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Función continua

En matemáticas , una función continua es aquella en la que una pequeña variación del argumento produce una pequeña variación en su valor . Esto implica que no existen cambios ab...

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En matemáticas , una función continua es aquella en la que una pequeña variación del argumento produce una pequeña variación en su valor . Esto implica que no existen cambios abruptos en su valor, conocidos como discontinuidades . Más precisamente, una función es continua si se pueden asegurar cambios arbitrariamente pequeños en su valor restringiendo su argumento a variaciones suficientemente pequeñas. Una función discontinua es aquella que no es continua . Hasta el siglo XIX, los matemáticos se basaban principalmente en nociones intuitivas de continuidad y solo consideraban funciones continuas. La definición de límite épsilon-delta se introdujo para formalizar la definición de continuidad.

La continuidad es uno de los conceptos fundamentales del cálculo y el análisis matemático , donde los argumentos y valores de las funciones son números reales y complejos . Este concepto se ha generalizado a funciones entre espacios métricos y entre espacios topológicos . Estas últimas son las funciones continuas más generales, y su definición constituye la base de la topología .

Una forma más fuerte de continuidad es la continuidad uniforme . En la teoría del orden , especialmente en la teoría de dominios , un concepto relacionado de continuidad es la continuidad de Scott .

Como ejemplo práctico, la función H ( t ), que representa la altura de una flor en crecimiento en el instante t, se consideraría continua. En cambio, la función M ( t ), que representa la cantidad de dinero en una cuenta bancaria en el instante t, se consideraría discontinua, ya que presenta saltos en cada momento en que se deposita o retira dinero.

Historia

Una forma de la definición épsilon-delta de continuidad fue dada por primera vez por Bernard Bolzano en 1817. Augustin-Louis Cauchy definió la continuidad dey=F(incógnita){\displaystyle y=f(x)}de la siguiente manera: un incremento infinitamente pequeñoα{\displaystyle \alpha }de la variable independienteincógnita{\displaystyle x}siempre produce un cambio infinitesimalF(incógnita+α)−F(incógnita){\displaystyle f(x+\alpha )-f(x)}de la variable dependientey{\displaystyle y}(véase, por ejemplo, Cours d'Analyse , p.  34). Cauchy definió cantidades infinitesimales en términos de cantidades variables, y su definición de continuidad guarda un estrecho paralelismo con la definición infinitesimal utilizada hoy en día (véase microcontinuidad ).

Las definiciones formales y la distinción entre continuidad puntual y continuidad uniforme fueron dadas por primera vez por Bolzano en la década de 1830, pero el trabajo no se publicó hasta la década de 1930. Al igual que Bolzano, [ 1 ] Karl Weierstrass [ 2 ] consideró que una funcióny=F(incógnita){\displaystyle y=f(x)}en un puntoincógnita=do{\displaystyle x=c}, eso esF(incógnita)|incógnita=do{\displaystyle f(x){\big |}_{x=c}} , es continua si y solo si los valores deF(do){\displaystyle f(c)},F(incógnita)|incógnita→do+{\displaystyle f(x){\big |}_{x\to c^{+}}}, yF(incógnita)|incógnita→do−{\displaystyle f(x){\big |}_{x\to c^{-}}}todas están definidas y son iguales. Édouard Goursat [ 3 ] asumió continuidad siempre que la función esté definida enF(do){\displaystyle f(c)}y es igual al menos a un lado del límiteF(incógnita)|incógnita→do{\displaystyle f(x){\big |}_{x\to c}} , mientras que Camille Jordan [ 4 ] lo permitió incluso si la función se definió solo enincógnita=do{\displaystyle x=c}. Estas tres definiciones no equivalentes de continuidad puntual siguen en uso. [ 5 ] Eduard Heine proporcionó la primera definición publicada de continuidad uniforme en 1872, pero basó estas ideas en las conferencias impartidas por Peter Gustav Lejeune Dirichlet en 1854. [ 6 ]

Funciones reales

Definición

La funciónF(incógnita)=1incógnita{\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}}es continuo en su dominio (R∖{0}{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}), pero es discontinua enincógnita=0,{\displaystyle x=0,}cuando se considera como una función parcial definida en los números reales. [ 7 ]

Una función real, es decir, una función de números reales a números reales, puede representarse mediante una gráfica en el plano cartesiano ; dicha función es continua si, en términos generales, su gráfica es una única curva ininterrumpida cuyo dominio es toda la recta real. A continuación se ofrece una definición matemáticamente más rigurosa.

