Representación de bucles en las teorías de calibre y la gravedad cuántica

Se han hecho intentos para describir las teorías de calibración en términos de objetos extendidos como bucles de Wilson y holonomías . La representación de bucles es una representación hamiltoniana cuántica de las teorías de calibración en términos de bucles. El objetivo de la representación de bucles en el contexto de las teorías de Yang-Mills es evitar la redundancia introducida por las simetrías de calibración de Gauss, permitiendo trabajar directamente en el espacio de estados físicos (estados invariantes de calibración de Gauss). La idea es bien conocida en el contexto de la teoría de Yang-Mills en red (ver teoría de calibración en red ). Gambini y Trias intentaron explorar la representación de bucles continuos para la teoría canónica de Yang-Mills, sin embargo hubo dificultades ya que representaban objetos singulares. Como veremos, el formalismo de bucles va mucho más allá de una simple descripción invariante de calibración, de hecho es el marco geométrico natural para tratar las teorías de calibración y la gravedad cuántica en términos de sus excitaciones físicas fundamentales.

La introducción por Ashtekar de un nuevo conjunto de variables ( variables de Ashtekar ) planteó la relatividad general en el mismo lenguaje que las teorías de gauge y permitió aplicar técnicas de bucles como una descripción natural no perturbativa de la teoría de Einstein. En la gravedad cuántica canónica, las dificultades en el uso de la representación de bucles continuos se curan mediante la invariancia del difeomorfismo espacial de la relatividad general . La representación de bucles también proporciona una solución natural de la restricción del difeomorfismo espacial, haciendo una conexión entre la gravedad cuántica canónica y la teoría de nudos . Sorprendentemente, había una clase de estados de bucles que proporcionaban soluciones exactas (aunque solo formales) a la ecuación original (mal definida) de Wheeler-DeWitt de Ashtekar . ¡Por lo tanto, se había identificado un conjunto infinito de soluciones exactas (aunque solo formales) para todas las ecuaciones de la gravedad cuántica general canónica en esta representación! Esto generó mucho interés en el enfoque y finalmente condujo a la gravedad cuántica de bucles (LQG).

La representación de bucles ha encontrado aplicación en matemáticas. Si las teorías topológicas de campos cuánticos se formulan en términos de bucles, las cantidades resultantes deberían ser lo que se conoce como invariantes de nudos . Las teorías topológicas de campos solo implican un número finito de grados de libertad y, por lo tanto, son exactamente solucionables. Como resultado, proporcionan expresiones computables concretas que son invariantes de nudos. Esta fue precisamente la idea de Edward Witten ^[1], quien se dio cuenta de que al calcular cantidades dependientes de bucles en Chern-Simons y otras teorías topológicas de campos cuánticos tridimensionales se podían obtener expresiones analíticas explícitas para invariantes de nudos. Por su trabajo en este sentido, en 1990 se le concedió la Medalla Fields . Es el primer físico y hasta ahora el único en recibir la Medalla Fields, a menudo considerada como el mayor honor en matemáticas.

La idea de las simetrías de calibración se introdujo en la teoría de Maxwell. Las ecuaciones de Maxwell son

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {E}}={\rho \over \epsilon _{0}}\qquad \nabla \times {\vec {B}}-\epsilon _{0}\mu _{0}{\partial {\vec {E}} \over \partial t}=\mu _{0}{\vec {J}}\qquad \nabla \times {\vec {E}}+{\partial {\vec {B}} \over \partial t}=0\qquad \nabla \cdot {\vec {B}}=0}$

donde es la densidad de carga y la densidad de corriente. Las dos últimas ecuaciones se pueden resolver escribiendo los campos en términos de un potencial escalar, , y un potencial vectorial, : ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\vec {J}}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\vec {A}}}$

${\displaystyle {\vec {E}}=-\nabla \phi -{\partial {\vec {A}} \over \partial t}\qquad {\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}}$.

