Gravedad cuántica canónica

En física , la gravedad cuántica canónica es un intento de cuantizar la formulación canónica de la relatividad general (o gravedad canónica ). Es una formulación hamiltoniana de la teoría general de la relatividad de Einstein . La teoría básica fue esbozada por Bryce DeWitt.en un artículo fundamental de 1967, y basado en trabajos anteriores de Peter G. Bergmannutilizando las denominadas técnicas de cuantización canónica para sistemas hamiltonianos restringidos inventadas por Paul Dirac .El enfoque de Dirac permite la cuantización de sistemas que incluyen simetrías de gauge utilizando técnicas hamiltonianas en una elección de gauge fija . Enfoques más recientes basados ​​en parte en el trabajo de DeWitt y Dirac incluyen el estado de Hartle-Hawking , el cálculo de Regge , la ecuación de Wheeler-DeWitt y la gravedad cuántica de lazos .

En la formulación hamiltoniana de la mecánica clásica ordinaria, el corchete de Poisson es un concepto importante. Un "sistema de coordenadas canónico" consta de variables canónicas de posición y momento que satisfacen relaciones canónicas del corchete de Poisson, $${\displaystyle \{q_{i},p_{j}\}=\delta _{ij}}$$ donde el corchete de Poisson viene dado por $${\displaystyle \{f,g\}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right).}$$ para funciones de espacio de fase arbitrarias${\displaystyle f(q_{i},p_{j})}$y${\displaystyle g(q_{i},p_{j})}$. Mediante el uso de corchetes de Poisson, las ecuaciones de Hamilton se pueden reescribir como: $${\displaystyle {\dot {q}}_{i}=\{q_{i},H\},}$$$${\displaystyle {\dot {p}}_{i}=\{p_{i},H\}.}$$

Estas ecuaciones describen un "flujo" u órbita en el espacio de fases generado por el hamiltoniano.${\displaystyle H}$. Dada cualquier función del espacio de fases${\displaystyle F(q,p)}$, tenemos $${\displaystyle {d \over dt}F(q_{i},p_{i})=\{F,H\}.}$$

En la cuantización canónica, las variables del espacio de fases se promueven a operadores cuánticos en un espacio de Hilbert y el corchete de Poisson entre las variables del espacio de fases se reemplaza por la relación de conmutación canónica: $${\displaystyle [{\hat {q}},{\hat {p}}]=i\hbar .}$$

En la denominada representación de posición, esta relación de conmutación se realiza mediante la elección: $${\displaystyle {\sombrero {q}}\psi (q)=q\psi (q)}$$y$${\displaystyle {\hat {p}}\psi (q)=-i\hbar {d \over dq}\psi (q)}$$

La dinámica se describe mediante la ecuación de Schrödinger: $${\displaystyle i\hbar {\partial \over \partial t}\psi ={\hat {H}}\psi }$$ dónde${\displaystyle {\hat {H}}}$es el operador formado a partir del hamiltoniano${\displaystyle H(q,p)}$con el reemplazo${\displaystyle q\mapsto q}$y${\displaystyle p\mapsto -i\hbar {d \over dq}}$.

La relatividad general clásica canónica es un ejemplo de teoría completamente restringida. En las teorías restringidas existen diferentes tipos de espacio de fases: el espacio de fases no restringido (también llamado cinemático), sobre el cual se definen las funciones de restricción, y el espacio de fases reducido, sobre el cual ya se han resuelto las restricciones. Para la cuantización canónica en términos generales, el espacio de fases se reemplaza por un espacio de Hilbert apropiado y las variables del espacio de fases se convierten en operadores cuánticos.

En el enfoque de Dirac para la cuantización, el espacio de fases no restringido se reemplaza por el llamado espacio de Hilbert cinemático, y las funciones de restricción se reemplazan por operadores de restricción implementados en el espacio de Hilbert cinemático; luego se buscan soluciones. Estas ecuaciones de restricción cuántica son las ecuaciones centrales de la relatividad general cuántica canónica, al menos en el enfoque de Dirac, que es el que se suele utilizar.

