Planímetro

Un planímetro , también conocido como platómetro , es un instrumento de medición utilizado para determinar el área de una forma bidimensional arbitraria.

Existen varios tipos de planímetros, pero todos funcionan de manera similar. La forma precisa en que se construyen varía, siendo los principales tipos de planímetros mecánicos los polares, lineales y de Prytz o "hacha". El matemático suizo Jakob Amsler-Laffon construyó el primer planímetro moderno en 1854, concepto que fue desarrollado por Johann Martin Hermann en 1818. ^[1] Muchos desarrollos siguieron al famoso planímetro de Amsler, incluidas versiones electrónicas.

El tipo Amsler (polar) consta de un mecanismo articulado de dos barras. En el extremo de un mecanismo hay un puntero, que se utiliza para trazar el contorno de la forma que se va a medir. El otro extremo del mecanismo pivota libremente sobre un peso que evita que se mueva. Cerca de la unión de los dos mecanismos hay una rueda de medición de diámetro calibrado, con una escala para mostrar la rotación fina y un engranaje helicoidal para una escala auxiliar de contador de vueltas. A medida que se traza el contorno del área, esta rueda rueda sobre la superficie del dibujo. El operador ajusta la rueda, gira el contador a cero y luego traza el puntero alrededor del perímetro de la forma. Cuando se completa el trazado, las escalas de la rueda de medición muestran el área de la forma.

Cuando la rueda de medición del planímetro se mueve perpendicularmente a su eje, gira y este movimiento se registra. Cuando la rueda de medición se mueve paralelamente a su eje, la rueda patina sin girar, por lo que este movimiento se ignora. Esto significa que el planímetro mide la distancia que recorre su rueda de medición, proyectada perpendicularmente al eje de rotación de la rueda de medición. El área de la forma es proporcional al número de vueltas que da la rueda de medición.

El planímetro polar está diseñado para medir áreas dentro de límites determinados por su tamaño y geometría. Sin embargo, el tipo lineal no tiene restricción en una dimensión, porque puede rodar. Sus ruedas no deben resbalar, porque el movimiento debe limitarse a una línea recta.

Los desarrollos del planímetro pueden establecer la posición del primer momento de área ( centro de masas ), e incluso el segundo momento de área .

Las imágenes muestran los principios de un planímetro lineal y uno polar. El puntero M en un extremo del planímetro sigue el contorno C de la superficie S que se va a medir. En el planímetro lineal, el movimiento del "codo" E está restringido al eje y . En el planímetro polar, el "codo" está conectado a un brazo con su otro extremo O en una posición fija. Conectada al brazo ME está la rueda de medición con su eje de rotación paralelo a ME. Un movimiento del brazo ME se puede descomponer en un movimiento perpendicular a ME, que hace que la rueda gire, y un movimiento paralelo a ME, que hace que la rueda patine, sin ninguna contribución a su lectura.

El funcionamiento del planímetro lineal se puede explicar midiendo el área de un rectángulo ABCD (ver imagen). Moviéndose con el puntero de A a B, el brazo EM se mueve a través del paralelogramo amarillo, con área igual a PQ×EM. Esta área también es igual al área del paralelogramo A"ABB". La rueda de medición mide la distancia PQ (perpendicular a EM). Moviéndose de C a D, el brazo EM se mueve a través del paralelogramo verde, con área igual al área del rectángulo D"DCC". La rueda de medición se mueve ahora en la dirección opuesta, restando esta lectura de la anterior. Los movimientos a lo largo de BC y DA son los mismos pero opuestos, por lo que se cancelan entre sí sin efecto neto en la lectura de la rueda. El resultado neto es la medición de la diferencia de las áreas amarilla y verde, que es el área de ABCD.

El funcionamiento de un planímetro lineal se puede justificar aplicando el teorema de Green a los componentes del campo vectorial N, dado por:

${\displaystyle \!\,N(x,y)=(by,x),}$

donde b es la coordenada y del codo E.

Este campo vectorial es perpendicular al brazo de medición EM:

${\displaystyle {\overrightarrow {EM}}\cdot N=xN_{x}+(yb)N_{y}=0}$

y tiene un tamaño constante, igual a la longitud m del brazo de medición:

${\displaystyle \!\,\|N\|={\sqrt {(por)^{2}+x^{2}}}=m}$

Entonces:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\oint _{C}(N_{x}\,dx+N_{y}\,dy)=\iint _{S}\left({\frac {\partial N_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial N_{x}}{\partial y}}\right)\,dx\,dy\\[8pt]={}&\iint _{S}\left({\frac {\partial x}{\partial x}}-{\frac {\partial (por)}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\iint _{S}\,dx\,dy=A,\end{aligned}}}$

porque:

${\displaystyle {\frac {\parcial }{\parcial y}}(yb)={\frac {\parcial }{\parcial y}}{\sqrt {m^{2}-x^{2}}}=0,}$

El lado izquierdo de la ecuación anterior, que es igual al área A encerrada por el contorno, es proporcional a la distancia medida por la rueda de medición, con factor de proporcionalidad m , la longitud del brazo de medición.

La justificación de la derivación anterior radica en observar que el planímetro lineal solo registra el movimiento perpendicular a su brazo de medición, o cuando

${\displaystyle N\cdot(dx,dy)=N_{x}dx+N_{y}dy}$no es cero. Cuando esta cantidad se integra sobre la curva cerrada C, se obtiene el teorema de Green y el área.

La conexión con el teorema de Green se puede entender en términos de integración en coordenadas polares : en coordenadas polares, el área se calcula mediante la integral donde la forma que se integra es cuadrática en r, lo que significa que la tasa a la que el área cambia con respecto al cambio en el ángulo varía cuadráticamente con el radio. ${\textstyle \int _{\theta }{\tfrac {1}{2}}(r(\theta ))^{2}\,d\theta ,}$

Para una ecuación paramétrica en coordenadas polares, donde tanto r como θ varían en función del tiempo, esto se convierte en $${\displaystyle \int _{t}{\tfrac {1}{2}}(r(t))^{2}\,d(\theta (t))=\int _{t}{\tfrac {1}{2}}(r(t))^{2}\,{\dot {\theta }}(t)\,dt.}$$

Para un planímetro polar, la rotación total de la rueda es proporcional a, como la rotación es proporcional a la distancia recorrida, que en cualquier punto del tiempo es proporcional al radio y al cambio de ángulo, como en la circunferencia de un círculo ( ). ${\textstyle \int _{t}r(t)\,{\dot {\theta }}(t)\,dt,}$${\textstyle \int r\,d\theta =2\pi r}$

Este último integrando puede reconocerse como la derivada del integrando anterior (con respecto a r ), y muestra que un planímetro polar calcula la integral del área en términos de la derivada , lo que se refleja en el teorema de Green, que iguala una integral de línea de una función en un contorno (unidimensional) a la integral (bidimensional) de la derivada. ${\textstyle r(t)\,{\dot {\theta }}(t)}$${\textstyle {\tfrac {1}{2}}(r(t))^{2}{\dot {\theta }}(t)}$

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• O. Knill y D. Winter: El teorema de Green y el planímetro