Los potenciales determinan de forma única los campos, pero los campos no determinan de forma única los potenciales: podemos realizar los cambios:

${\displaystyle \phi '=\phi +{\partial \Lambda \over \partial t}\qquad {\vec {A}}'={\vec {A}}-\nabla \Lambda }$

sin afectar los campos eléctrico y magnético, donde es una función arbitraria del espacio-tiempo. Estas se denominan transformaciones de calibre. Existe una notación relativista elegante: el campo de calibre es ${\displaystyle \Lambda ({\vec {x}},t)}$

${\displaystyle A^{\mu }=(\phi ,{\vec {A}})}$

y las transformaciones de calibre anteriores se leen,

${\displaystyle {A^{\mu }}'=A^{\mu }+\partial ^{\mu }\Lambda }$.

Se introduce el llamado tensor de intensidad de campo,

${\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }}$

que se demuestra fácilmente que es invariante bajo transformaciones de calibre. En componentes,

${\displaystyle F^{0i}=E^{i},\qquad \epsilon ^{ijk}F^{jk}=B^{i}}$.

La acción libre de fuente de Maxwell viene dada por:

${\displaystyle S=-{1 \over 2}\int d^{4}x{\Big (}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }{\Big )}}$.

La capacidad de variar el potencial de calibre en diferentes puntos del espacio y del tiempo (al cambiar ) sin cambiar la física se denomina invariancia local. La teoría electromagnética posee el tipo más simple de simetría de calibre local, denominada (véase grupo unitario ). Una teoría que muestra invariancia de calibre local se denomina teoría de calibre. Para formular otras teorías de calibre, le damos la vuelta al razonamiento anterior. Este es el tema de la siguiente sección. ${\displaystyle \Lambda ({\vec {x}},t)}$${\displaystyle U(1)}$

Sabemos por la mecánica cuántica que si reemplazamos la función de onda, , que describe el campo de electrones por ${\displaystyle \psi (x)}$

${\displaystyle \psi '(x)=\exp(i\theta )\psi (x)}$

que deja inalteradas las predicciones físicas. Consideramos la imposición de invariancia local en la fase del campo electrónico,

${\displaystyle \psi '(x)=\Omega \psi (x)=\exp(i\theta (x))\psi (x)}$

El problema es que las derivadas de no son covariantes bajo esta transformación: ${\displaystyle \psi (x)}$

${\displaystyle \partial _{\mu }(\exp(i\theta (x))\psi (x))=\Omega \partial _{\mu }\psi (x)+\partial _{\mu }\Omega \psi (x)}$.

Para cancelar el segundo término no deseado, se introduce un nuevo operador de derivada que es covariante. Para construir , se introduce un nuevo cuerpo, la conexión : ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }}$${\displaystyle A_{\mu }}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }=\partial _{\mu }+igA_{\mu }(x)}$.

Entonces

${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{\mu }\psi )'=\partial _{\mu }\psi '+igA_{\mu }'\psi '=\Omega \partial _{\mu }\psi +(\partial \Omega )\psi +igA_{\mu }'\Omega \psi }$

El término se cancela precisamente al requerir que el campo de conexión se transforme como ${\displaystyle \partial _{\mu }\Omega }$

${\displaystyle A_{\mu }'(x)=A_{\mu }(x)+{i \over g}[\partial _{\mu }\Omega (x)]\Omega ^{-1}(x)\quad Eq1.}$.

Entonces tenemos que

${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{\mu }\psi )'=\Omega {\mathcal {D}}_{\mu }\psi }$.

Tenga en cuenta que es equivalente a ${\displaystyle Eq1}$

${\displaystyle A_{\mu }'(x)=A_{\mu }(x)+{1 \over g}\partial _{\mu }\theta (x)}$

que parece lo mismo que una transformación de calibre del potencial de calibre de la teoría de Maxwell. Es posible construir una acción invariante para el propio campo de conexión. Queremos una acción que solo tenga dos derivadas (ya que las acciones con derivadas mayores no son unitarias). Defina la cantidad:

${\displaystyle F_{\mu \nu }={-i \over g}[{\mathcal {D}}_{\mu },{\mathcal {D}}_{\mu }]={-i \over g}[\partial _{\mu }+igA_{\mu }(x),\partial _{\nu }+igA_{\nu }(x)]}$

${\displaystyle ={-i \over g}{\Big (}[\partial _{\mu },\partial _{\nu }]+ig(\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu })-g^{2}[A_{\mu },A_{\nu }]{\Big )}}$

${\displaystyle =\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\nu }}$.