La continuidad de las funciones reales se define generalmente en términos de límites . Una función f con variable x es continua en el número real c , si el límite deF(incógnita),{\displaystyle f(x),}cuando x tiende a c , es igual aF(do).{\displaystyle f(c).}

Existen varias definiciones diferentes de la continuidad (global) de una función, que dependen de la naturaleza de su dominio .

Una función es continua en un intervalo abierto si el intervalo está contenido en el dominio de la función y la función es continua en cada punto del intervalo. Una función que es continua en el intervalo(−∞,+∞){\displaystyle (-\infty,+\infty)}(toda la recta real ) se suele denominar simplemente función continua; también se dice que dicha función es continua en todas partes . Por ejemplo, todas las funciones polinómicas son continuas en todas partes.

Una función es continua en un intervalo semiabierto o cerrado si el intervalo está contenido en el dominio de la función, la función es continua en cada punto interior del intervalo, y el valor de la función en cada extremo que pertenece al intervalo es el límite de los valores de la función cuando la variable tiende al extremo desde el interior del intervalo. Por ejemplo, la funciónF(incógnita)=incógnita{\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}es continua en todo su dominio, que es el intervalo semiabierto.[0,+∞).{\displaystyle [0,+\infty ).}

Muchas funciones comunes son funciones parciales cuyo dominio está formado por todos los números reales, excepto algunos puntos aislados . Ejemplos de ello son la función recíproca.incógnita↦1incógnita{\textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}y la función tangenteincógnita↦broncearse⁡incógnita.{\displaystyle x\mapsto \tan x.}Cuando son continuas en su dominio, se dice, en algunos contextos, que son continuas, aunque no lo sean en todas partes. En otros contextos, principalmente cuando interesa su comportamiento cerca de los puntos excepcionales, se dice que son discontinuas.

Una función parcial es discontinua en un punto si dicho punto pertenece al cierre topológico de su dominio, y o bien el punto no pertenece al dominio de la función, o bien la función no es continua en ese punto. Por ejemplo, las funcionesincógnita↦1incógnita{\textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}yincógnita↦pecado⁡(1incógnita){\textstyle x\mapsto \sin({\frac {1}{x}})}son discontinuas en 0 y permanecen discontinuas independientemente del valor que se elija para definirlas en 0. Un punto donde una función es discontinua se llama discontinuidad . En un punto donde una función no está definida y, por lo tanto, es discontinua, se dice que la discontinuidad es removible si se puede elegir un valor de la función en ese punto para hacer que la función sea continua. Por ejemplo, la funciónincógnita↦incógnitapecado⁡1incógnita{\displaystyle x\mapsto x\sin {\tfrac {1}{x}}}⁠ tiene una discontinuidad removible en cero, ya que ⁠límiteincógnita→0incógnitapecado⁡1incógnita=0{\displaystyle \textstyle \lim _{x\to 0}x\sin {\frac {1}{x}}=0}⁠ , y la discontinuidad en 0 de ⁠incógnita↦pecado⁡1incógnita{\displaystyle x\mapsto \sin {\tfrac {1}{x}}}No es extraíble, ya quelímiteincógnita→0pecado⁡1incógnita{\displaystyle \textstyle \lim _{x\to 0}\sin {\frac {1}{x}}}No existe.

Utilizando notación matemática, existen varias maneras de definir funciones continuas en los tres sentidos mencionados anteriormente.

DejarF:D→R{\textstyle f:D\to \mathbb {R} }sea ​​una función cuyo dominioD{\displaystyle D}está contenido enR{\displaystyle \mathbb {R} }de números reales.