En teorías con restricciones, también existe la cuantización del espacio de fases reducido, donde las restricciones se resuelven a nivel clásico y las variables del espacio de fases reducido se convierten en operadores cuánticos. Sin embargo, se creía que este enfoque era imposible en la relatividad general, ya que parecía equivalente a encontrar una solución general a las ecuaciones de campo clásicas. No obstante, con el reciente desarrollo de un esquema de aproximación sistemática para calcular observables de la relatividad general (por primera vez) por Bianca Dittrich, basado en ideas introducidas por Carlo Rovelli, Thomas Thiemann ha desarrollado un esquema viable para la cuantización del espacio de fases reducido de la gravedad. Sin embargo, no es totalmente equivalente a la cuantización de Dirac, ya que las variables de reloj deben considerarse clásicas en la cuantización del espacio de fases reducido, a diferencia de la cuantización de Dirac.

Un error común es creer que las transformaciones de coordenadas son las simetrías de gauge de la relatividad general, cuando en realidad las verdaderas simetrías de gauge son los difeomorfismos definidos por un matemático (véase el argumento del agujero )  , que son mucho más radicales. Las restricciones de primera clase de la relatividad general son la restricción de difeomorfismo espacial y la restricción hamiltoniana (también conocida como ecuación de Wheeler-De Witt), que imprimen la invariancia de difeomorfismo espacial y temporal de la teoría, respectivamente. La imposición clásica de estas restricciones son básicamente condiciones de admisibilidad sobre los datos iniciales, y también generan las ecuaciones de "evolución" (en realidad, transformaciones de gauge) mediante el corchete de Poisson. Es importante destacar que el álgebra del corchete de Poisson entre las restricciones determina completamente la teoría clásica  ; esto es algo que debe reproducirse de alguna manera en el límite semiclasico de la gravedad cuántica canónica para que sea una teoría viable de la gravedad cuántica.

En el enfoque de Dirac, resulta que las restricciones cuánticas de primera clase impuestas a una función de onda también generan transformaciones de gauge. Por lo tanto, el proceso de dos pasos en la teoría clásica de resolver las restricciones${\displaystyle C_{I}=0}$(equivalente a resolver las condiciones de admisibilidad para los datos iniciales) y buscar las órbitas de gauge (resolver las ecuaciones de "evolución") se reemplaza por un proceso de un solo paso en la teoría cuántica, a saber, buscar soluciones.${\displaystyle \Psi }$de las ecuaciones cuánticas${\displaystyle {\sombrero {C}}_{I}\Psi =0}$Esto se debe a que obviamente resuelve la restricción a nivel cuántico y simultáneamente busca estados que sean invariantes de gauge porque${\displaystyle {\sombrero {C}}_{I}}$es el generador cuántico de transformaciones de gauge. A nivel clásico, resolver las condiciones de admisibilidad y las ecuaciones de evolución equivale a resolver todas las ecuaciones de campo de Einstein, lo que subraya el papel central de las ecuaciones de restricción cuántica en el enfoque de Dirac a la gravedad cuántica canónica.

Un difeomorfismo puede concebirse como el arrastre simultáneo de la métrica (campo gravitatorio) y los campos de materia sobre la variedad desnuda, manteniendo el mismo sistema de coordenadas. Por ello, resulta más radical que la invariancia bajo una simple transformación de coordenadas. Esta simetría surge del requisito sutil de que las leyes de la relatividad general no pueden depender de ninguna geometría espaciotemporal dada a priori.

Esta invariancia de difeomorfismo tiene una implicación importante: la gravedad cuántica canónica será manifiestamente finita, ya que la capacidad de "arrastrar" la función métrica sobre la variedad desnuda significa que las "distancias" pequeñas y grandes entre puntos de coordenadas definidos abstractamente son equivalentes en cuanto a calibre. Lee Smolin ha proporcionado un argumento más riguroso:

Un operador independiente del fondo siempre debe ser finito. Esto se debe a que la escala del regulador y la métrica de fondo se introducen siempre conjuntamente en el procedimiento de regularización. Esto es necesario, ya que la escala a la que se refiere el parámetro de regularización debe describirse en términos de una métrica de fondo o un diagrama de coordenadas introducido en la construcción del operador regulado. Por ello, la dependencia del operador regulado respecto del punto de corte, o parámetro del regulador, está relacionada con su dependencia de la métrica de fondo. Al tomar el límite cuando el parámetro del regulador tiende a cero, se aíslan los términos no nulos. Si estos dependen del parámetro del regulador (lo que ocurriría si el término diverge), entonces también deben depender de la métrica de fondo. Por el contrario, si los términos no nulos en el límite cuando se elimina el regulador no dependen de la métrica de fondo, entonces el operador debe ser finito.