La acción única con sólo dos derivadas viene dada por:

${\displaystyle S=-{\frac {1}{2}}\int d^{4}x{\Big (}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }{\Big )}}$.

Por lo tanto, se puede derivar la teoría electromagnética a partir de argumentos basados ​​únicamente en la simetría.

Ahora generalizamos el razonamiento anterior a grupos de calibración generales. Se comienza con los generadores de alguna álgebra de Lie :

${\displaystyle [T_{i},T_{j}]=if^{ijk}T^{k}}$

Sea un campo de fermiones que se transforma como

${\displaystyle \mathbf {\Psi } '\mapsto {\hat {\Omega }}(x)\mathbf {\Psi } (x)=\exp(i\theta ^{i}(x)T^{i})\mathbf {\Psi } (x)}$

Nuevamente las derivadas de no son covariantes bajo esta transformación. Introducimos una derivada covariante ${\displaystyle \mathbf {\Psi } (x)}$

${\displaystyle \mathbf {\mathcal {D}} _{\mu }=\mathbf {I} \partial _{\mu }+ig\mathbf {A} _{\mu }(x)}$

con campo de conexión dado por

${\displaystyle \mathbf {A} _{\mu }(x)=A_{\mu }^{i}(x)T^{i}}$

Requerimos que se transforme como: ${\displaystyle \mathbf {A} _{\mu }(x)}$

${\displaystyle \mathbf {A} _{\mu }'(x)={\hat {\Omega }}\mathbf {A} _{\mu }(x){\hat {\Omega }}^{-1}+{i \over g}{\hat {\Omega }}(\partial _{\mu }{\hat {\Omega }}^{-1})}$.

Definimos el operador de intensidad de campo

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mu \nu }=-{i \over g}[\mathbf {\mathcal {D}} _{\mu },\mathbf {\mathcal {D}} _{\nu }]=\partial _{\mu }\mathbf {A} _{\nu }-\partial _{\nu }\mathbf {A} _{\mu }+ig[\mathbf {A} _{\mu },\mathbf {A} _{\nu }]=(\partial _{\mu }A_{\nu }^{i}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{i}+gf^{ijk}A_{\mu }^{j}A_{\nu }^{k})T^{i}}$.

Como es covariante, esto significa que el tensor también es covariante: ${\displaystyle \mathbf {\mathcal {D}} _{\mu }}$${\displaystyle F_{\mu \nu }^{i}}$

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mu \nu }\mapsto \mathbf {F} _{\mu \nu }'={\hat {\Omega }}\mathbf {F} _{\mu \nu }{\hat {\Omega }}^{-1}}$

Nótese que solo es invariante bajo transformaciones de calibre si es un escalar, es decir, solo en el caso del electromagnetismo. ${\displaystyle \mathbf {F} _{\mu \nu }}$${\displaystyle {\hat {\Omega }}}$

Ahora podemos construir una acción invariante a partir de este tensor. Nuevamente queremos una acción que solo tenga dos derivadas. La opción más simple es la traza del conmutador:

${\displaystyle \operatorname {Tr} ({\hat {\Omega }}\mathbf {F} _{\mu \nu }{\hat {\Omega }}^{-1}{\hat {\Omega }}\mathbf {F} ^{\mu \nu }{\hat {\Omega }}^{-1})=\operatorname {Tr} (\mathbf {F} _{\mu \nu }\mathbf {F} ^{\mu \nu })}$

La acción única con sólo dos derivadas viene dada por:

${\displaystyle S=-{1 \over 2}\int d^{4}xTr(\mathbf {F} _{\mu \nu }\mathbf {F} ^{\mu \nu })=-{1 \over 2}\int d^{4}x\operatorname {Tr} {\Big (}F_{\mu \nu }^{i}T^{j}F_{j}^{\mu \nu }T^{j}{\Big )}}$

Esta es la acción de la teoría de Yang-Mills.

