donde cada conjunto comprende${\displaystyle (N+1)\times (N+1)}$matrices con${\displaystyle N=1,2,3,\dots }$y donde ninguno de estos puede considerarse que se "descompone" en dos o más ejemplos de dimensión inferior. Se denominan diferentes representaciones irreducibles de la${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$álgebra. La representación más fundamental son las matrices de Pauli. La holonomía se etiqueta con un semi-entero.${\displaystyle N/2}$según la representación irreducible utilizada.

El uso de bucles de Wilson resuelve explícitamente la restricción de calibre de Gauss. Se requiere una representación de bucle para manejar la restricción de difeomorfismo espacial. Con los bucles de Wilson como base, cualquier función invariante de calibre de Gauss se expande como, $${\displaystyle \Psi [A]=\sum _{\gamma }\Psi [\gamma ]W_{\gamma }[A].}$$

Esto se denomina transformación de bucle y es análogo a la representación del momento en mecánica cuántica (véase Espacio de posición y momento ). La representación de mecánica cuántica tiene una base de estados.${\displaystyle \exp(ikx)}$etiquetado con un número${\displaystyle k}$y se expande como $${\displaystyle \psi [x]=\int dk\psi (k)\exp(ikx).}$$ y trabaja con los coeficientes de la expansión${\displaystyle \psi (k).}$

La transformada de bucle inversa se define por $${\displaystyle \Psi [\gamma ]=\int [dA]\Psi [A]W_{\gamma }[A].}$$

Esto define la representación del bucle. Dado un operador${\displaystyle {\hat {O}}}$en la representación de la conexión, $${\displaystyle \Phi [A]={\hat {O}}\Psi [A]\qquad Eq\;1,}$$ Se debe definir el operador correspondiente.${\displaystyle {\hat {O}}'}$en${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$en la representación del bucle a través de, $${\displaystyle \Phi [\gamma ]={\hat {O}}'\Psi [\gamma ]\qquad Eq\;2,}$$ dónde${\displaystyle \Phi [\gamma ]}$se define mediante la transformación de bucle inverso usual, $${\displaystyle \Phi [\gamma ]=\int [dA]\Phi [A]W_{\gamma }[A]\qquad Eq\;3.}$$

Una fórmula de transformación que da la acción del operador${\displaystyle {\hat {O}}'}$en${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$en términos de la acción del operador${\displaystyle {\hat {O}}}$en${\displaystyle \Psi [A]}$se obtiene entonces igualando el lado derecho de${\displaystyle Eq\;2}$con el lado derecho de${\displaystyle Eq\;3}$con${\displaystyle Eq\;1}$sustituido en${\displaystyle Eq\;3}$, es decir $${\displaystyle {\hat {O}}'\Psi [\gamma ]=\int [dA]W_{\gamma }[A]{\hat {O}}\Psi [A],}$$ o $${\displaystyle {\hat {O}}'\Psi [\gamma ]=\int [dA]({\hat {O}}^{\dagger }W_{\gamma }[A])\Psi [A],}$$ dónde${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}$significa el operador${\displaystyle {\hat {O}}}$pero con el orden de factores inverso (recordemos de la mecánica cuántica simple donde el producto de operadores se invierte bajo conjugación). La acción de este operador sobre el bucle de Wilson se evalúa como un cálculo en la representación de conexión y el resultado se reorganiza puramente como una manipulación en términos de bucles (con respecto a la acción sobre el bucle de Wilson, el operador transformado elegido es aquel con el orden de factores opuesto en comparación con el utilizado para su acción sobre las funciones de onda).${\displaystyle \Psi [A]}$). Esto da el significado físico del operador${\displaystyle {\hat {O}}'}$. Por ejemplo, si${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}$correspondía a un difeomorfismo espacial, entonces esto puede pensarse como mantener el campo de conexión.${\displaystyle A}$de${\displaystyle W_{\gamma }[A]}$donde se encuentra mientras realiza un difeomorfismo espacial en${\displaystyle \gamma }$en cambio. Por lo tanto, el significado de${\displaystyle {\hat {O}}'}$es un difeomorfismo espacial en${\displaystyle \gamma }$, el argumento de${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$.

En la representación de bucles, la restricción de difeomorfismo espacial se resuelve considerando funciones de bucles.${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$que son invariantes bajo difeomorfismos espaciales del bucle${\displaystyle \gamma }$Es decir, se utilizan invariantes de nudos . Esto abre una conexión inesperada entre la teoría de nudos y la gravedad cuántica.

Cualquier conjunto de bucles de Wilson que no se intersecan satisface la restricción del hamiltoniano cuántico de Ashtekar. Usando un ordenamiento particular de los términos y reemplazando${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$mediante una derivada, la acción de la restricción del hamiltoniano cuántico sobre un bucle de Wilson es $${\displaystyle {\hat {\tilde {H}}}^{\dagger }W_{\gamma }[A]=-\epsilon _{ijk}{\hat {F}}_{ab}^{k}{\frac {\delta }{\delta A_{a}^{i}}}{\frac {\delta }{\delta A_{b}^{j}}}W_{\gamma }[A].}$$

Cuando se toma una derivada, el vector tangente desciende.${\displaystyle {\dot {\gamma }}^{a}}$, del bucle,${\displaystyle \gamma }$. Entonces, $${\displaystyle {\hat {F}}_{ab}^{i}{\dot {\gamma }}^{a}{\dot {\gamma }}^{b}.}$$

Sin embargo, como${\displaystyle F_{ab}^{i}}$es antisimétrico en los índices${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$esto desaparece (esto supone que${\displaystyle \gamma }$no es discontinuo en ningún punto y, por lo tanto, el vector tangente es único).