Algunas (pero no todas) posibilidades paraD{\displaystyle D}son:

  • D{\displaystyle D}es toda la línea real ; es decir,D=R{\displaystyle D=\mathbb {R} }
  • D{\displaystyle D}es un intervalo cerrado de la formaD=[a,b]={incógnita∈R∣a≤incógnita≤b},{\displaystyle D=[a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\},}donde a y b son números reales
  • D{\displaystyle D}es un intervalo abierto de la formaD=(a,b)={incógnita∈R∣a<incógnita<b},{\displaystyle D=(a,b)=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\},} donde a y b son números reales

En el caso de un intervalo abierto,a{\displaystyle a}yb{\displaystyle b}no pertenecen aD{\displaystyle D}y los valoresF(a){\displaystyle f(a)}yF(b){\displaystyle f(b)}no están definidos, y si lo están, no importan para la continuidad enD{\displaystyle D}.

Definición en términos de límites de funciones

La función f es continua en algún punto c de su dominio si el límite deF(incógnita),{\displaystyle f(x),}Cuando x se aproxima a c a través del dominio de f , existe y es igual aF(do).{\displaystyle f(c).}[ 8 ] En notación matemática, esto se escribe como límiteincógnita→doF(incógnita)=F(do).{\displaystyle \lim _{x\to c}{f(x)}=f(c).} En detalle, esto significa tres condiciones: primero, f debe estar definida en c (garantizado por el requisito de que c esté en el dominio de f ). Segundo, el límite de esa ecuación debe existir. Tercero, el valor de este límite debe ser igual aF(do).{\displaystyle f(c).}

(Aquí hemos supuesto que el dominio de f no tiene puntos aislados ).

Definición en términos de barrios

Un entorno de un punto c es un conjunto que contiene, al menos, todos los puntos dentro de una distancia fija de c . Intuitivamente, una función es continua en un punto c si el rango de f sobre el entorno de c se reduce a un solo punto.F(do){\displaystyle f(c)}a medida que el ancho del vecindario alrededor de c se reduce a cero. Más precisamente, una función f es continua en un punto c de su dominio si, para cualquier vecindarionorte1(F(do)){\displaystyle N_{1}(f(c))}Hay un vecindarionorte2(do){\displaystyle N_{2}(c)}en su dominio de tal manera queF(incógnita)∈norte1(F(do)){\displaystyle f(x)\in N_{1}(f(c))}cuando seaincógnita∈norte2(do).{\displaystyle x\in N_{2}(c).}

Dado que los vecindarios se definen en cualquier espacio topológico , esta definición de función continua se aplica no solo a funciones reales, sino también cuando el dominio y el codominio son espacios topológicos, siendo así la definición más general. De ello se deduce que una función es automáticamente continua en cada punto aislado de su dominio. Por ejemplo, toda función real definida sobre los números enteros es continua.

Definición en términos de límites de sucesiones

La sucesión exp(1/ n ) converge a exp(0) = 1 .

En cambio, se puede exigir que para cualquier secuencia(incógnitanorte)norte∈norte{\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}de puntos en el dominio que converge a c , la secuencia correspondiente(F(incógnitanorte))norte∈norte{\displaystyle \left(f(x_{n})\right)_{n\in \mathbb {N} }}converge aF(do).{\displaystyle f(c).} En notación matemática,∀(incógnitanorte)norte∈norte⊂D:límitenorte→∞incógnitanorte=do⇒límitenorte→∞F(incógnitanorte)=F(do).{\displaystyle \forall (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subset D:\lim _{n\to \infty }x_{n}=c\Rightarrow \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f(c)\,.}

Definiciones (épsilon-delta) de Weierstrass y Jordan de funciones continuas

Ilustración de la definición ε - δ : en x = 2 , cualquier valor δ ≤ 0,5 satisface la condición de la definición para ε = 0,5 .

Al incluir explícitamente la definición del límite de una función, obtenemos una definición autocontenida: Dada una funciónF:D→R{\displaystyle f:D\to \mathbb {R} }como se indicó anteriormente y un elementoincógnita0{\displaystyle x_{0}}del dominioD{\displaystyle D},F{\displaystyle f}Se dice que es continuo en el puntoincógnita0{\displaystyle x_{0}}cuando se cumple lo siguiente: Para cualquier número real positivoε>0,{\displaystyle \varepsilon >0,}por pequeño que sea, existe algún número real positivoδ>0{\displaystyle \delta >0}de tal manera que para todosincógnita{\displaystyle x}en el dominio deF{\displaystyle f}conincógnita0−δ<incógnita<incógnita0+δ,{\displaystyle x_{0}-\delta <x<x_{0}+\delta ,}el valor deF(incógnita){\displaystyle f(x)}Satisface F(incógnita0)−ε<F(incógnita)<F(incógnita0)+ε.{\displaystyle f\left(x_{0}\right)-\varepsilon <f(x)<f(x_{0})+\varepsilon .}

