Método de elementos discretos

El método de elementos discretos ( DEM ), también llamado método de elementos distintos , es una familia de métodos numéricos para calcular el movimiento y el efecto de un gran número de partículas pequeñas. Aunque el DEM está estrechamente relacionado con la dinámica molecular , se distingue generalmente por incluir grados de libertad rotacionales , así como contacto con estado, deformación de partículas y geometrías a menudo complejas (incluidos poliedros). Gracias a los avances en la capacidad de cálculo y los algoritmos numéricos para la clasificación de vecinos más cercanos, es posible simular numéricamente millones de partículas en un solo procesador. Hoy en día, el DEM se está consolidando como un método eficaz para abordar problemas de ingeniería en materiales granulares y discontinuos, especialmente en flujos granulares, mecánica de polvos, hielo y mecánica de rocas . El DEM se ha extendido al Método de Elementos Discretos Extendido, que tiene en cuenta la transferencia de calor ^{[ 1 ]} , la reacción química ^{[ 2 ]} y el acoplamiento con CFD ^{[ 3 ]} y FEM ^{[ 4 ]} .

Los métodos de elementos discretos son relativamente intensivos en computación, lo que limita la duración de una simulación o el número de partículas. Varios códigos DEM, al igual que los códigos de dinámica molecular, aprovechan las capacidades de procesamiento paralelo ^{[ 5 ]} (sistemas compartidos o distribuidos) para aumentar el número de partículas o la duración de la simulación. Una alternativa a tratar todas las partículas por separado es promediar la física en muchas partículas y, por lo tanto, tratar el material como un continuo . En el caso de un comportamiento granular similar a un sólido , como en la mecánica de suelos , el enfoque continuo generalmente trata el material como elástico o elastoplástico y lo modela con el método de elementos finitos o un método sin malla . En el caso de un flujo granular similar a un líquido o un gas, el enfoque continuo puede tratar el material como un fluido y utilizar dinámica de fluidos computacional . Sin embargo, las desventajas de la homogeneización de la física a escala granular están bien documentadas y deben considerarse cuidadosamente antes de intentar utilizar un enfoque continuo.

Las distintas ramas de la familia DEM son el método de elementos discretos propuesto por Peter A. Cundall y Otto DL Strack en 1979, ^{[ 6 ]} el método de elementos discretos generalizado , ^{[ 7 ]} el análisis de deformación discontinua (DDA) ( Shi 1992 ) y el método de elementos finitos-discretos desarrollado simultáneamente por varios grupos (por ejemplo, Munjiza y Owen ). El método general fue desarrollado originalmente por Cundall en 1971 para problemas en mecánica de rocas. Williams ^{[ 7 ]} demostró que DEM podía considerarse un método de elementos finitos generalizado, que permite la deformación y fractura de partículas. Su aplicación a problemas de geomecánica se describe en el libro Métodos numéricos en mecánica de rocas . ^{[ 8 ]} La 1.ª, 2.ª y 3.ª Conferencias Internacionales sobre Métodos de Elementos Discretos han sido un punto de encuentro común para que los investigadores publiquen avances en el método y sus aplicaciones. Williams y O'Connor, ^{[ 9 ]} Bicanic , Bobet et al. (véase más abajo) y Vetter ^{[ 5 ]} han publicado artículos en revistas que revisan el estado del arte. Un tratamiento exhaustivo del método combinado de elementos finitos y elementos discretos se encuentra en el libro The Combined Finite-Discrete Element Method . ^{[ 10 ]}

La premisa fundamental del método es que el material está compuesto por partículas separadas y discretas. Estas partículas pueden tener diferentes formas y propiedades que influyen en el contacto entre ellas. Algunos ejemplos son:

• líquidos y soluciones, por ejemplo de azúcar o proteínas;
• materiales a granel en silos de almacenamiento, como cereales;
• materia granular, como la arena;
• polvos, como el tónico.
• Macizos rocosos en bloques o fracturados

Las industrias típicas que utilizan DEM son:

• Agricultura y manipulación de alimentos
• Químico
• Detergentes ^{[ 11 ]}
• Petróleo y gas
• Minería
• Procesamiento de minerales
• Industria farmacéutica ^{[ 12 ]}
• metalurgia de polvos

Una simulación DEM se inicia generando un modelo, lo que resulta en la orientación espacial de todas las partículas y la asignación de una velocidad inicial . Las fuerzas que actúan sobre cada partícula se calculan a partir de los datos iniciales y las leyes físicas y modelos de contacto pertinentes. Generalmente, una simulación consta de tres partes: la inicialización, la discretización temporal explícita y el posprocesamiento. La discretización temporal suele requerir un paso de ordenación por vecinos más cercanos para reducir el número de pares de contacto posibles y disminuir los requisitos computacionales; esto a menudo se realiza solo periódicamente.

En las simulaciones macroscópicas puede ser necesario considerar las siguientes fuerzas:

• fricción , cuando dos partículas se tocan entre sí;
• plasticidad de contacto , o retroceso, que se produce cuando dos partículas chocan;
• La gravedad , la fuerza de atracción entre partículas debido a su masa, que solo es relevante en simulaciones astronómicas.
• Potenciales atractivos, como la cohesión , la adhesión , la formación de puentes líquidos y la atracción electrostática . Cabe señalar que, debido a la complejidad computacional que implica determinar los pares de vecinos más cercanos, la resolución exacta de las fuerzas de largo alcance, en comparación con el tamaño de las partículas, puede aumentar el costo computacional o requerir algoritmos especializados para resolver estas interacciones.

A nivel molecular, podemos considerar lo siguiente:

• la fuerza de Coulomb , la atracción o repulsión electrostática de partículas que transportan carga eléctrica ;
• Repulsión de Pauli , cuando dos átomos se aproximan mucho entre sí;
• Fuerza de van der Waals .

Todas estas fuerzas se suman para obtener la fuerza total que actúa sobre cada partícula. Se emplea un método de integración para calcular el cambio en la posición y la velocidad de cada partícula durante un intervalo de tiempo determinado, según las leyes del movimiento de Newton . A continuación, las nuevas posiciones se utilizan para calcular las fuerzas durante el siguiente paso, y este proceso se repite hasta que finaliza la simulación.

Los métodos de integración típicos utilizados en un método de elementos discretos son:

• el algoritmo de Verlet ,
• velocidad Verlet ,
• integradores simplécticos ,
• el método del salto de rana .

El método de elementos discretos (DEM) se aplica ampliamente para considerar las interacciones mecánicas en problemas de muchos cuerpos, particularmente en materiales granulares. Entre las diversas extensiones del DEM, la consideración del flujo de calor es especialmente útil. En general, en los métodos DEM térmicos, se considera el acoplamiento termomecánico, donde se consideran las propiedades térmicas de un elemento individual para modelar el flujo de calor a través de un medio macroscópico granular o multielemento sometido a una carga mecánica. ^{[ 13 ]} Las fuerzas entre partículas, calculadas como parte del DEM clásico, se utilizan para determinar las áreas de contacto real entre partículas y, por lo tanto, modelar la transferencia conductiva de calor de un elemento sólido a otro. Otro aspecto que se considera en el DEM es la conducción, radiación y convección de calor en fase gaseosa en los espacios entre partículas. Para facilitar esto, es necesario considerar las propiedades de la fase gaseosa entre elementos en términos de presión, conductividad del gas y el camino libre medio de las moléculas de gas. ^{[ 14 ]}

Cuando se consideran fuerzas de largo alcance (típicamente la gravedad o la fuerza de Coulomb), es necesario calcular la interacción entre cada par de partículas. Tanto el número de interacciones como el coste computacional aumentan cuadráticamente con el número de partículas. Esto resulta inaceptable para simulaciones con un gran número de partículas. Una posible solución es combinar algunas partículas, alejadas de la partícula en estudio, en una pseudopartícula. Consideremos, por ejemplo, la interacción entre una estrella y una galaxia distante : el error derivado de combinar todas las estrellas de la galaxia distante en una masa puntual es insignificante. Los algoritmos de árbol se utilizan para determinar qué partículas pueden combinarse en una pseudopartícula . Estos algoritmos organizan todas las partículas en un árbol: un quadtree en el caso bidimensional y un octree en el caso tridimensional .