Con respecto a la representación de bucles, las funciones de onda${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$desaparecen cuando el bucle tiene discontinuidades y son invariantes de nudo. Estas funciones resuelven la ley de Gauss, la restricción de difeomorfismo espacial y (formalmente) la restricción hamiltoniana. ¡Esto produce un conjunto infinito de soluciones exactas (aunque solo formales) para todas las ecuaciones de la relatividad general cuántica! ^{[ 13 ]} Esto generó mucho interés en el enfoque y finalmente condujo a la LQG.

La magnitud geométrica más sencilla es el área. Elegimos coordenadas de modo que la superficie${\displaystyle \Sigma }$se caracteriza por${\displaystyle x^{3}=0}$. El área del pequeño paralelogramo de la superficie${\displaystyle \Sigma }$es el producto de la longitud de cada lado por${\displaystyle \sin \theta }$dónde${\displaystyle \theta }$es el ángulo entre los lados. Digamos que un borde está dado por el vector${\displaystyle {\vec {u}}}$y el otro por${\displaystyle {\vec {v}}}$entonces, $${\displaystyle A=\|{\vec {u}}\|\|{\vec {v}}\|\sin \theta ={\sqrt {\|{\vec {u}}\|^{2}\|{\vec {v}}\|^{2}(1-\cos ^{2}\theta )}}={\sqrt {\|{\vec {u}}\|^{2}\|{\vec {v}}\|^{2}-({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})^{2}}}}$$

En el espacio abarcado por${\displaystyle x^{1}}$y${\displaystyle x^{2}}$Hay un paralelogramo infinitesimal descrito por${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {e}}_{1}dx^{1}}$y${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {e}}_{2}dx^{2}}$. Usando${\displaystyle q_{AB}^{(2)}={\vec {e}}_{A}\cdot {\vec {e}}_{B}}$(donde los índices${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$(varía de 1 a 2), da como resultado el área de la superficie${\displaystyle \Sigma }$dado por $${\displaystyle A_{\Sigma }=\int _{\Sigma }dx^{1}dx^{2}{\sqrt {\det \left(q^{(2)}\right)}}}$$ dónde${\displaystyle \det(q^{(2)})=q_{11}q_{22}-q_{12}^{2}}$y es el determinante de la métrica inducida en${\displaystyle \Sigma }$Esto último puede ser reescrito${\displaystyle \det(q^{(2)})=\epsilon ^{AB}\epsilon ^{CD}q_{AC}q_{BD}/2}$donde los índices${\displaystyle A\dots D}$pasar de 1 a 2. Esto se puede reescribir aún más como $${\displaystyle \det(q^{(2)})={\epsilon ^{3ab}\epsilon ^{3cd}q_{ac}q_{bc} \over 2}.}$$

La fórmula estándar para una matriz inversa es $${\displaystyle q^{ab}={\epsilon ^{bcd}\epsilon ^{aef}q_{ce}q_{df} \over 2!\det(q)}.}$$

Existe una similitud entre esto y la expresión para${\displaystyle \det(q^{(2)})}$. Pero en las variables de Ashtekar,${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}^{bi}=\det(q)q^{ab}}$. Por lo tanto, $${\displaystyle A_{\Sigma }=\int _{\Sigma }dx^{1}dx^{2}{\sqrt {{\tilde {E}}_{i}^{3}{\tilde {E}}^{3i}}}.}$$

Según las reglas de cuantización canónica, las tríadas${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{3}}$deberían ser promovidos a operadores cuánticos, $${\displaystyle {\hat {\tilde {E}}}_{i}^{3}\sim {\delta \over \delta A_{3}^{i}}.}$$

El área${\displaystyle A_{\Sigma }}$puede promoverse a un operador cuántico bien definido a pesar de que contiene un producto de dos derivadas funcionales y una raíz cuadrada. ^{[ 14 ]} Poniendo${\displaystyle N=2J}$(${\displaystyle J}$-ésima representación), $${\displaystyle \sum _{i}T^{i}T^{i}=J(J+1)1.}$$

Esta cantidad es importante en la fórmula final para el espectro de área. El resultado es $${\displaystyle {\hat {A}}_{\Sigma }W_{\gamma }[A]=8\pi \ell _{\text{Planck}}^{2}\beta \sum _{I}{\sqrt {j_{I}(j_{I}+1)}}W_{\gamma }[A]}$$ donde la suma se realiza sobre todas las aristas${\displaystyle I}$del bucle de Wilson que perfora la superficie${\displaystyle \Sigma }$.

La fórmula para el volumen de una región${\displaystyle R}$es dado por $${\displaystyle V=\int _{R}d^{3}x{\sqrt {\det(q)}}=\int _{R}dx^{3}{\sqrt {{\frac {1}{3!}}\epsilon _{abc}\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}{\tilde {E}}_{k}^{c}}}.}$$

La cuantización del volumen procede de la misma manera que con el área. Cada vez que se toma la derivada, disminuye el vector tangente.${\displaystyle {\dot {\gamma }}^{a}}$Cuando el operador de volumen actúa sobre bucles de Wilson que no se intersecan, el resultado se anula. Por lo tanto, los estados cuánticos con volumen distinto de cero deben incluir intersecciones. Dado que la suma antisimétrica se utiliza en la fórmula del volumen, se requieren intersecciones con al menos tres líneas no coplanares . Se necesitan al menos vértices tetravalentes para que el operador de volumen no se anule.