Consideramos un cambio de representación en la teoría de calibre de Maxwell cuántico. La idea es introducir una base de estados etiquetados por bucles cuyo producto interno con los estados de conexión está dado por ${\displaystyle \mid \gamma \rangle }$

${\displaystyle \langle A\mid \gamma \rangle =W(\gamma )=\exp \left[ie\int _{\gamma }dy^{\alpha }A_{\alpha }(y)\right]}$

El bucle funcional es el bucle de Wilson para el caso abeliano. ${\displaystyle W(\gamma )}$${\displaystyle U(1)}$

Consideramos para simplificar (y porque más adelante veremos que este es el grupo de calibración relevante en LQG) una teoría de Yang-Mills en cuatro dimensiones. La variable de campo de la teoría continua es una conexión (o potencial de calibración) , donde es un índice en el álgebra de Lie de . Podemos escribir para este campo ${\displaystyle SU(2)}$${\displaystyle SU(2)}$${\displaystyle A_{\mu }^{i}(x)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle SU(2)}$

${\displaystyle \mathbf {A} _{\mu }(x)=A_{\mu }^{i}(x)\tau _{i}}$

donde están los generadores, es decir, las matrices de Pauli multiplicadas por . Nótese que, a diferencia de la teoría de Maxwell, las conexiones tienen valores matriciales y no conmutan, es decir, son teorías de calibre no abelianas. Debemos tener esto en cuenta al definir la versión correspondiente de la holonomía para la teoría de Yang-Mills. ${\displaystyle \tau _{i}}$${\displaystyle su(2)}$${\displaystyle i/2}$${\displaystyle \mathbf {A} _{\mu }(x)}$${\displaystyle SU(2)}$

Primero describimos la teoría cuántica en términos de variable de conexión.

En la representación de conexión, la variable de configuración es y su momento conjugado es la tríada (densificada) . Lo más natural es considerar funciones de onda . Esto se conoce como la representación de conexión. Las variables canónicas se convierten en operadores cuánticos: ${\displaystyle A_{a}^{i}}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$${\displaystyle \Psi (A_{a}^{i})}$

${\displaystyle {\hat {A}}_{a}^{i}\Psi [A]=A_{a}^{i}\Psi [A]}$

(análoga a la representación de la posición ) y las tríadas son derivadas funcionales, ${\displaystyle {\hat {q}}\psi (q)=q\psi (q)}$

${\displaystyle {\hat {\tilde {E}}}_{a}^{i}\Psi [A]=-i{\delta \Psi [A] \over \delta A_{a}^{i}}}$

(análogo a ) ${\displaystyle {\hat {p}}\psi (q)=-i{d\psi (q) \over dq}}$

Volvamos a la teoría clásica de Yang-Mills. Es posible codificar la información invariante de calibración de la teoría en términos de variables "de tipo bucle".

Necesitamos la noción de holonomía . Una holonomía es una medida de cuánto difieren los valores inicial y final de un espinor o vector después del transporte paralelo alrededor de un bucle cerrado  ; se denota ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle h_{\gamma }[A]}$

El conocimiento de las holonomías es equivalente al conocimiento de la conexión, hasta la equivalencia de calibre. Las holonomías también pueden asociarse con una arista; bajo una ley de Gauss, estas se transforman como

${\displaystyle (h'_{e})_{\alpha \beta }=U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)(h_{e})_{\gamma \sigma }U_{\sigma \beta }(y).}$

Para un bucle cerrado si tomamos la traza de este, es decir poniendo y sumando obtenemos ${\displaystyle x=y}$${\displaystyle \alpha =\beta }$

