Conjetura de volumen

En la rama de las matemáticas llamada teoría de nudos , la conjetura del volumen es un problema abierto que relaciona los invariantes cuánticos de los nudos con la geometría hiperbólica de sus complementos .

Sea O el nudo sin nudo . Para cualquier nudo${\displaystyle K}$, dejar${\displaystyle \langle K\rangle _ {N}}$sea ​​el invariante de Kashaev de${\displaystyle K}$, que puede definirse como

${\displaystyle \langle K\rangle _{N}=\lim _{q\to e^{2\pi i/N}}{\frac {J_{K,N}(q)}{J_{O,N}(q)}}}$,

dónde${\displaystyle J_{K,N}(q)}$es el${\displaystyle N}$- Polinomio de Jones coloreado de${\displaystyle K}$. La conjetura del volumen afirma que ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {2\pi \log |\langle K\rangle _{N}|}{N}}=\operatorname {vol} (S^{3}\backslash K)}$,

dónde${\displaystyle \operatorname {vol} (S^{3}\backslash K)}$es el volumen simplicial del complemento de${\displaystyle K}$en la 3-esfera , definida de la siguiente manera. Mediante la descomposición JSJ , el complemento${\displaystyle S^{3}\backslash K}$puede descomponerse de forma única en un sistema de toros

${\displaystyle S^{3}\backslash K=\left(\bigsqcup _{i}H_{i}\right)\sqcup \left(\bigsqcup _{j}E_{j}\right)}$

con${\displaystyle H_{i}}$hiperbólico y${\displaystyle E_{j}}$Fibra de Seifert . El volumen simplicial${\displaystyle \operatorname {vol} (S^{3}\backslash K)}$entonces se define como la suma

${\displaystyle \operatorname {vol} (S^{3}\backslash K)=\sum _{i}\operatorname {vol} (H_{i})}$,

dónde${\displaystyle \operatorname {vol} (H_{i})}$es el volumen hiperbólico de la variedad hiperbólica${\displaystyle H_{i}}$. ^{[ 1 ]}

Como caso especial, si${\displaystyle K}$es un nudo hiperbólico , entonces la descomposición JSJ simplemente se lee${\displaystyle S^{3}\backslash K=H_{1}}$y, por definición, el volumen simplicial${\displaystyle \operatorname {vol} (S^{3}\backslash K)}$concuerda con el volumen hiperbólico${\displaystyle \operatorname {vol} (H_{1})}$.

El invariante de Kashaev fue introducido por primera vez por Rinat M. Kashaev en 1994 y 1995 para enlaces hiperbólicos como una suma de estados utilizando la teoría de dilogaritmos cuánticos . ^{[ 2 ] [ 3 ]} Kashaev enunció la fórmula de la conjetura del volumen en el caso de nudos hiperbólicos en 1997. ^{[ 4 ]}

Murakami y Murakami (2001) señalaron que el invariante de Kashaev está relacionado con el polinomio de Jones coloreado mediante la sustitución de la variable.${\displaystyle q}$con la raíz de la unidad${\displaystyle e^{i\pi /N}}$Utilizaron una matriz R como transformada discreta de Fourier para la equivalencia de estas dos descripciones. Este artículo fue el primero en enunciar la conjetura del volumen en su forma moderna utilizando el volumen simplicial. También demuestran que la conjetura del volumen implica la siguiente conjetura de Victor Vasiliev :

Si todos los invariantes de Vassiliev de un nudo coinciden con los del nudo nudo, entonces el nudo es el nudo nudo.

La observación clave en su demostración es que si cada invariante de Vassiliev de un nudo${\displaystyle K}$es trivial, entonces${\displaystyle J_{K,N}(q)=1}$para cualquier${\displaystyle N}$.

La conjetura del volumen es válida para nudos generales y se sabe que es falsa para enlaces arbitrarios. La conjetura del volumen se ha verificado en muchos casos especiales, entre ellos:

• El nudo de ocho (Tobias Ekholm), ^{[ 5 ]}
• El nudo de tres vueltas (Rinat Kashaev y Yoshiyuki Yokota), ^{[ 5 ]}
• Los anillos borromeos ( Stavros Garoufalidis y Thang Le ), ^{[ 5 ]}
• Nudos toroidales (Rinat Kashaev y Olav Tirkkonen), ^{[ 5 ]}
• Todos los nudos y enlaces con volumen cero ( Roland van der Veen ), ^{[ 5 ]}
• Enlaces de Twisted Whitehead ( Hao Zheng ), ^{[ 6 ]}
• Dobles de Whitehead de nudos toroidales no triviales${\displaystyle T(p,q)}$con${\displaystyle q=2}$(Hao Zheng). ^{[ 6 ]}

Utilizando la complejización, Murakami et al. (2002) conjeturaron que para un nudo hiperbólico${\displaystyle K}$,

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {2\pi \log \langle K\rangle _{N}}{N}}=\operatorname {vol} (S^{3}\backslash K)+CS(S^{3}\backslash K)}$,

dónde${\displaystyle CS}$es el invariante de Chern-Simons del campo de marco de la estructura hiperbólica de${\displaystyle K}$Esto sugiere una relación entre el polinomio de Jones coloreado y la teoría de Chern-Simons complejizada.