Suponiendo la representación real donde el grupo de calibre es${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$Los bucles de Wilson son una base sobrecompleta ya que existen identidades que relacionan diferentes bucles de Wilson. Esto ocurre porque los bucles de Wilson se basan en matrices (la holonomía) y estas matrices satisfacen identidades. Dados dos cualesquiera${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$matrices${\displaystyle \mathbb {A} }$y${\displaystyle \mathbb {B} }$, $${\displaystyle \operatorname {Tr} (\mathbb {A} )\operatorname {Tr} (\mathbb {B} )=\operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} )+\operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} ^{-1}).}$$

Esto implica que dados dos bucles${\displaystyle \gamma }$y${\displaystyle \eta }$que se cruzan, $${\displaystyle W_{\gamma }[A]W_{\eta }[A]=W_{\gamma \circ \eta }[A]+W_{\gamma \circ \eta ^{-1}}[A]}$$ donde por${\displaystyle \eta ^{-1}}$nos referimos al bucle${\displaystyle \eta }$recorrió en la dirección opuesta y${\displaystyle \gamma \circ \eta }$significa el bucle que se obtiene al dar la vuelta al bucle.${\displaystyle \gamma }$y luego a lo largo${\displaystyle \eta }$. Véase la figura siguiente. Dado que las matrices son unitarias, se tiene que${\displaystyle W_{\gamma }[A]=W_{\gamma ^{-1}}[A]}$. También dada la propiedad cíclica de las trazas de la matriz (es decir,${\displaystyle \operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} )=\operatorname {Tr} (\mathbb {B} \mathbb {A} )}$) uno tiene eso${\displaystyle W_{\gamma \circ \eta }[A]=W_{\eta \circ \gamma }[A]}$Estas identidades se pueden combinar entre sí para formar otras identidades de complejidad creciente, añadiendo más bucles. Estas identidades se conocen como identidades de Mandelstam. Las redes de espín son combinaciones lineales de bucles de Wilson que se intersecan, diseñadas para abordar la sobrecompletitud introducida por las identidades de Mandelstam (para intersecciones trivalentes, eliminan por completo la sobrecompletitud) y, de hecho, constituyen la base de todas las funciones invariantes de gauge.

Como se mencionó anteriormente, la holonomía indica cómo propagar partículas de prueba de espín medio. Un estado de red de espín asigna una amplitud a un conjunto de partículas de espín medio que trazan una trayectoria en el espacio, fusionándose y dividiéndose. Estas se describen mediante redes de espín.${\displaystyle \gamma }$Los bordes están etiquetados con espines, junto con "entrelazadores" en los vértices, que indican cómo sumar las diferentes formas en que se redirigen los espines. La suma sobre las redirecciones se elige de tal manera que la forma del entrelazador sea invariante bajo transformaciones de gauge de Gauss.

En la larga historia de la gravedad cuántica canónica, formular la restricción hamiltoniana como un operador cuántico ( ecuación de Wheeler-DeWitt ) de manera matemáticamente rigurosa ha sido un problema formidable. Fue en la representación de bucles donde finalmente se formuló una restricción hamiltoniana matemáticamente bien definida en 1996. ^{[ 10 ]} Dejamos más detalles de su construcción para el artículo Restricción hamiltoniana de LQG . Esto, junto con las versiones cuánticas de la ley de Gauss y las restricciones de difeomorfismo espacial escritas en la representación de bucles, son las ecuaciones centrales de LQG (relatividad general cuántica canónica moderna).

El objetivo principal del aspecto técnico de la LQG es encontrar los estados que son aniquilados por estas restricciones (los estados físicos), así como el producto interno físico correspondiente y los observables.

Un aspecto importante del operador hamiltoniano es que solo actúa en los vértices (una consecuencia de esto es que el operador hamiltoniano de Thiemann, al igual que el operador de Ashtekar, aniquila los bucles que no se intersecan, solo que ahora no es meramente formal, sino que tiene un significado matemático riguroso). Más precisamente, su acción es distinta de cero en al menos los vértices de valencia tres o superior, y da como resultado una combinación lineal de nuevas redes de espín donde el grafo original se ha modificado mediante la adición de líneas en cada vértice y un cambio en las etiquetas de los enlaces adyacentes al vértice.

Un desafío importante en la física teórica reside en unificar la gravedad cuántica de lazos (LQG), una teoría del espacio-tiempo cuántico, con el Modelo Estándar de la física de partículas, que describe las fuerzas y partículas fundamentales. Un obstáculo importante en este empeño es el problema de la duplicación de fermiones , que surge al incorporar fermiones quirales al marco de la LQG.

Los fermiones quirales, como los electrones y los quarks, son partículas fundamentales caracterizadas por su quiralidad. Esta propiedad determina que una partícula y su imagen especular se comporten de manera diferente bajo interacciones débiles. Esta asimetría es fundamental para el éxito del Modelo Estándar en la explicación de numerosos fenómenos físicos.

Sin embargo, los intentos de integrar fermiones quirales en la gravedad cuántica de ligandos (LQG) suelen dar lugar a la aparición de partículas espurias, imágenes especulares. En lugar de un único fermión levógiro, por ejemplo, la teoría predice la existencia de una versión levógira y otra dextrógira. ^{[ 15 ]} Esta «duplicación» contradice la quiralidad observada del Modelo Estándar y socava su capacidad predictiva.

El problema de la duplicación de fermiones representa un obstáculo importante para la construcción de una teoría coherente de la gravedad cuántica. La precisión del Modelo Estándar al describir el universo a las escalas más pequeñas depende en gran medida de las propiedades únicas de los fermiones quirales. Sin una solución a este problema, integrar la materia y sus interacciones en un marco unificado de gravedad cuántica sigue siendo un desafío considerable.

Por lo tanto, resolver el problema de la duplicación de fermiones es crucial para avanzar en nuestra comprensión del universo en su nivel más fundamental y desarrollar una teoría completa que unifique la gravedad con el mundo cuántico.

