polinomio de Jones

En el campo matemático de la teoría de nudos , el polinomio de Jones es un polinomio de nudos descubierto por Vaughan Jones en 1984. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Específicamente, es un invariante de un nudo o enlace orientado que asigna a cada nudo o enlace orientado un polinomio de Laurent en la variable${\displaystyle t^{1/2}}$con coeficientes enteros . ^{[ 3 ]}

Supongamos que tenemos un enlace orientado${\displaystyle L}$, dado como un diagrama de nudos . Definiremos el polinomio de Jones.${\displaystyle V(L)}$mediante el uso del polinomio de corchetes de Louis Kauffman , que denotamos por${\displaystyle \langle ~\rangle }$Aquí, el polinomio entre corchetes es un polinomio de Laurent en la variable${\displaystyle A}$con coeficientes enteros.

Primero, definimos el polinomio auxiliar (también conocido como polinomio de corchetes normalizado).

${\displaystyle X(L)=(-A^{3})^{-w(L)}\langle L\rangle,}$

dónde${\displaystyle w(L)}$denota el retorcimiento de${\displaystyle L}$en su diagrama dado. La torsión de un diagrama es el número de cruces positivos (${\displaystyle L_{+}}$en la figura siguiente) menos el número de cruces negativos (${\displaystyle L_{-}}$). El retorcimiento no es un invariante de nudo.

${\displaystyle X(L)}$es un nudo invariante ya que es invariante bajo cambios del diagrama de${\displaystyle L}$mediante los tres movimientos de Reidemeister . La invariancia bajo los movimientos de Reidemeister de tipo II y III se deduce de la invariancia del corchete bajo esos movimientos. Se sabe que el polinomio del corchete cambia por un factor de${\displaystyle -A^{\pm 3}}$bajo un movimiento Reidemeister de tipo I. La definición de la${\displaystyle X}$El polinomio dado anteriormente está diseñado para anular este cambio, ya que el retorcimiento cambia apropiadamente por${\displaystyle +1}$o${\displaystyle -1}$bajo movimientos de tipo I.

Ahora haz la sustitución.${\displaystyle A=t^{-1/4}}$en${\displaystyle X(L)}$para obtener el polinomio de Jones${\displaystyle V(L)}$Esto da como resultado un polinomio de Laurent con coeficientes enteros en la variable.${\displaystyle t^{1/2}}$.

La formulación original del polinomio de Jones provino de su estudio de las álgebras de operadores. En el enfoque de Jones, resultó de una especie de "traza" de una representación de trenza particular en un álgebra que surgió originalmente al estudiar ciertos modelos, por ejemplo, el modelo de Potts , en mecánica estadística .

Sea L un enlace dado. Un teorema de Alexander afirma que es el cierre de traza de una trenza, digamos con n hebras. Ahora definamos una representación.${\displaystyle \rho }$del grupo de trenzas en n hebras, B _n , en el álgebra de Temperley–Lieb${\displaystyle \operatorname {TL} _{n}}$con coeficientes en${\displaystyle \mathbb {Z} [A,A^{-1}]}$y${\displaystyle \delta =-A^{2}-A^{-2}}$El generador de trenzas estándar${\displaystyle \sigma _{i}}$se envía a${\displaystyle A\cdot e_{i}+A^{-1}\cdot 1}$, dónde${\displaystyle 1,e_{1},\dots ,e_{n-1}}$son los generadores estándar del álgebra de Temperley-Lieb. Se puede comprobar fácilmente que esto define una representación.

Toma la palabra trenza${\displaystyle \sigma }$obtenido previamente de${\displaystyle L}$y calcular${\displaystyle \delta ^{n-1}\operatorname {tr} \rho (\sigma )}$dónde${\displaystyle \operatorname {tr} }$es la traza de Markov . Esto da${\displaystyle \langle L\rangle }$, dónde${\displaystyle \langle }$${\displaystyle \rangle }$es el polinomio de corchetes. Esto se puede ver al considerar, como hizo Louis Kauffman , el álgebra de Temperley-Lieb como un álgebra de diagramas particular.

