Planímetro de puntos

Un planímetro de puntos es un dispositivo utilizado en planimetría para estimar el área de una figura . Consiste en una lámina transparente con una cuadrícula cuadrada de puntos. Para estimar el área de una figura, se coloca la lámina sobre ella y se cuentan los puntos que contiene.

La estimación del área mediante una cuadrícula de puntos también se ha denominado método de cuadrícula de puntos o (especialmente cuando la alineación de la cuadrícula con la forma es aleatoria) muestreo sistemático . ^{[ 1 ]} Quizás debido a su simplicidad, se ha reinventado repetidamente. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

Para estimar el área de una figura mediante un planímetro de puntos, este se superpone a la figura y se cuentan los puntos dentro de ella. El área estimada se obtiene multiplicando el número de puntos por el área de un cuadrado de la cuadrícula. Los puntos también pueden agruparse en grupos cuadrados más grandes mediante líneas dibujadas en la transparencia. Estas líneas permiten sumar al conteo los grupos que se encuentran completamente dentro de la figura como una unidad, en lugar de tener que contar sus puntos uno por uno. ^{[ 5 ]} En algunas variantes de este método, los puntos que caen sobre o cerca del borde de la figura se cuentan como la mitad de una unidad. ^{[ 5 ]} Sin embargo, el uso de un planímetro de puntos debe distinguirse del «método de los cuadrados», un método de estimación de área más sofisticado que superpone una cuadrícula de cuadrados sobre la figura, estima el área cubierta dentro de cada cuadrado y suma estas estimaciones. ^{[ 6 ]}

En silvicultura , cartografía y geografía , el planímetro de puntos se ha aplicado a mapas para estimar el área de parcelas de tierra. ^{[ 5 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 6 ]} En botánica y horticultura , se ha aplicado directamente a hojas muestreadas para estimar el área foliar promedio. ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]} En neurociencia , y especialmente en experimentos sobre el comportamiento de animales con lesiones cerebrales , se ha aplicado a diagramas de Lashley como una estimación del tamaño de las lesiones. ^{[ 10 ]}

En mineralogía , se aplica una técnica similar de conteo de puntos en una cuadrícula a secciones transversales de muestras de roca con un propósito diferente: estimar las proporciones relativas de los distintos minerales constituyentes. En esta aplicación, se clasifica el mineral bajo cada punto del planímetro y, a partir de la proporción de puntos asignados a cada mineral, se estima la proporción de minerales en la muestra. ^{[ 11 ]}

Cada región en el plano delimitada por una curva de Jordan y que evita todos los puntos de una red entera tiene un área como máximo proporcional a su perímetro . Más precisamente, el área es como máximo 0,582823 veces el perímetro. En términos de un planímetro de puntos, esto significa que si una forma sin agujeros interiores permite la colocación del planímetro de puntos para la cual el área estimada es cero, el error en esta subestimación puede ser como máximo proporcional al perímetro multiplicado por el espaciado de los puntos. ^{[ 12 ]} Para un conjunto convexo de perímetros${\displaystyle p}$y un planímetro de puntos de espaciado${\displaystyle s}$, el área estimada siempre está dentro${\displaystyle s(p/2+1)}$del área verdadera por la desigualdad de Nosarzewska . ^{[ 13 ]}

Si la posición de desplazamiento de un planímetro de puntos se elige aleatoriamente, en relación con la forma a medir, el área estimada es un estimador insesgado del área correcta: su valor esperado es igual al área correcta. Su error estándar será como máximo proporcional a la raíz cuadrada del número de cuadrados de la cuadrícula intersectados por el contorno de la forma. ^{[ 6 ]} Sin embargo, debido a que las posiciones de los puntos en el planímetro no son aleatorias en sí mismas, el error de estimación no obedece al teorema del límite central , y el error estándar es menos informativo que lo que sería para muestras aleatorias independientes, especialmente en casos donde el área a estimar tiene alguna correlación espacial con el patrón de puntos, como en el efecto Moiré . ^{[ 14 ]} Se puede lograr una mayor precisión utilizando un planímetro de puntos con una cuadrícula de puntos más fina. ^{[ 6 ]} Alternativamente, colocar repetidamente un planímetro de puntos con diferentes desplazamientos irracionales de su colocación anterior, y promediar las mediciones resultantes, puede conducir a un conjunto de mediciones muestreadas cuyo promedio tiende hacia el área verdadera de la forma medida. ^{[ 2 ]} El método que utiliza una cuadrícula más fina tiende a tener una mayor eficiencia estadística que la medición repetida con colocaciones aleatorias. ^{[ 1 ]}

Según el teorema de Pick , publicado por Georg Alexander Pick en 1899, la versión del planímetro de puntos con puntos de contorno que cuentan como medio cuadrado (y con un cuadrado restado del total como segunda corrección) da resultados exactos para polígonos que tienen los puntos como sus vértices . ^{[ 15 ] [ 16 ]} Según el teorema de Blichfeldt , publicado por Hans Frederick Blichfeldt en 1914, siempre es posible desplazar un planímetro de puntos con respecto a una forma dada sin rotarlo de manera que el número de puntos dentro de la forma sea al menos igual a su área. ^{[ 17 ] [ 18 ]}

El problema del círculo de Gauss se refiere al error que se obtendría al usar un planímetro de puntos para estimar el área de un círculo cuyo centro se encuentra en uno de los puntos. Como su nombre lo indica, fue estudiado a principios del siglo XIX por Carl Friedrich Gauss . Se sabe que el error máximo está limitado por una potencia fraccionaria del radio del círculo, con un exponente entre 1/2 y 131/208. ^{[ 19 ]}

El planímetro de puntos se diferencia de otros tipos de planímetros , que miden el área de una forma haciendo pasar un dispositivo alrededor de su contorno. ^{[ 4 ]}

El longímetro de Steinhaus es un dispositivo similar basado en la transparencia para estimar la longitud de las curvas contando los cruces. ^{[ 20 ]}

• Conjunto Danzer , un patrón de puntos más complejo que toca cada conjunto convexo de área unitaria.

• Planímetro de puntos , Chris Staecker, Universidad de Fairfield