Escrito de forma alternativa, continuidad deF:D→R{\displaystyle f:D\to \mathbb {R} }enincógnita0∈D{\displaystyle x_{0}\in D}significa que para cadaε>0,{\displaystyle \varepsilon >0,}existe unδ>0{\displaystyle \delta >0}de tal manera que para todosincógnita∈D{\displaystyle x\in D}: |incógnita−incógnita0|<δ   implica   |F(incógnita)−F(incógnita0)|<ε.{\displaystyle \left|x-x_{0}\right|<\delta ~~{\text{ implica }}~~|f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon .}

De forma más intuitiva, podemos decir que si queremos obtener todo elF(incógnita){\displaystyle f(x)}valores para quedarse en algún pequeño vecindario alrededorF(incógnita0),{\displaystyle f\left(x_{0}\right),}Necesitamos elegir un vecindario lo suficientemente pequeño para elincógnita{\displaystyle x}valores alrededorincógnita0.{\displaystyle x_{0}.}Si podemos hacer eso, no importa cuán pequeño sea elF(incógnita0){\displaystyle f(x_{0})}El vecindario es, entoncesF{\displaystyle f}es continuo enincógnita0.{\displaystyle x_{0}.}

En términos modernos, esto se generaliza mediante la definición de continuidad de una función con respecto a una base para la topología , en este caso la topología métrica .

Weierstrass había exigido que el intervaloincógnita0−δ<incógnita<incógnita0+δ{\displaystyle x_{0}-\delta <x<x_{0}+\delta }estar completamente dentro del dominioD{\displaystyle D}Pero Jordania eliminó esa restricción.

Definición en términos de control del remanente

En demostraciones y análisis numérico, a menudo necesitamos saber con qué rapidez convergen los límites, o dicho de otro modo, controlar el resto. Podemos formalizar esto mediante una definición de continuidad. Una funcióndo:[0,∞)→[0,∞]{\displaystyle C:[0,\infty )\a [0,\infty ]}se denomina función de control si

  • C es no decreciente
  • infδ>0do(δ)=0{\displaystyle \inf _{\delta >0}C(\delta )=0}

Una funciónF:D→R{\displaystyle f:D\to R}es C -continuo enincógnita0{\displaystyle x_{0}}si existe tal vecindarionorte(incógnita0){\textstyle N(x_{0})}eso |F(incógnita)−F(incógnita0)|≤do(|incógnita−incógnita0|) a pesar de incógnita∈D∩norte(incógnita0){\displaystyle |f(x)-f(x_{0})|\leq C\left(\left|x-x_{0}\right|\right){\text{ para todo }}x\in D\cap N(x_{0})}

Una función es continua enincógnita0{\displaystyle x_{0}}si es C -continua para alguna función de control C.

Este enfoque conduce naturalmente a refinar la noción de continuidad al restringir el conjunto de funciones de control admisibles. Para un conjunto dado de funciones de controldo{\displaystyle {\mathcal {C}}}una función esdo{\displaystyle {\mathcal {C}}}-continuo si lo esdo{\displaystyle C}-continuo para algunosdo∈do.{\displaystyle C\in {\mathcal {C}}.}Por ejemplo, las funciones continuas de Lipschitz y Hölder de exponente α y las funciones uniformemente continuas que se muestran a continuación están definidas por el conjunto de funciones de control. doLipagsdohitz={do:do(δ)=K|δ|, K>0}{\displaystyle {\mathcal {C}}_{\mathrm {Lipschitz} }=\{C:C(\delta )=K|\delta |,\ K>0\}}doTitular−α={do:do(δ)=K|δ|α, K>0}{\displaystyle {\mathcal {C}}_{{\text{Hölder}}-\alpha }=\{C:C(\delta )=K|\delta |^{\alpha },\ K>0\}}douniforme cont.={do:do(0)=0}{\displaystyle {\mathcal {C}}_{\text{uniform cont.}}=\{C:C(0)=0\}} respectivamente.

Definición mediante oscilación

La falta de continuidad de una función en un punto se cuantifica mediante su oscilación .