La restricción hamiltoniana genera una evolución temporal. Resolver dicha restricción debería indicarnos cómo evolucionan los estados cuánticos en el tiempo, desde un estado inicial de red de espín hasta un estado final. Un enfoque para resolver la restricción hamiltoniana comienza con la función delta de Dirac . Su suma sobre diferentes secuencias de acciones puede visualizarse como una suma sobre diferentes historias de vértices de interacción en la evolución temporal, que transforma la red de espín inicial en la final. Cada vez que actúa un operador hamiltoniano, lo hace añadiendo una nueva arista al vértice. ^{[ 16 ]}

Esto da lugar naturalmente al complejo de dos caras (un conjunto combinatorio de caras que se unen a lo largo de los bordes, que a su vez se unen en los vértices) subyacente a la descripción de la espuma de espín; evolucionamos hacia adelante una red de espín inicial barriendo una superficie, la acción del operador de restricción hamiltoniana es producir una nueva superficie plana que comienza en el vértice. Podemos usar la acción de la restricción hamiltoniana en el vértice de un estado de red de espín para asociar una amplitud a cada "interacción" (en analogía con los diagramas de Feynman ). Véase la figura a continuación. Esto abre una vía para intentar vincular directamente la LQG canónica con una descripción de integral de trayectoria. Así como las redes de espín describen el espacio cuántico, cada configuración que contribuye a estas integrales de trayectoria, o sumas sobre el historial, describe el "espaciotiempo cuántico". Debido a su semejanza con las espumas de jabón y la forma en que se denominan, John Baez dio a estos "espaciotiempos cuánticos" el nombre de "espumas de espín".

Sin embargo, existen serias dificultades con este enfoque particular; por ejemplo, el operador hamiltoniano no es autoadjunto, de hecho ni siquiera es un operador normal (es decir, el operador no conmuta con su adjunto) y, por lo tanto, el teorema espectral no puede utilizarse para definir la exponencial en general. El problema más grave es que la${\displaystyle {\hat {H}}(x)}$Como no conmutan entre sí, se puede demostrar la cantidad formal.${\textstyle \int [dN]e^{i\int d^{3}xN(x){\hat {H}}(x)}}$Ni siquiera puede definir un proyector (generalizado). La restricción maestra (véase más abajo) no presenta estos problemas y, como tal, ofrece una forma de conectar la teoría canónica con la formulación de la integral de trayectoria.

Resulta que existen rutas alternativas para formular la integral de trayectoria, aunque su conexión con el formalismo hamiltoniano es menos clara. Una forma es comenzar con la teoría BF . Esta es una teoría más simple que la relatividad general, no tiene grados de libertad locales y, como tal, depende solo de aspectos topológicos de los campos. La teoría BF es lo que se conoce como una teoría de campos topológica . Sorprendentemente, resulta que la relatividad general se puede obtener a partir de la teoría BF imponiendo una restricción, ^{[ 17 ]} La teoría BF involucra un campo${\displaystyle B_{ab}^{IJ}}$y si uno elige el campo${\displaystyle B}$ser el producto (antisimétrico) de dos tétradas $${\displaystyle B_{ab}^{IJ}={1 \over 2}\left(E_{a}^{I}E_{b}^{J}-E_{b}^{I}E_{a}^{J}\right)}$$ (las tétradas son como tríadas pero en cuatro dimensiones espaciotemporales), se recupera la relatividad general. La condición de que${\displaystyle B}$La condición de que el campo esté dado por el producto de dos tétradas se denomina restricción de simplicidad. La dinámica de la espuma de espín de la teoría de campos topológica se comprende bien. Dadas las amplitudes de "interacción" de la espuma de espín para esta teoría simple, se intenta implementar las condiciones de simplicidad para obtener una integral de trayectoria para la relatividad general. La tarea no trivial de construir un modelo de espuma de espín se reduce entonces a la cuestión de cómo debe imponerse esta restricción de simplicidad en la teoría cuántica. El primer intento fue el famoso modelo de Barrett-Crane . ^{[ 18 ]} Sin embargo, se demostró que este modelo era problemático; por ejemplo, no parecía haber suficientes grados de libertad para asegurar el límite clásico correcto. ^{[ 19 ]} Se ha argumentado que la restricción de simplicidad se impuso con demasiada fuerza a nivel cuántico y que solo debería imponerse en el sentido de valores esperados, al igual que con la condición de calibre de Lorenz.${\displaystyle \partial _{\mu }{\hat {A}}^{\mu }}$en el formalismo de Gupta-Bleuler de la electrodinámica cuántica . Ahora se han propuesto nuevos modelos, a veces motivados por la imposición de las condiciones de simplicidad en un sentido más débil.

Otra dificultad reside en que las espumas de espín se definen en una discretización del espaciotiempo. Si bien esto no presenta problemas para una teoría de campos topológica, ya que carece de grados de libertad locales, sí los presenta para la relatividad general. Esto se conoce como el problema de la dependencia de la triangularización.

Así como la imposición de la restricción de simplicidad clásica permite recuperar la relatividad general a partir de la teoría BF, se espera que una restricción de simplicidad cuántica adecuada permita recuperar la gravedad cuántica a partir de la teoría BF cuántica.

^{Engle, Pereira y Rovelli, [ 20 ]} Freidel y Krasnov ^{[ 21 ]} y Livine y Speziale ^{[ 22 ]} han logrado avances en relación con este tema al definir amplitudes de interacción de espuma de espín con mejor comportamiento.

Se ha intentado establecer contacto entre la espuma de hilado EPRL-FK y la formulación canónica de LQG. ^{[ 23 ]}

Vea abajo.

Existen varias dificultades al tratar de establecer que la LQG proporciona la teoría de la relatividad general de Einstein en el límite semiclasico:

1. No existe un operador que corresponda a difeomorfismos espaciales infinitesimales (no sorprende que la teoría no tenga un generador de "traslaciones" espaciales infinitesimales, ya que predice que la geometría espacial tiene una naturaleza discreta, en comparación con la situación en la materia condensada). En cambio, debe aproximarse mediante difeomorfismos espaciales finitos, por lo que la estructura de corchetes de Poisson de la teoría clásica no se reproduce con exactitud. Este problema puede sortearse con la introducción de la denominada restricción maestra (véase más adelante). ^{[ 26 ]}
2. Existe el problema de conciliar la naturaleza combinatoria discreta de los estados cuánticos con la naturaleza continua de los campos de la teoría clásica.
3. Existen serias dificultades derivadas de la estructura de los corchetes de Poisson que involucran difeomorfismos espaciales y restricciones hamiltonianas. En particular, el álgebra de restricciones hamiltonianas (difuminadas) no se cierra: es proporcional a una suma sobre difeomorfismos espaciales infinitesimales (que, como se mencionó anteriormente, no existe en la teoría cuántica) donde los coeficientes de proporcionalidad no son constantes, sino que tienen una dependencia no trivial del espacio de fases; por lo tanto, no forma un álgebra de Lie . Sin embargo, la situación mejora con la introducción de la restricción maestra. ^{[ 26 ]}
4. La maquinaria semiclasica desarrollada hasta ahora solo es apropiada para operadores que no cambian el grafo; sin embargo, la restricción hamiltoniana de Thiemann es un operador que cambia el grafo: el nuevo grafo que genera tiene grados de libertad de los que no depende el estado coherente y, por lo tanto, sus fluctuaciones cuánticas no se suprimen. También existe la restricción, hasta ahora, de que estos estados coherentes solo se definen a nivel cinemático, y ahora hay que elevarlos al nivel de${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Diff}}$y${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Phys}}$Se puede demostrar que la restricción hamiltoniana de Thiemann requiere modificar el grafo para resolver, en cierto sentido, el problema 3. Sin embargo, el álgebra de restricciones maestras es trivial, por lo que se puede prescindir de dicha modificación; de hecho, se han definido operadores de restricciones maestras que no modifican el grafo. Hasta donde se sabe actualmente, este problema sigue sin resolverse.
5. La formulación de observables para la relatividad general clásica es un problema formidable debido a su naturaleza no lineal y a la invariancia de difeomorfismos espaciotemporales. Recientemente se ha desarrollado un esquema de aproximación sistemática para calcular observables. ^{[ 27 ] [ 28 ]}

Las dificultades para examinar el límite semiclasico de la teoría no deben confundirse con el hecho de que dicho límite sea incorrecto.

Respecto al punto número 2 anterior, consideremos los llamados estados de tejido . Las mediciones ordinarias de cantidades geométricas son macroscópicas, y la discreción de Planck se suaviza. La tela de una camiseta es análoga: a distancia es una superficie bidimensional curva y lisa, pero al observarla más de cerca vemos que en realidad está compuesta por miles de hilos enlazados unidimensionales. La imagen del espacio dada en LQG es similar. Consideremos una gran red de espín formada por un gran número de nodos y enlaces, cada uno de escala de Planck . Analizada a escala macroscópica, aparece como una geometría métrica continua tridimensional.

Para entrar en contacto con la física de bajas energías, es imprescindible desarrollar esquemas de aproximación tanto para el producto interno físico como para las observables de Dirac; los modelos de espuma de espín que se han estudiado intensamente pueden considerarse vías hacia esquemas de aproximación para dicho producto interno físico.

Markopoulou, et al. adoptaron la idea de subsistemas sin ruido en un intento de resolver el problema del límite de baja energía en teorías de gravedad cuántica independientes del fondo. ^{[ 29 ] [ 30 ]} La idea ha llevado a la posibilidad de que la materia del Modelo Estándar se identifique con grados de libertad emergentes de algunas versiones de LQG (ver la sección siguiente: LQG y programas de investigación relacionados ).

Como Wightman enfatizó en la década de 1950, en las QFT de Minkowski${\displaystyle n-}$funciones puntuales $${\displaystyle W(x_{1},\dots ,x_{n})=\langle 0|\phi (x_{n})\dots \phi (x_{1})|0\rangle ,}$$ determinar completamente la teoría. En particular, se pueden calcular las amplitudes de dispersión a partir de estas cantidades. Como se explica más adelante en la sección sobre las amplitudes de dispersión independientes del fondo , en el contexto independiente del fondo, la${\displaystyle n-}$Las funciones puntuales se refieren a un estado y en la gravedad ese estado puede codificar naturalmente información sobre una geometría específica que luego puede aparecer en las expresiones de estas cantidades. En primer orden, se ha demostrado que los cálculos LQG coinciden en un sentido apropiado con la${\displaystyle n-}$Funciones puntuales calculadas en la relatividad general cuántica efectiva de baja energía.

El programa de restricción maestra de Thiemann para la gravedad cuántica de lazos (LQG) se propuso como una forma clásicamente equivalente de imponer el número infinito de ecuaciones de restricción hamiltonianas en términos de una única restricción maestra.${\displaystyle M}$, que implica el cuadrado de las restricciones en cuestión. Una objeción inicial al uso de la restricción maestra fue que, a primera vista, no parecía codificar información sobre las observables; debido a que la restricción maestra es cuadrática en la restricción, cuando se calcula su corchete de Poisson con cualquier cantidad, el resultado es proporcional a la restricción, por lo tanto, se desvanece cuando se imponen las restricciones y, como tal, no selecciona funciones particulares del espacio de fases. Sin embargo, se comprendió que la condición $${\displaystyle \{O,\{O,M\}\}_{M=0}=0,}$$ es donde${\displaystyle O}$es al menos una función dos veces diferenciable en el espacio de fases es equivalente a${\displaystyle O}$siendo un observable de Dirac débil con respecto a las restricciones en cuestión. Por lo tanto, la restricción maestra sí captura información sobre los observables. Debido a su importancia, se la conoce como la ecuación maestra. ^{[ 31 ]}

Que el álgebra de Poisson de restricción maestra sea un álgebra de Lie honesta abre la posibilidad de utilizar un método, conocido como promedio de grupo, para construir soluciones del número infinito de restricciones hamiltonianas, un producto interno físico sobre ellas y observables de Dirac a través de lo que se conoce como cuantización algebraica refinada , o RAQ. ^{[ 32 ]}

Defina la restricción maestra cuántica (dejando de lado los problemas de regularización) como $${\displaystyle {\hat {M}}:=\int d^{3}x{\widehat {\left({\frac {H}{\sqrt[{4}]{\det(q(x))}}}\right)}}^{\dagger }(x){\widehat {\left({\frac {H}{\sqrt[{4}]{\det(q(x))}}}\right)}}(x).}$$