De hecho, como se menciona más adelante, Thomas Thiemann ha demostrado explícitamente que la gravedad cuántica de lazos (una versión bien desarrollada de la gravedad cuántica canónica) es manifiestamente finita incluso en presencia de todas las formas de materia. Por lo tanto, no hay necesidad de renormalización ni de eliminación de infinitos. Sin embargo, en otro trabajo, Thomas Thiemann admitió la necesidad de la renormalización como una forma de corregir las ambigüedades de cuantización. ^{[ 1 ]}

En la gravedad cuántica perturbativa (de donde se originan los argumentos de no renormalización), como en cualquier esquema perturbativo, se parte de la suposición razonable de que el espacio-tiempo a grandes escalas debería aproximarse bien a un espacio plano; se dispersan gravitones sobre este fondo aproximadamente plano y se encuentra que su amplitud de dispersión presenta divergencias que no pueden absorberse en la redefinición de la constante de Newton. Los teóricos de la gravedad cuántica canónica no aceptan este argumento; sin embargo, hasta ahora no han proporcionado un cálculo alternativo de la amplitud de dispersión del gravitón que pueda utilizarse para comprender qué sucede con los términos que resultan no renormalizables en el tratamiento perturbativo. Una expectativa mantenida desde hace tiempo es que, en una teoría de geometría cuántica como la gravedad cuántica canónica, las cantidades geométricas como el área y el volumen se convierten en observables cuánticos y toman valores discretos distintos de cero, proporcionando un regulador natural que elimina los infinitos de la teoría, incluidos los que provienen de las contribuciones de la materia. Esta «cuantización» de los observables geométricos se realiza, de hecho, en la gravedad cuántica de lazos (LQG).

La cuantización se basa en descomponer el tensor métrico de la siguiente manera: $${\displaystyle g_{\mu \nu }dx^{\mu }\,dx^{\nu }=(-\,N^{2}+\beta _{k}\beta ^{k})dt^{2}+2\beta _{k}\,dx^{k}\,dt+\gamma _{ij}\,dx^{i}\,dx^{j}}$$donde se implica la suma sobre índices repetidos , el índice 0 denota tiempo${\displaystyle \tau =x^{0}}$Los índices griegos recorren todos los valores 0,  ...  , 3 y los índices latinos recorren los valores espaciales 1,  ... , 3. La función     ${\displaystyle N}$se llama función de lapso y las funciones${\displaystyle \beta _{k}}$se denominan funciones de desplazamiento. Los índices espaciales se elevan y se bajan utilizando la métrica espacial.${\displaystyle \gamma _{ij}}$y su inversa${\displaystyle \gamma ^{ij}}$:${\displaystyle \gamma _{ij}\gamma ^{jk}=\delta _{i}{}^{k}}$y${\displaystyle \beta ^{i}=\gamma ^{ij}\beta _ {j}}$,${\displaystyle \gamma =\det \gamma _{ij}}$, dónde${\displaystyle \delta }$es la delta de Kronecker . Bajo esta descomposición, el lagrangiano de Einstein-Hilbert se convierte, salvo derivadas totales , $${\displaystyle L=\int d^{3}x\,N\gamma ^{1/2}(K_{ij}K^{ij}-K^{2}+{}^{(3)}R)}$$ dónde${\displaystyle {}^{(3)}R}$es la curvatura escalar espacial calculada con respecto a la métrica riemanniana${\displaystyle \gamma _{ij}}$y${\displaystyle K_{ij}}$es la curvatura extrínseca , $${\displaystyle K_{ij}=-{\frac {1}{2}}({\mathcal {L}}_{n}\gamma )_{ij}={\frac {1}{2}}N^{-1}\left(\nabla _{j}\beta _{i}+\nabla _{i}\beta _{j}-{\frac {\partial \gamma _{ij}}{\partial t}}\right),}$$ dónde${\displaystyle {\mathcal {L}}}$denota la diferenciación de Lie,${\displaystyle n}$es la unidad normal a superficies constantes${\displaystyle t}$y${\displaystyle \nabla _{i}}$denota la diferenciación covariante con respecto a la métrica${\displaystyle \gamma _{ij}}$. Tenga en cuenta que${\displaystyle \gamma _{\mu \nu }=g_{\mu \nu }+n_{\mu }n_{\nu }}$DeWitt escribe que el lagrangiano "tiene la forma clásica 'energía cinética menos energía potencial', donde la curvatura extrínseca desempeña el papel de energía cinética y el negativo de la curvatura intrínseca el de energía potencial". Si bien esta forma del lagrangiano es manifiestamente invariante ante la redefinición de las coordenadas espaciales, hace que la covarianza general resulte opaca.