${\displaystyle (h'_{e})_{\alpha \alpha }=U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)(h_{e})_{\gamma \sigma }U_{\sigma \alpha }(x)=[U_{\sigma \alpha }(x)U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)](h_{e})_{\gamma \sigma }=\delta _{\sigma \gamma }(h_{e})_{\gamma \sigma }=(h_{e})_{\gamma \gamma }}$

o

${\displaystyle \operatorname {Tr} h'_{\gamma }=\operatorname {Tr} h_{\gamma }.}$

Por lo tanto, la traza de una holonomía alrededor de un bucle cerrado es invariante de calibre. Se denota

${\displaystyle W_{\gamma }[A]}$

y se llama bucle de Wilson. La forma explícita de la holonomía es

${\displaystyle h_{\gamma }[A]={\mathcal {P}}\exp {\Big \{}-\int _{\gamma _{0}}^{\gamma _{1}}\,ds{\dot {\gamma }}^{a}A_{a}^{i}(\gamma (s))T_{i}{\Big \}}}$

donde es la curva a lo largo de la cual se evalúa la holonomía, y es un parámetro a lo largo de la curva, denota el orden de la ruta, es decir, los factores para valores más pequeños de aparecen a la izquierda, y son matrices que satisfacen el álgebra ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle s}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle su(2)}$

${\displaystyle [T^{i},T^{j}]=2i\epsilon ^{ijk}T^{k}.\,}$

Las matrices de Pauli satisfacen la relación anterior. Resulta que hay una cantidad infinita de ejemplos más de conjuntos de matrices que satisfacen estas relaciones, donde cada conjunto comprende matrices con , y donde no se puede pensar que ninguna de ellas se "descomponga" en dos o más ejemplos de dimensión inferior. Se denominan representaciones irreducibles diferentes del álgebra. La representación más fundamental son las matrices de Pauli. La holonomía se etiqueta con un medio entero según la representación irreducible utilizada. ${\displaystyle (N+1)\times (N+1)}$${\displaystyle N=1,2,3,\dots }$${\displaystyle su(2)}$${\displaystyle N/2}$

Un teorema importante sobre las teorías de calibración de Yang-Mills es el teorema de Giles, según el cual si se da la traza de la holonomía de una conexión para todos los bucles posibles en una variedad, se puede, en principio, reconstruir toda la información invariante de calibración de la conexión. ^[2] Es decir, los bucles de Wilson constituyen una base de las funciones invariantes de calibración de la conexión. Este resultado clave es la base para la representación de bucles para las teorías de calibración y la gravedad.

El uso de bucles de Wilson resuelve explícitamente la restricción de calibre de Gauss. Como los bucles de Wilson forman una base, podemos desarrollar formalmente cualquier función invariante de calibre de Gauss como,

${\displaystyle \Psi [A]=\sum _{\gamma }\Psi [\gamma ]W_{\gamma }[A]}$.

Esto se llama transformación de bucle. Podemos ver la analogía con la representación del momento en la mecánica cuántica. Allí se tiene una base de estados etiquetados por un número y se expande ${\displaystyle \exp(ikx)}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle \psi [x]=\int dk\psi (k)\exp(ikx).}$

y trabaja con los coeficientes de expansión . ${\displaystyle \psi (k)}$

La transformada de bucle inverso se define por

${\displaystyle \Psi [\gamma ]=\int [dA]\Psi [A]W_{\gamma }[A].}$

Esto define la representación del bucle. Dado un operador en la representación de la conexión, ${\displaystyle {\hat {O}}}$

${\displaystyle \Phi [A]={\hat {O}}\Psi [A],\qquad {\text{Eq 1}}}$

Se debe definir el operador correspondiente en la representación del bucle mediante, ${\displaystyle {\hat {O}}'}$${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$

${\displaystyle \Phi [\gamma ]={\hat {O}}'\Psi [\gamma ],\qquad {\text{Eq 2}}}$

donde se define mediante la transformación de bucle inverso habitual, ${\displaystyle \Phi [\gamma ]}$

${\displaystyle \Phi [\gamma ]=\int [dA]\Phi [A]W_{\gamma }[A].\qquad {\text{Eq 3}}}$