Obviamente, $${\displaystyle {\widehat {\left({\frac {H}{\sqrt[{4}]{\det(q(x))}}}\right)}}(x)\Psi =0}$$ a pesar de${\displaystyle x}$implica${\displaystyle {\hat {M}}\Psi =0}$. Por el contrario, si${\displaystyle {\hat {M}}\Psi =0}$entonces $${\displaystyle 0=\left\langle \Psi ,{\hat {M}}\Psi \right\rangle =\int d^{3}x\left\|{\widehat {\left({\frac {H}{\sqrt[{4}]{\det(q(x))}}}\right)}}(x)\Psi \right\|^{2}\qquad Eq\;4}$$ implica $${\displaystyle {\widehat {\left({\frac {H}{\sqrt[{4}]{\det(q(x))}}}\right)}}(x)\Psi =0.}$$

Primero, calcule los elementos de la matriz del operador deseado.${\displaystyle {\hat {M}}}$, es decir, la forma cuadrática${\displaystyle Q_{M}}$.${\displaystyle Q_{M}}$es una forma cuadrática invariante bajo difeomorfismos que cambia la gráfica y que no puede existir en el espacio de Hilbert cinemático.${\displaystyle H_{Kin}}$y debe definirse en${\displaystyle H_{Diff}}$Dado que el operador de restricción maestro${\displaystyle {\hat {M}}}$está densamente definido en${\displaystyle H_{Diff}}$, entonces${\displaystyle {\hat {M}}}$es un operador positivo y simétrico en${\displaystyle H_{Diff}}$Por lo tanto, la forma cuadrática${\displaystyle Q_{M}}$asociado con${\displaystyle {\hat {M}}}$es cerrable . El cierre de${\displaystyle Q_{M}}$es la forma cuadrática de un único operador autoadjunto${\displaystyle {\hat {\overline {M}}}}$, llamada la extensión Friedrichs de${\displaystyle {\hat {M}}}$. Reetiquetamos${\displaystyle {\hat {\overline {M}}}}$como${\displaystyle {\hat {M}}}$por simplicidad.

Nótese que la presencia de un producto interno, es decir, la ecuación 4, significa que no hay soluciones superfluas, es decir, no hay${\displaystyle \Psi }$de tal manera que $${\displaystyle {\widehat {\left({\frac {H}{\sqrt[{4}]{\det(q(x))}}}\right)}}(x)\Psi \not =0,}$$ pero para qué${\displaystyle {\hat {M}}\Psi =0}$.

También es posible construir una forma cuadrática.${\displaystyle Q_{M_{E}}}$para lo que se denomina restricción maestra extendida (que se analiza a continuación) en${\displaystyle H_{Kin}}$lo cual también implica la integral ponderada del cuadrado de la restricción de difeomorfismo espacial (esto es posible porque${\displaystyle Q_{M_{E}}}$(el gráfico no cambia).

El espectro de la restricción maestra puede no contener cero debido a efectos de ordenamiento normal o factorial que son finitos pero de naturaleza similar a las energías de vacío infinitas de las teorías cuánticas de campos dependientes del fondo. En este caso, resulta físicamente correcto reemplazar${\displaystyle {\hat {M}}}$con${\displaystyle {\hat {M}}':={\hat {M}}-\min(spec({\hat {M}})){\hat {1}}}$siempre que la "constante de ordenación normal" se anule en el límite clásico, es decir, $${\displaystyle \lim _{\hbar \to 0}\min(spec({\hat {M}}))=0,}$$ de modo que${\displaystyle {\hat {M}}'}$es una cuantización válida de${\displaystyle M}$.

Las restricciones en su forma primitiva son bastante singulares, razón por la cual se integraron sobre funciones de prueba para obtener restricciones suavizadas. Sin embargo, parece que la ecuación para la restricción maestra, dada anteriormente, es aún más singular, ya que involucra el producto de dos restricciones primitivas (aunque integradas sobre el espacio). Elevar al cuadrado la restricción es peligroso, pues podría empeorar el comportamiento ultravioleta del operador correspondiente; por lo tanto, el programa de la restricción maestra debe abordarse con cuidado.

Al hacerlo, el programa de restricción maestra se ha probado satisfactoriamente en varios sistemas modelo con álgebras de restricción no triviales, teorías de campo libres e interactuantes. ^{[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ]} La restricción maestra para LQG se estableció como un operador autoadjunto positivo genuino y se demostró que el espacio de Hilbert físico de LQG no es vacío, ^{[ 38 ]} una prueba de consistencia que LQG debe pasar para ser una teoría viable de la relatividad general cuántica.

La restricción maestra se ha empleado en intentos de aproximar el producto interno físico y definir integrales de trayectoria más rigurosas. ^{[ 39 ] [ 40 ] [ 41 ] [ 42 ]}

El enfoque de discretizaciones consistentes para LQG, ^{[ 43 ] [ 44 ]} es una aplicación del programa de restricción maestra para construir el espacio de Hilbert físico de la teoría canónica.