Dado que la función de lapso y las funciones de desplazamiento pueden eliminarse mediante una transformación de gauge , no representan grados de libertad físicos. Esto se indica al pasar al formalismo hamiltoniano por el hecho de que sus momentos conjugados, respectivamente${\displaystyle \pi }$y${\displaystyle \pi ^{i}}$, desaparecen idénticamente ( en la capa y fuera de ella ). Dirac las llama restricciones primarias . Una elección popular de calibre, llamada calibre síncrono , es${\displaystyle N=1}$y${\displaystyle \beta _{i}=0}$, aunque, en principio, pueden elegirse como cualquier función de las coordenadas. En este caso, el hamiltoniano toma la forma $${\displaystyle H=\int d^{3}x{\mathcal {H}},}$$ dónde $${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2}}\gamma ^{-1/2}(\gamma _{ik}\gamma _{jl}+\gamma _{il}\gamma _{jk}-\gamma _{ij}\gamma _{kl})\pi ^{ij}\pi ^{kl}-\gamma ^{1/2}{}^{(3)}R}$$ y${\displaystyle \pi ^{ij}}$es el momento conjugado a${\displaystyle \gamma _{ij}}$Las ecuaciones de Einstein se pueden recuperar tomando corchetes de Poisson con el hamiltoniano. Restricciones adicionales en la capa de masas, llamadas restricciones secundarias por Dirac, surgen de la consistencia del álgebra de corchetes de Poisson. Estas son:${\displaystyle {\mathcal {H}}=0}$y${\displaystyle \nabla _{j}\pi ^{ij}=0}$Esta es la teoría que se está cuantizando en los enfoques de la gravedad cuántica canónica.

Se puede demostrar que seis ecuaciones de Einstein que describen la evolución temporal (en realidad una transformación de gauge) se pueden obtener calculando los corchetes de Poisson de la métrica tridimensional y su momento conjugado con una combinación lineal del difeomorfismo espacial y la restricción hamiltoniana. La anulación de las restricciones, que da lugar al espacio de fases físico, son las otras cuatro ecuaciones de Einstein. Es decir, tenemos:

Restricciones de difeomorfismos espaciales $${\displaystyle C_{a}(x)=0}$$ de los cuales hay un número infinito  – uno por valor de${\displaystyle x}$, pueden ser difuminados por las llamadas funciones de desplazamiento${\displaystyle {\vec {N}}(x)}$para dar un conjunto equivalente de restricciones de difeomorfismo espacial suavizado, $${\displaystyle C({\vec {N}})=\int d^{3}x\,C_{a}(x)N^{a}(x).}$$

Estos generan difeomorfismos espaciales a lo largo de órbitas definidas por la función de desplazamiento.${\displaystyle N^{a}(x)}$.

restricciones hamiltonianas $${\displaystyle H(x)=0}$$ de los cuales hay un número infinito, pueden ser difuminados por las llamadas funciones de lapso${\displaystyle N(x)}$para dar un conjunto equivalente de restricciones hamiltonianas suavizadas, $${\displaystyle H(N)=\int d^{3}x\,H(x)N(x).}$$

Como se mencionó anteriormente, la estructura de corchetes de Poisson entre las restricciones (difuminadas) es importante porque determina completamente la teoría clásica y debe reproducirse en el límite semiclasico de cualquier teoría de la gravedad cuántica.