Luego se obtiene una fórmula de transformación que da la acción del operador en en términos de la acción del operador en igualando el lado derecho de con el lado derecho de con sustituido en , es decir ${\displaystyle {\hat {O}}'}$${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$${\displaystyle {\hat {O}}}$${\displaystyle \Psi [A]}$${\displaystyle Eq\;2}$${\displaystyle Eq\;3}$${\displaystyle Eq\;1}$${\displaystyle Eq\;3}$

${\displaystyle {\hat {O}}'\Psi [\gamma ]=\int [dA]W_{\gamma }[A]{\hat {O}}\Psi [A],}$

o

${\displaystyle {\hat {O}}'\Psi [\gamma ]=\int [dA]({\hat {O}}^{\dagger }W_{\gamma }[A])\Psi [A],}$

donde nos referimos al operador pero con el ordenamiento de factores inverso (recuerde de la mecánica cuántica simple donde el producto de operadores se invierte bajo conjugación). Evaluamos la acción de este operador en el bucle de Wilson como un cálculo en la representación de conexión y reorganizando el resultado como una manipulación puramente en términos de bucles (uno debe recordar que al considerar la acción en el bucle de Wilson uno debe elegir el operador que desea transformar con el ordenamiento de factores opuesto al elegido para su acción en funciones de onda ). ${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}$${\displaystyle {\hat {O}}}$${\displaystyle \Psi [A]}$

La introducción de las variables de Ashtekar convirtió la relatividad general en el mismo lenguaje que las teorías de calibre. Fue en particular la incapacidad de tener un buen control sobre el espacio de soluciones a la ley de Gauss y las restricciones del difeomorfismo espacial lo que llevó a Rovelli y Smolin a considerar una nueva representación: la representación de bucles. ^[3]

Para manejar la restricción del difeomorfismo espacial, necesitamos pasar a la representación de bucle. El razonamiento anterior proporciona el significado físico del operador . Por ejemplo, si corresponde a un difeomorfismo espacial, entonces se puede pensar que esto mantiene el campo de conexión de donde está mientras se realiza un difeomorfismo espacial en su lugar. Por lo tanto, el significado de es un difeomorfismo espacial en , el argumento de . ${\displaystyle {\hat {O}}'}$${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}$${\displaystyle A}$${\displaystyle W_{\gamma }[A]}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle {\hat {O}}'}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$

En la representación de bucles, podemos resolver la restricción del difeomorfismo espacial considerando funciones de bucles que son invariantes bajo difeomorfismos espaciales del bucle . Es decir, construimos lo que los matemáticos llaman invariantes de nudos . Esto abrió una conexión inesperada entre la teoría de nudos y la gravedad cuántica. ${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$${\displaystyle \gamma }$

La cantidad geométrica más sencilla es el área. Elijamos coordenadas de modo que la superficie se caracterice por . El área del pequeño paralelogramo de la superficie es el producto de la longitud de cada lado por donde es el ángulo entre los lados. Digamos que un borde está dado por el vector y el otro por entonces, ${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle x^{3}=0}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \sin \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle {\vec {u}}}$${\displaystyle {\vec {v}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\|{\vec {u}}\|\|{\vec {v}}\|\sin \theta ={\sqrt {\|{\vec {u}}\|^{2}\|{\vec {v}}\|^{2}(1-\cos ^{2}\theta )}}\\[6pt]&={\sqrt {\|{\vec {u}}\|^{2}\|{\vec {v}}\|^{2}-({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})^{2}}}\end{aligned}}}$

De esto obtenemos el área de la superficie que se dará por ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle A_{\Sigma }=\int _{\Sigma }\,dx^{1}\,dx^{2}{\sqrt {\det \;q^{(2)}}}}$

donde y es el determinante de la métrica inducida en . Esto se puede reescribir como ${\displaystyle \det q^{(2)}=q_{11}q_{22}-q_{12}^{2}}$${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle \det \;q^{(2)}={\epsilon ^{3ab}\epsilon ^{3cd}q_{ac}q_{bc} \over 2}.}$