Sin embargo, en las simulaciones de dinámica molecular, el espacio donde se desarrolla la simulación se divide en celdas. Las partículas que salen de una celda se insertan simplemente en la otra ( condiciones de contorno periódicas ); lo mismo ocurre con las fuerzas. La fuerza deja de tenerse en cuenta tras la denominada distancia de corte (normalmente la mitad de la longitud de la celda), de modo que una partícula no se ve afectada por la imagen especular de la misma partícula en el otro lado de la celda. Ahora se puede aumentar el número de partículas simplemente copiando las celdas.

Los algoritmos para hacer frente a fuerzas de largo alcance incluyen:

• Simulación de Barnes-Hut ,
• el método multipolar rápido .

Tras el trabajo de Munjiza y Owen, el método combinado de elementos finitos y discretos se ha desarrollado aún más para diversas partículas irregulares y deformables en muchas aplicaciones, incluyendo la compresión de comprimidos farmacéuticos, ^{[ 15 ]} simulaciones de envasado y flujo, ^{[ 16 ]} y análisis de impacto. ^{[ 17 ]}

Ventajas

• El método de elementos discretos (DEM) puede utilizarse para simular una amplia variedad de situaciones de flujo granular y mecánica de rocas. Diversos grupos de investigación han desarrollado de forma independiente software de simulación que concuerda satisfactoriamente con los resultados experimentales en una amplia gama de aplicaciones de ingeniería, incluyendo polvos adhesivos, flujo granular y macizos rocosos fracturados.
• La técnica DEM permite un estudio más detallado de la microdinámica de los flujos de polvo que el que suele ser posible mediante experimentos físicos. Por ejemplo, las redes de fuerzas que se forman en un medio granular pueden visualizarse con DEM. Este tipo de mediciones son prácticamente imposibles en experimentos con partículas pequeñas y numerosas.
• Las características generales de los contactos transmisores de fuerza en ensamblajes granulares bajo entornos de carga externa coinciden con los estudios experimentales que utilizan análisis de fotoesfuerzo (PSA). ^{[ 18 ] [ 19 ]}

Desventajas

• El número máximo de partículas y la duración de una simulación virtual están limitados por la capacidad de cálculo. Los flujos típicos contienen miles de millones de partículas, pero las simulaciones DEM contemporáneas en grandes clústeres de computación solo recientemente han podido alcanzar esta escala durante un tiempo suficientemente prolongado (tiempo simulado, no tiempo real de ejecución del programa).
• El método DEM es computacionalmente exigente, razón por la cual no se ha adoptado con tanta facilidad ni amplitud como los enfoques de continuo en las ciencias de la ingeniería computacional y la industria. Sin embargo, los tiempos de ejecución del programa pueden reducirse significativamente al utilizar unidades de procesamiento gráfico (GPU) para realizar simulaciones DEM, debido a la gran cantidad de núcleos de procesamiento que suelen tener las GPU. Además, las GPU tienden a ser mucho más eficientes energéticamente que los clústeres de computación convencionales al realizar simulaciones DEM; es decir, una simulación DEM resuelta en GPU requiere menos energía que una resuelta en un clúster de computación convencional. ^{[ 20 ]}