Una ventaja de este enfoque es que se pueden seleccionar representaciones similares en otras álgebras, como las representaciones de la matriz R , lo que da lugar a "invariantes de Jones generalizados".

El polinomio de Jones se caracteriza por tomar el valor 1 en cualquier diagrama del nudo desenredado y satisface la siguiente relación de hilado :

${\displaystyle (t^{1/2}-t^{-1/2})V(L_{0})=t^{-1}V(L_{+})-tV(L_{-})\,}$

dónde${\displaystyle L_{+}}$,${\displaystyle L_{-}}$, y${\displaystyle L_{0}}$Son tres diagramas de enlaces orientados que son idénticos excepto en una pequeña región donde difieren por los cambios de cruce o suavizado que se muestran en la figura siguiente:

La definición del polinomio de Jones mediante el corchete simplifica la demostración de que para un nudo${\displaystyle K}$, el polinomio de Jones de su imagen especular viene dado por sustitución de${\displaystyle t^{-1}}$para${\displaystyle t}$en${\displaystyle V(K)}$Así, un nudo anfiquiérico , un nudo equivalente a su imagen especular, tiene entradas palíndromas en su polinomio de Jones. Consulte el artículo sobre la relación de la madeja para ver un ejemplo de cálculo utilizando estas relaciones.

Otra propiedad notable de este invariante establece que el polinomio de Jones de un enlace alternante es un polinomio alternante . Esta propiedad fue demostrada por Morwen Thistlethwaite ^{[ 5 ]} en 1987. Otra demostración de esta última propiedad se debe a Hernando Burgos-Soto , quien también extendió la propiedad a los enredos. ^{[ 6 ]}

El polinomio de Jones no es un invariante completo. Existe un número infinito de nudos no equivalentes que tienen el mismo polinomio de Jones. Un ejemplo de dos nudos distintos con el mismo polinomio de Jones se puede encontrar en el libro de Murasugi. ^{[ 7 ]}

Para un entero positivo${\displaystyle N}$, el${\displaystyle N}$polinomio de Jones coloreado${\displaystyle V_{N}(L,t)}$es una generalización del polinomio de Jones. Es el invariante de Reshetikhin-Turaev asociado con el${\displaystyle (N+1)}$-representación irreducible del grupo cuántico${\displaystyle U_{q}({\mathfrak {sl}}_{2})}$En este esquema, el polinomio de Jones es el polinomio de Jones de 1 color, el invariante de Reshetikhin-Turaev asociado a la representación estándar (irreducible y bidimensional) de${\displaystyle U_{q}({\mathfrak {sl}}_{2})}$Se piensa que los hilos de un enlace están "coloreados" por una representación, de ahí el nombre.

En términos más generales, dado un enlace ${\displaystyle L}$de${\displaystyle k}$componentes y representaciones${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{k}}$de${\displaystyle U_{q}({\mathfrak {sl}}_{2})}$, el${\displaystyle (V_{1},\ldots ,V_{k})}$polinomio de Jones coloreado${\displaystyle V_{V_{1},\ldots ,V_{k}}(L,t)}$es el invariante de Reshetikhin-Turaev asociado a${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{k}}$(aquí asumimos que los componentes están ordenados). Dadas dos representaciones${\displaystyle V}$y${\displaystyle W}$, los polinomios de Jones coloreados satisfacen las dos propiedades siguientes: ^{[ 8 ]}

• ${\displaystyle V_{V\oplus W}(L,t)=V_{V}(L,t)+V_{W}(L,t)}$,
• ${\displaystyle V_{V\otimes W}(L,t)=V_{V,W}(L^{2},t)}$, dónde ${\displaystyle L^{2}}$denota el cableado de 2${\displaystyle L}$.

Estas propiedades se deducen del hecho de que los polinomios de Jones coloreados son invariantes de Reshetikhin-Turaev.