La restricción maestra se generaliza fácilmente para incorporar las demás restricciones. Entonces se la denomina restricción maestra extendida, denotada${\displaystyle M_{E}}$Podemos definir la restricción maestra extendida que impone tanto la restricción hamiltoniana como la restricción de difeomorfismo espacial como un solo operador, $${\displaystyle M_{E}=\int _{\Sigma }d^{3}x{H(x)^{2}-q^{ab}V_{a}(x)V_{b}(x) \over {\sqrt {\det(q)}}}.}$$

Establecer esta única restricción a cero es equivalente a${\displaystyle H(x)=0}$y${\displaystyle V_{a}(x)=0}$a pesar de${\displaystyle x}$en${\displaystyle \Sigma }$Esta restricción implementa simultáneamente el difeomorfismo espacial y la restricción hamiltoniana en el espacio de Hilbert cinemático. El producto interno físico se define entonces como $${\displaystyle \langle \phi ,\psi \rangle _{\text{Phys}}=\lim _{T\to \infty }\left\langle \phi ,\int _{-T}^{T}dte^{it{\hat {M}}_{E}}\psi \right\rangle }$$ (como${\textstyle \delta ({\hat {M_{E}}})=\lim _{T\to \infty }\int _{-T}^{T}dte^{it{\hat {M}}_{E}}}$). Una representación de espuma de espín de esta expresión se obtiene dividiendo la${\displaystyle t}$-parámetro en pasos discretos y escritura $${\displaystyle e^{it{\hat {M}}_{E}}=\lim _{n\to \infty }\left[e^{it{\hat {M}}_{E}/n}\right]^{n}=\lim _{n\to \infty }[1+it{\hat {M}}_{E}/n]^{n}.}$$

La descripción de la espuma de hilado se deriva entonces de la aplicación de${\displaystyle [1+it{\hat {M}}_{E}/n]}$en una red de espín que resulta en una combinación lineal de nuevas redes de espín cuyo gráfico y etiquetas han sido modificados. Obviamente, se hace una aproximación truncando el valor de${\displaystyle n}$a algún entero finito. Una ventaja de la restricción maestra extendida es que trabajamos a nivel cinemático y, hasta ahora, solo aquí tenemos acceso a estados coherentes semiclasicos. Además, se pueden encontrar versiones de este operador de restricción maestra que no modifican el grafo, siendo estos los únicos operadores adecuados para dichos estados coherentes.

El programa de restricción maestra ha evolucionado hacia un tratamiento totalmente combinatorio de la gravedad conocido como gravedad cuántica algebraica (AQG). ^{[ 45 ]} El operador de restricción maestra que no modifica el grafo se adapta al marco de la gravedad cuántica algebraica. Si bien la AQG se inspira en la LQG, difiere drásticamente de ella porque en la AQG no existe fundamentalmente una topología o estructura diferencial; es independiente del fondo en un sentido más generalizado y podría tener algo que decir sobre el cambio de topología. En esta nueva formulación de la gravedad cuántica, los estados semiclasicos de la AQG siempre controlan las fluctuaciones de todos los grados de libertad presentes. Esto hace que el análisis semiclasico de la AQG sea superior al de la LQG, y se ha avanzado en establecer que tiene el límite semiclasico correcto y en proporcionar contacto con la física de baja energía familiar. ^{[ 46 ] [ 47 ]}

La termodinámica de los agujeros negros es el área de estudio que busca conciliar las leyes de la termodinámica con la existencia de horizontes de sucesos de agujeros negros . La conjetura de la no-pelo de la relatividad general afirma que un agujero negro se caracteriza solo por su masa , su carga y su momento angular ; por lo tanto, no tiene entropía . Parece, entonces, que se puede violar la segunda ley de la termodinámica al dejar caer un objeto con entropía no nula en un agujero negro. ^{[ 48 ]} El trabajo de Stephen Hawking y Jacob Bekenstein demostró que la segunda ley de la termodinámica se puede preservar asignando a cada agujero negro una entropía de agujero negro.$${\displaystyle S_{\text{BH}}={\frac {k_{\text{B}}A}{4\ell _{\text{P}}^{2}}},}$$ dónde${\displaystyle A}$es el área del horizonte de sucesos del agujero,${\displaystyle k_{\text{B}}}$es la constante de Boltzmann y${\textstyle \ell _{\text{P}}={\sqrt {G\hbar /c^{3}}}}$es la longitud de Planck. ^{[ 49 ]} El hecho de que la entropía del agujero negro sea también la entropía máxima que se puede obtener mediante el límite de Bekenstein (en el que el límite de Bekenstein se convierte en una igualdad) fue la principal observación que condujo al principio holográfico . ^{[ 48 ]}

Un descuido en la aplicación del teorema de no-pelo es la suposición de que los grados de libertad relevantes que explican la entropía del agujero negro deben ser de naturaleza clásica; ¿qué pasaría si fueran puramente cuánticos y tuvieran una entropía distinta de cero? Esto es lo que se realiza en la derivación LQG de la entropía del agujero negro, y puede verse como una consecuencia de su independencia del fondo: el espaciotiempo clásico del agujero negro surge del límite semiclasico del estado cuántico del campo gravitatorio, pero hay muchos estados cuánticos que tienen el mismo límite semiclasico. Específicamente, en LQG ^{[ 50 ]} es posible asociar una interpretación geométrica cuántica a los microestados: Estas son las geometrías cuánticas del horizonte que son consistentes con el área,${\displaystyle A}$del agujero negro y la topología del horizonte (es decir, esférico). LQG ofrece una explicación geométrica de la finitud de la entropía y de la proporcionalidad del área del horizonte. ^{[ 51 ] [ 52 ]} Estos cálculos se han generalizado a agujeros negros en rotación. ^{[ 53 ]}

Es posible derivar, a partir de la formulación covariante de la teoría cuántica completa ( Spinfoam ), la relación correcta entre energía y área (primera ley), la temperatura de Unruh y la distribución que produce la entropía de Hawking. ^{[ 54 ]} El cálculo utiliza la noción de horizonte dinámico y se realiza para agujeros negros no extremos.

Un éxito reciente de la teoría en esta dirección es el cálculo de la entropía de todos los agujeros negros no singulares directamente a partir de la teoría e independientemente del parámetro de Immirzi . ^{[ 54 ] [ 55 ]} El resultado es la fórmula esperada${\displaystyle S=A/4}$, dónde${\displaystyle S}$es la entropía y${\displaystyle A}$el área del agujero negro, derivada por Bekenstein y Hawking por razones heurísticas. Esta es la única derivación conocida de esta fórmula a partir de una teoría fundamental, para el caso de agujeros negros genéricos no singulares. Los intentos anteriores de este cálculo tuvieron dificultades. El problema era que, si bien la gravedad cuántica de lazos predecía que la entropía de un agujero negro es proporcional al área del horizonte de sucesos, el resultado dependía de un parámetro libre crucial en la teoría, el parámetro de Immirzi mencionado anteriormente. Sin embargo, no se conoce ningún cálculo del parámetro de Immirzi, por lo que se fijó exigiendo la concordancia con el cálculo de la entropía del agujero negro de Bekenstein y Hawking .