La ecuación de Wheeler-DeWitt (a veces llamada restricción hamiltoniana, a veces ecuación de Einstein-Schrödinger) es bastante central ya que codifica la dinámica a nivel cuántico. Es análoga a la ecuación de Schrödinger, excepto que la coordenada temporal,${\displaystyle t}$, no es físico, una función de onda física no puede depender de${\displaystyle t}$y por lo tanto la ecuación de Schrödinger se reduce a una restricción:

${\displaystyle {\sombrero {H}}\Psi =0.}$

El uso de variables métricas conlleva dificultades matemáticas aparentemente insuperables al intentar elevar la expresión clásica a un operador cuántico bien definido, y por ello transcurrieron décadas sin lograr avances mediante este enfoque. Este problema se sorteó y la formulación de una ecuación de Wheeler-De-Witt bien definida se logró por primera vez con la introducción de las variables de Ashtekar-Barbero y la representación de bucles , este operador bien definido formulado por Thomas Thiemann..

Antes de este avance, la ecuación de Wheeler-De-Witt solo se había formulado en modelos con simetría reducida, como la cosmología cuántica.

Muchos de los problemas técnicos en la gravedad cuántica canónica giran en torno a las restricciones. La relatividad general canónica se formuló originalmente en términos de variables métricas, pero parecía haber dificultades matemáticas insuperables para extender las restricciones a los operadores cuánticos debido a su dependencia altamente no lineal de las variables canónicas. Las ecuaciones se simplificaron considerablemente con la introducción de las nuevas variables de Ashtekar. Las variables de Ashtekar describen la relatividad general canónica en términos de un nuevo par de variables canónicas más cercanas a las de las teorías de gauge. Al hacerlo, introdujo una restricción adicional, además del difeomorfismo espacial y la restricción hamiltoniana: la restricción de gauge de Gauss.

La representación de bucles es una representación hamiltoniana cuántica de las teorías de gauge en términos de bucles. El objetivo de esta representación, en el contexto de las teorías de Yang-Mills, es evitar la redundancia introducida por las simetrías de gauge de Gauss, permitiendo trabajar directamente en el espacio de estados invariantes de gauge de Gauss. El uso de esta representación surgió de forma natural de la representación de Ashtekar-Barbero, ya que proporciona una descripción exacta no perturbativa y, además, porque la restricción de difeomorfismo espacial se maneja fácilmente dentro de esta representación.

Dentro de la representación de bucles, Thiemann ha proporcionado una teoría canónica bien definida en presencia de todas las formas de materia y ha demostrado explícitamente que es manifiestamente finita. Por lo tanto, no hay necesidad de renormalización . Sin embargo, dado que el enfoque LQG es adecuado para describir la física a la escala de Planck, existen dificultades para relacionarlo con la física de baja energía que conocemos y establecer que posee el límite semiclasico correcto.

Todas las teorías canónicas de la relatividad general deben abordar el problema del tiempo . En la gravedad cuántica, este problema constituye un conflicto conceptual entre la relatividad general y la mecánica cuántica. En la relatividad general canónica, el tiempo es simplemente otra coordenada, resultado de la covarianza general . En las teorías cuánticas de campos, especialmente en la formulación hamiltoniana, la formulación se divide entre tres dimensiones espaciales y una dimensión temporal. En términos generales, el problema del tiempo radica en su ausencia en la relatividad general. Esto se debe a que, en la relatividad general, el hamiltoniano es una restricción que debe anularse. Sin embargo, en cualquier teoría canónica, el hamiltoniano genera traslaciones temporales. Por lo tanto, llegamos a la conclusión de que "nada se mueve" ("no hay tiempo") en la relatividad general. Dado que "no hay tiempo", la interpretación habitual de las mediciones de la mecánica cuántica en momentos específicos deja de ser válida. Este problema del tiempo es el estandarte de todos los problemas interpretativos del formalismo.

Charles Wang desarrolló un formalismo canónico de la descomposición conforme de la geometrodinámica de James York , ^{[ 2 ]} que conduce al "tiempo de York" ^{[ 3 ]} de la relatividad general . ^{[ 4 ] [ 5 ]} Posteriormente, él y sus colaboradores desarrollaron aún más este trabajo para llegar a un enfoque de identificación y cuantificación del tiempo que resulta adecuado para una amplia clase de teorías de gravedad-materia dilatón invariantes de escala . ^{[ 6 ] [ 7 ]}

El problema de la cosmología cuántica radica en que los estados físicos que resuelven las restricciones de la gravedad cuántica canónica representan estados cuánticos de todo el universo y, como tales, excluyen a un observador externo; sin embargo, un observador externo es un elemento crucial en la mayoría de las interpretaciones de la mecánica cuántica.

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