Dejar${\displaystyle K}$ser un nudo. Recuerda que al ver un diagrama de${\displaystyle K}$como un elemento del álgebra de Temperley-Lieb gracias al corchete de Kauffman, se recupera el polinomio de Jones de${\displaystyle K}$. De manera similar, el${\displaystyle N}$Polinomio de Jones coloreado de${\displaystyle K}$Se puede dar una descripción combinatoria utilizando los idempotentes de Jones-Wenzl , de la siguiente manera:

• considere el${\displaystyle N}$-cableado${\displaystyle K^{N}}$de${\displaystyle K}$;
• considérelo como un elemento del álgebra de Temperley-Lieb;
• insertar los idempotentes de Jones-Wenzl en algunos${\displaystyle N}$hebras paralelas.

El elemento resultante de${\displaystyle \mathbb {Q} (t)}$es el${\displaystyle N}$Polinomio de Jones coloreado. Véase el apéndice H de ^{[ 9 ]} para más detalles.

Es una cuestión abierta si existe un nudo no trivial con un polinomio de Jones igual al del nudo trivial . Se sabe que existen enlaces no triviales con un polinomio de Jones igual al de los enlaces triviales correspondientes gracias al trabajo de Morwen Thistlethwaite . ^{[ 11 ]} El ejemplo más simple de este tipo tiene 15 cruces esenciales y consiste en un nudo de trébol enlazado a un nudo de figura de ocho . Se sabe que todo nudo primo con hasta 24 cruces, de los cuales hay más de trescientos millones, ^{[ 12 ]} tiene un polinomio de Jones no trivial. Esto se determinó calculando el polinomio de Jones de varios billones de diagramas de nudos y verificando que aquellos diagramas con polinomios de Jones triviales correspondían a nudos triviales. ^{[ 13 ]} Kronheimer y Mrowka demostraron que no existe ningún nudo no trivial con una homología de Khovanov igual a la del nudo trivial. ^{[ 14 ]} Si bien no se conoce ningún nudo no trivial que tenga el mismo polinomio de Jones que el nudo sin polinomio, dos o más nudos pueden tener el mismo polinomio de Jones y requerir otros invariantes para distinguirlos. Ejemplos de ello son el nudo de Conway y el nudo de Kinoshita-Terasaka , con 11 cruces. ^{[ 15 ]}

• Adams, Colin (6 de diciembre de 2000). El libro de los nudos . Sociedad Matemática Americana . ISBN 0-8050-7380-9.
• Jones, Vaughan . "El polinomio de Jones" (PDF) .
• Jones, Vaughan (1987). "Representaciones de álgebra de Hecke de grupos de trenzas y polinomios de enlaces". Annals of Mathematics . 126 (2): 335– 388. doi : 10.2307/1971403 . JSTOR 1971403 . 
• Kauffman, Louis H. (1987). "Modelos de estado y el polinomio de Jones" . Topología . 26 (3): 395– 407. doi : 10.1016/0040-9383(87)90009-7 .(Explica la definición mediante polinomios de corchetes y su relación con la formulación de Jones mediante representación de trenzas)
• Lickorish, WB Raymond (1997). Introducción a la teoría de nudos . Nueva York; Berlín; Heidelberg; Barcelona; Budapest; Hong Kong; Londres; Milán; París; Santa Clara; Singapur; Tokio: Springer. pág.  175. ISBN 978-0-387-98254-0.
• Thistlethwaite, Morwen (2001). "Vínculos con el polinomio de Jones trivial". Journal of Knot Theory and Its Ramifications . 10 (4): 641– 643. doi : 10.1142/S0218216501001050 .
• Eliahou, Shalom; Kauffman, Louis H.; Thistlethwaite , Morwen B. (2003). "Familias infinitas de enlaces con polinomio de Jones trivial" . Topology . 42 (1): 155– 169. doi : 10.1016/S0040-9383(02)00012-5 .
• Przytycki, Józef H. (1991). "Módulos de trenzado de 3-variedades". Boletín de la Academia Polaca de Ciencias . 39 ( 1– 2): 91– 100. arXiv : math/0611797 .

• "Polinomio de Jones-Conway" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Enlaces con el polinomio de Jones trivial por Morwen Thistlethwaite
• " El polinomio de Jones ", El atlas de nudos .