• Simulación de compactación
• Autómatas celulares móviles

Libro

• Bicanic, Ninad (2004). "Métodos de elementos discretos". En Stein, Erwin; De Borst; Hughes, Thomas JR (eds.). Enciclopedia de Mecánica Computacional . vol.  1. Wiley. ISBN 978-0-470-84699-5.
• Griebel, Michael; et  al. (2003). Simulación numérica en el Moleküldynamik . Berlín: Springer. ISBN 978-3-540-41856-6.
• Williams, JR; Hocking, G.; Mustoe, GGW (enero de 1985). "Fundamentos teóricos del método de elementos discretos". NUMETA 1985, Métodos numéricos de ingeniería, teoría y aplicaciones . Rotterdam: AA Balkema.
• Williams, JR; Pande, G.; Beer, JR (1990). Métodos numéricos en mecánica de rocas . Chichester: Wiley. ISBN 978-0-471-92021-2.
• Radjai, Farang; Dubois, Frédéric, eds. (2011). Modelado de elementos discretos de materiales granulares . Londres: Wiley-ISTE. ISBN 978-1-84821-260-2.
• Pöschel, Thorsten; Schwager, Thoms (2005). Dinámica granular computacional: modelos y algoritmos . Berlín: Springer. ISBN 978-3-540-21485-4.

Periódico

• Bobet, A.; Fakhimi, A.; Johnson, S.; Morris, J.; Tonon, F.; Yeung, M. Ronald (noviembre de 2009). "Modelos numéricos en medios discontinuos: revisión de los avances para aplicaciones de mecánica de rocas". Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering . 135 (11): 1547– 1561. doi : 10.1061/(ASCE)GT.1943-5606.0000133 .
• Cundall, PA; Strack, ODL (marzo de 1979). "Un modelo numérico discreto para conjuntos granulares". Géotechnique . 29 (1): 47– 65. doi : 10.1680/geot.1979.29.1.47 .
• Kafashan, J.; Wiącek, J.; Abd Rahman, N.; Gan, J. (2019). "Modelado de formas de partículas bidimensionales para simulaciones DEM en ingeniería: una revisión". Granular Matter . 21 (3): 80. doi : 10.1007/s10035-019-0935-1 . S2CID 199383188 . 
• Kawaguchi, T.; Tanaka, T.; Tsuji, Y. (mayo de 1998). "Simulación numérica de lechos fluidizados bidimensionales mediante el método de elementos discretos (comparación entre los modelos bidimensionales y tridimensionales)" . Powder Technology . 96 (2): 129–138 . doi : 10.1016/S0032-5910(97)03366-4 . Archivado del original el 30 de septiembre de 2007. Consultado el 23 de agosto de 2005 .
• Williams, JR; O'Connor, R. (diciembre de 1999). "Simulación de elementos discretos y el problema de contacto". Archives of Computational Methods in Engineering . 6 (4): 279– 304. CiteSeerX 10.1.1.49.9391 . doi : 10.1007/BF02818917 . S2CID 16642399 .  
• Zhu, HP; Zhou, ZY; Yang, RY; Yu, AB (julio de 2007). "Simulación de partículas discretas de sistemas particulados: desarrollos teóricos". Chemical Engineering Science . 62 (13): 3378– 3396. Bibcode : 2007ChEnS..62.3378Z . doi : 10.1016/j.ces.2006.12.089 .
• Zhu, HP; Zhou, ZY; Yang, RY; Yu, AB (2008). "Simulación de partículas discretas de sistemas particulados: una revisión de las principales aplicaciones y hallazgos" . Chemical Engineering Science . 63 (23): 5728– 5770. Bibcode : 2008ChEnS..63.5728Z . doi : 10.1016/j.ces.2008.08.006 .

Actas

• Shi, Gen-Hua (febrero de 1992). "Análisis de deformación discontinua: un nuevo modelo numérico para la estática y la dinámica de estructuras de bloques deformables". Engineering Computations . 9 (2): 157– 168. doi : 10.1108/eb023855 .
• Williams, John R.; Pentland, Alex P. (febrero de 1992). "Supercuádricas y dinámica modal para elementos discretos en diseño interactivo". Engineering Computations . 9 (2): 115– 127. doi : 10.1108/eb023852 .
• Williams, John R.; Mustoe, Graham GW, eds. (1993). Actas de la 2.ª Conferencia Internacional sobre Métodos de Elementos Discretos (DEM) (2.ª  ed.). Cambridge, MA: IESL Publications. ISBN 978-0-918062-88-8.