La fórmula estándar para una matriz inversa es

${\displaystyle q^{ab}={\epsilon ^{bcd}\epsilon ^{aef}q_{ce}q_{df} \over 2!\det(q)}}$

Nótese la similitud entre esto y la expresión para . Pero en las variables de Ashtekar tenemos . Por lo tanto, ${\displaystyle \det q^{(2)}}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}^{bi}=\det(q)q^{ab}}$

${\displaystyle A_{\Sigma }=\int _{\Sigma }\,dx^{1}\,dx^{2}{\sqrt {{\tilde {E}}_{i}^{3}{\tilde {E}}^{3i}}}.}$

De acuerdo con las reglas de cuantificación canónica deberíamos promover las tríadas a operadores cuánticos, ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{3}}$

${\displaystyle {\hat {\tilde {E}}}_{i}^{3}\sim {\delta \over \delta A_{3}^{i}}.}$

Resulta que el área puede ser promovida a un operador cuántico bien definido a pesar del hecho de que estamos tratando con el producto de dos derivadas funcionales y peor aún, tenemos una raíz cuadrada con la que lidiar también. ^[4] Poniendo , hablamos de estar en la J -ésima representación. Notamos que . Esta cantidad es importante en la fórmula final para el espectro del área. Simplemente enunciamos el resultado a continuación, ${\displaystyle A_{\Sigma }}$${\displaystyle N=2J}$${\displaystyle \sum _{i}T^{i}T^{i}=J(J+1)1}$

${\displaystyle {\hat {A}}_{\Sigma }W_{\gamma }[A]=8\pi \ell _{Planck}^{2}\beta \sum _{I}{\sqrt {j_{I}(j_{I}+1)}}W_{\gamma }[A]}$

donde la suma se aplica a todos los bordes del bucle de Wilson que perforan la superficie . ${\displaystyle I}$${\displaystyle \Sigma }$

La fórmula para el volumen de una región está dada por ${\displaystyle R}$

${\displaystyle V=\int _{R}d^{3}x{\sqrt {\det(q)}}={1 \over 6}\int _{R}dx^{3}{\sqrt {\epsilon _{abc}\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}{\tilde {E}}_{k}^{c}}}.}$

La cuantificación del volumen se realiza de la misma manera que con el área. A medida que tomamos la derivada, y cada vez que lo hacemos bajamos el vector tangente , cuando el operador de volumen actúa sobre bucles de Wilson que no se intersecan, el resultado se anula. Los estados cuánticos con volumen distinto de cero deben implicar, por tanto, intersecciones. Dado que la suma antisimétrica se asume en la fórmula para el volumen, necesitaríamos al menos intersecciones con tres líneas no coplanares . En realidad, resulta que se necesitan al menos vértices cuatrivalentes para que el operador de volumen no se anule. ${\displaystyle {\dot {\gamma }}^{a}}$

Ahora consideramos los bucles de Wilson con intersecciones. Suponemos la representación real donde el grupo de calibración es . Los bucles de Wilson son una base sobrecompleta ya que existen identidades que relacionan diferentes bucles de Wilson. Esto se debe al hecho de que los bucles de Wilson se basan en matrices (la holonomía) y estas matrices satisfacen identidades, las llamadas identidades de Mandelstam. Dadas dos matrices cualesquiera , es fácil comprobar que, ${\displaystyle SU(2)}$${\displaystyle SU(2)}$${\displaystyle \mathbb {A} }$${\displaystyle \mathbb {B} }$

${\displaystyle \operatorname {Tr} (\mathbb {A} )\operatorname {Tr} (\mathbb {B} )=\operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} )+\operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} ^{-1}).}$

