Mapa simplicial

Sean K y L dos complejos simpliciales abstractos (CSA). Una aplicación simplicial de K en L es una función de los vértices de K a los vértices de L,${\displaystyle f:V(K)\a V(L)}$, que asigna a cada simplex en K un simplex en L. Es decir, para cualquier${\displaystyle \sigma \in K}$,${\displaystyle f(\sigma )\in L}$. ^{[ 2 ] : 14, Def.1.5.2} Como ejemplo, sea K el ASC que contiene los conjuntos {1,2},{2,3},{3,1} y sus subconjuntos, y sea L el ASC que contiene el conjunto {4,5,6} y sus subconjuntos. Definamos una aplicación f por: f (1)= f (2)=4, f (3)=5. Entonces f es una aplicación simplicial, ya que f ({1,2})={4} que es un simplex en L, f ({2,3})=f({3,1})={4,5} que también es un simplex en L, etc.

Si${\displaystyle f}$no es biyectiva, puede mapear símplices k- dimensionales en K a símplices l- dimensionales en L, para cualquier l ≤ k . En el ejemplo anterior, f mapea el símplice unidimensional {1,2} al símplice cero-dimensional {4}.

Si${\displaystyle f}$es biyectiva, y su inversa${\displaystyle f^{-1}}$es una aplicación simplicial de L en K, entonces${\displaystyle f}$se denomina isomorfismo simplicial . Los complejos simpliciales isomorfos son esencialmente "iguales", salvo un cambio de nombre de los vértices. La existencia de un isomorfismo entre L y K se suele denotar por${\displaystyle K\cong L}$. ^{[ 2 ] : 14} La función f definida anteriormente no es un isomorfismo ya que no es biyectiva. Si modificamos la definición a f (1)=4, f (2)=5, f (3)=6, entonces f es biyectiva pero aún no es un isomorfismo, ya que${\displaystyle f^{-1}}$no es simplicial:${\displaystyle f^{-1}(\{4,5,6\})=\{1,2,3\}}$, que no es un simplex en K. Si modificamos L eliminando {4,5,6}, es decir, L es el ASC que contiene solo los conjuntos {4,5},{5,6},{6,4} y sus subconjuntos, entonces f es un isomorfismo.

Sean K y L dos complejos simpliciales geométricos (CSG). Una aplicación simplicial de K en L es una función${\displaystyle f:K\to L}$de tal manera que las imágenes de los vértices de un simplex en K generan un simplex en L. Es decir, para cualquier simplex${\displaystyle \sigma \in K}$, ${\displaystyle \operatorname {conv} (f(V(\sigma )))\in L}$. Nótese que esto implica que los vértices de K se asignan a los vértices de L. ^{[ 1 ]}

De forma equivalente, se puede definir una aplicación simplicial como una función del espacio subyacente de K (la unión de símplices en K) al espacio subyacente de L, ${\displaystyle f:|K|\to |L|}$, que mapea cada simplex en K linealmente a un simplex en L. Es decir, para cualquier simplex${\displaystyle \sigma \in K}$,${\displaystyle f(\sigma )\in L}$y además,${\displaystyle f\vert _{\sigma }}$(la restricción de${\displaystyle f}$a${\displaystyle \sigma }$) es una función lineal . ^{[ 3 ] : 16 [ 4 ] : 3} Todo mapa simplicial es continuo.

Las aplicaciones simpliciales se determinan por sus efectos en los vértices. En particular, existe un número finito de aplicaciones simpliciales entre dos complejos simpliciales finitos dados.

Un mapeo simplicial entre dos ASC induce un mapeo simplicial entre sus realizaciones geométricas (sus poliedros subyacentes) utilizando coordenadas baricéntricas . Esto se puede definir con precisión. ^{[ 2 ] : 15, Def.1.5.3} Sean K, L dos ASC, y sea${\displaystyle f:V(K)\a V(L)}$ser un mapa simplicial. La extensión afín de${\displaystyle f}$es un mapeo${\displaystyle |f|:|K|\a |L|}$definido de la siguiente manera. Para cualquier punto${\displaystyle x\in |K|}$, dejar${\displaystyle \sigma }$Sea su soporte (el único simplex que contiene a x en su interior), y denotemos los vértices de${\displaystyle \sigma }$por${\displaystyle v_{0},\ldots,v_{k}}$El punto${\displaystyle x}$tiene una representación única como una combinación convexa de los vértices,${\displaystyle x=\sum _{i=0}^{k}a_{i}v_{i}}$con${\displaystyle a_{i}\geq 0}$y${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}a_{i}=1}$(el${\displaystyle a_{i}}$son las coordenadas baricéntricas de${\displaystyle x}$). Definimos${\displaystyle |f|(x):=\sum _{i=0}^{k}a_{i}f(v_{i})}$Esta | f | es una aplicación simplicial de |K| en |L|; es una función continua . Si f es inyectiva , entonces | f | es inyectiva; si f es un isomorfismo entre K y L , entonces | f | es un homeomorfismo entre | K | y | L |. ^{[ 2 ] : 15, Prop. 1.5.4}