Se ha realizado un estudio detallado de la geometría cuántica del horizonte de un agujero negro utilizando la gravedad cuántica de bucles. ^{[ 52 ]} La cuantización de bucles no reproduce el resultado para la entropía del agujero negro descubierto originalmente por Bekenstein y Hawking, a menos que se elija el valor del parámetro de Immirzi para cancelar otra constante que surge en la derivación. Sin embargo, condujo al cálculo de correcciones de orden superior a la entropía y la radiación de los agujeros negros.

Basándose en las fluctuaciones del área del horizonte, un agujero negro cuántico exhibe desviaciones del espectro de Hawking que serían observables si se observaran los rayos X de la radiación de Hawking de agujeros negros primordiales en evaporación. ^{[ 56 ]} Los efectos cuánticos se centran en un conjunto de frecuencias discretas y no superpuestas muy pronunciadas sobre el espectro de radiación de Hawking. ^{[ 57 ]}

En 2014, Carlo Rovelli y Francesca Vidotto propusieron que existe una estrella de Planck dentro de cada agujero negro. ^{[ 58 ]} Basada en la LQG, la teoría afirma que, a medida que las estrellas colapsan en agujeros negros, la densidad de energía alcanza la densidad de energía de Planck, lo que provoca una fuerza repulsiva que crea una estrella. Además, la existencia de dicha estrella resolvería la paradoja de la información y el muro de fuego de los agujeros negros .

La literatura popular y técnica hace amplias referencias al tema de la cosmología cuántica de bucles, relacionado con la LQG. La LQC fue desarrollada principalmente por Martin Bojowald. Se popularizó en Scientific American por predecir un Gran Rebote antes del Big Bang . ^{[ 59 ]} La cosmología cuántica de bucles (LQC) es un modelo de la relatividad general clásica con simetría reducida, cuantizado mediante métodos que imitan los de la gravedad cuántica de bucles (LQG), que predice un "puente cuántico" entre ramas cosmológicas en contracción y expansión.

Entre los logros de la computación cuántica latente (LQC) se encuentran la resolución de la singularidad del Big Bang , la predicción de un Gran Rebote y un mecanismo natural para la inflación .

Los modelos LQC comparten características de LQG y, por lo tanto, son un modelo de juguete útil. Sin embargo, los resultados obtenidos están sujetos a la restricción habitual de que una teoría clásica truncada, luego cuantizada, podría no mostrar el comportamiento real de la teoría completa debido a la supresión artificial de grados de libertad que podrían tener grandes fluctuaciones cuánticas en la teoría completa. Se ha argumentado que la evitación de singularidades en LQC se logra mediante mecanismos disponibles solo en estos modelos restrictivos y que la evitación de singularidades en la teoría completa aún puede obtenerse, pero mediante una característica más sutil de LQG. ^{[ 60 ] [ 61 ]}

Los efectos de la gravedad cuántica son difíciles de medir debido a la pequeñez de la longitud de Planck. Sin embargo, recientemente, físicos como Jack Palmer han comenzado a considerar la posibilidad de medir estos efectos, principalmente a partir de observaciones astrofísicas y detectores de ondas gravitacionales. La energía de estas fluctuaciones a escalas tan pequeñas provoca perturbaciones espaciales que son visibles a escalas mayores.

La gravedad cuántica de bucles se formula en un lenguaje independiente del fondo. No se asume ningún espaciotiempo a priori, sino que se construye a partir de los estados de la teoría misma; sin embargo, las amplitudes de dispersión se derivan de${\displaystyle n}$Las funciones de punto ( función de correlación ) y estas, formuladas en la teoría cuántica de campos convencional, son funciones de puntos de un espaciotiempo de fondo. La relación entre el formalismo independiente del fondo y el formalismo convencional de la teoría cuántica de campos en un espaciotiempo dado no es obvia, y no es obvio cómo recuperar cantidades de baja energía a partir de la teoría completa independiente del fondo. Uno querría derivar la${\displaystyle n}$funciones de punto - de la teoría del formalismo independiente del fondo, para compararlas con la expansión perturbativa estándar de la relatividad general cuántica y, por lo tanto, comprobar que la gravedad cuántica de lazos produce el límite de baja energía correcto.

Se ha sugerido una estrategia para abordar este problema; ^{[ 62 ]} estudiando la amplitud de frontera, es decir, una integral de trayectoria sobre una región espaciotemporal finita, vista como una función del valor de frontera del campo. ^{[ 63 ] [ 64 ]} En la teoría cuántica de campos convencional, esta amplitud de frontera está bien definida ^{[ 65 ] [ 66 ]} y codifica la información física de la teoría; también lo hace en la gravedad cuántica, pero de una manera totalmente independiente del fondo. ^{[ 67 ]} Una definición generalmente covariante de${\displaystyle n}$Las funciones de punto pueden entonces basarse en la idea de que la distancia entre puntos físicos – argumentos de la${\displaystyle n}$La función de punto está determinada por el estado del campo gravitatorio en el límite de la región espaciotemporal considerada.

Se han logrado avances en el cálculo de amplitudes de dispersión independientes del fondo mediante el uso de espumas de espín. Este método permite extraer información física de la teoría. Se afirma haber reproducido el comportamiento correcto de las amplitudes de dispersión del gravitón y haber recuperado la gravedad clásica. «Hemos calculado la ley de Newton partiendo de un mundo sin espacio ni tiempo», declaró Carlo Rovelli.