Esto implica que dados dos bucles y que se intersecan, tendremos, ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle W_{\gamma }[A]W_{\eta }[A]=W_{\gamma \circ \eta }[A]+W_{\gamma \circ \eta ^{-1}}[A]}$

donde nos referimos al bucle atravesado en la dirección opuesta y significa el bucle obtenido al dar la vuelta al bucle y luego a lo largo de . Vea la figura a continuación. Esto se llama identidad de Mandelstam del segundo tipo. Existe la identidad de Mandelstam del primer tipo . Las redes de espín son ciertas combinaciones lineales de bucles de Wilson que se cruzan diseñados para abordar la sobrecompletitud introducida por las identidades de Mandelstam. ${\displaystyle \eta ^{-1}}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \gamma \circ \eta }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle W(\gamma _{1}\circ \gamma _{2})=W(\gamma _{2}\circ \gamma _{1})}$

De hecho, las redes de espín constituyen una base para todas las funciones invariantes de calibre que minimizan el grado de sobrecompletitud de la base del bucle y, para las intersecciones trivalentes, lo eliminan por completo.

Como se mencionó anteriormente, la holonomía le dice cómo propagar semipartículas de espín de prueba. Un estado de red de espín asigna una amplitud a un conjunto de semipartículas de espín que trazan un camino en el espacio, fusionándose y dividiéndose. Estas se describen mediante redes de espín : los bordes están etiquetados por espines junto con "entrelazadores" en los vértices que son una prescripción sobre cómo sumar sobre diferentes formas en que se redireccionan los espines. La suma sobre el redireccionamiento se elige como tal para hacer que la forma del entrelazador sea invariante bajo las transformaciones de calibre de Gauss. ${\displaystyle \gamma }$

Dos grupos (Lewandowski, Okolow, Sahlmann y Thiemann) [5] y (Christian Fleischhack) [6] han propuesto teoremas que establecen la unicidad de la representación de bucles tal como la definen Ashtekar et al. (es decir, una cierta realización concreta de un espacio de Hilbert y operadores asociados que reproducen el álgebra de bucles correcta, la realización que todos estaban utilizando). ^Antes de que se estableciera este resultado ^, no se sabía si podía haber otros ejemplos de espacios de Hilbert con operadores que invocaran el mismo álgebra de bucles, otras realizaciones, no equivalentes a la que se había utilizado hasta ahora.

Un método común para describir un nudo (o enlace , que son nudos de varios componentes entrelazados entre sí) es considerar su imagen proyectada sobre un plano llamado diagrama de nudos. Cualquier nudo (o enlace) dado se puede dibujar de muchas maneras diferentes utilizando un diagrama de nudos. Por lo tanto, un problema fundamental en la teoría de nudos es determinar cuándo dos descripciones representan el mismo nudo. Dado un diagrama de nudos, uno intenta encontrar una manera de asignarle un invariante de nudo, a veces un polinomio, llamado polinomio de nudo. Dos diagramas de nudos con diferentes polinomios generados por el mismo procedimiento corresponden necesariamente a diferentes nudos. Sin embargo, si los polinomios son iguales, puede que no signifique que correspondan al mismo nudo. Cuanto mejor sea un polinomio para distinguir nudos, más poderoso será.

En 1984, Jones ^[7] anunció el descubrimiento de un nuevo invariante de enlace, que pronto dio lugar a una desconcertante profusión de generalizaciones. Había descubierto un nuevo polinomio de nudo, el polinomio de Jones . En concreto, se trata de un invariante de un nudo o enlace orientado que asigna a cada nudo o enlace orientado un polinomio con coeficientes enteros.

A finales de la década de 1980, Witten acuñó el término teoría cuántica de campos topológica para un cierto tipo de teoría física en la que los valores esperados de las cantidades observables son invariantes bajo difeomorfismos.

Witten ^[8] realizó una derivación heurística del polinomio de Jones y sus generalizaciones a partir de la teoría de Chern-Simons . La idea básica es simplemente que los valores esperados de vacío de los bucles de Wilson en la teoría de Chern-Simons son invariantes de enlace debido a la invariancia de difeomorfismo de la teoría. Sin embargo, para calcular estos valores esperados, Witten necesitaba utilizar la relación entre la teoría de Chern-Simons y una teoría de campos conforme conocida como el modelo de Wess-Zumino-Witten (o el modelo WZW).