La continuidad también puede definirse en términos de oscilación : una función f es continua en un puntoincógnita0{\displaystyle x_{0}}si y solo si su oscilación en ese punto es cero; [ 9 ] en símbolos,ωF(incógnita0)=0.{\displaystyle \omega _{f}(x_{0})=0.}Una ventaja de esta definición es que cuantifica la discontinuidad: la oscilación indica hasta qué punto la función es discontinua en un punto.

Esta definición es útil en la teoría descriptiva de conjuntos para estudiar el conjunto de discontinuidades y puntos continuos; los puntos continuos son la intersección de los conjuntos donde la oscilación es menor queε{\displaystyle \varepsilon }(por lo tanto unGRAMOδ{\displaystyle G_{\delta }}conjunto ) – y proporciona una demostración rápida de una dirección de la condición de integrabilidad de Lebesgue . [ 10 ]

La oscilación es equivalente a laε−δ{\displaystyle \varepsilon -\delta }definición mediante una simple reordenación y mediante el uso de un límite ( lim sup , lim inf ) para definir la oscilación: si (en un punto dado) para un valor dadoε0{\displaystyle \varepsilon _{0}}no hayδ{\displaystyle \delta }que satisface laε−δ{\displaystyle \varepsilon -\delta }definición, entonces la oscilación es al menosε0,{\displaystyle \varepsilon _{0},}y a la inversa si para cadaε{\displaystyle \varepsilon }Hay un deseoδ,{\displaystyle \delta ,}La oscilación es 0. La definición de oscilación se puede generalizar naturalmente a aplicaciones de un espacio topológico a un espacio métrico .

Definición mediante hiperreales

Cauchy definió la continuidad de una función en los siguientes términos intuitivos: un cambio infinitesimal en la variable independiente corresponde a un cambio infinitesimal en la variable dependiente (véase Cours d'analyse , página 34). El análisis no estándar es una forma de hacer esto matemáticamente riguroso. La recta real se amplía añadiendo números infinitos e infinitesimales para formar los números hiperreales . En el análisis no estándar, la continuidad se puede definir como sigue.

Una función de valor real f es continua en x si su extensión natural a los hiperreales tiene la propiedad de que para todo dx infinitesimal ,F(incógnita+dincógnita)−F(incógnita){\displaystyle f(x+dx)-f(x)}es infinitesimal [ 11 ]

(véase microcontinuidad ). En otras palabras, un incremento infinitesimal de la variable independiente siempre produce un cambio infinitesimal de la variable dependiente, lo que da una expresión moderna a la definición de continuidad de Augustin-Louis Cauchy .

Reglas de continuidad

La gráfica de una función cúbica no tiene saltos ni discontinuidades. La función es continua.

Demostrar la continuidad de una función mediante la aplicación directa de su definición suele ser una tarea compleja. Afortunadamente, en la práctica, la mayoría de las funciones se construyen a partir de funciones más simples, y su continuidad puede deducirse inmediatamente a partir de su definición, aplicando las siguientes reglas:

  • Toda función constante es continua
  • La función identidadF(incógnita)=incógnita{\displaystyle f(x)=x}es continuo
  • Suma y multiplicación : si las funcionesF{\displaystyle f}y​​gramo{\displaystyle g}son continuas en sus respectivos dominiosDF{\displaystyle D_{f}}y​​Dgramo{\displaystyle D_{g}}⁠ , entonces su suma ⁠F+gramo{\displaystyle f+g}y su productoF⋅gramo{\displaystyle f\cdot g}son continuas en la intersecciónDF∩Dgramo{\displaystyle D_{f}\cap D_{g}}, donde​F+gramo{\displaystyle f+g}y​​F⋅gramo{\displaystyle f\cdot g}⁠ se definen por ⁠(F+gramo)(incógnita)=F(incógnita)+gramo(incógnita){\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}y​​(F⋅gramo)(incógnita)=F(incógnita)⋅gramo(incógnita){\displaystyle (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)}.​
  • Recíproco : Si la función ⁠F{\displaystyle f}es continua en el dominioDF{\displaystyle D_{f}}⁠ , entonces su recíproco ⁠1F{\displaystyle {\tfrac {1}{f}}}⁠ , definido por ⁠(1F)(incógnita)=1F(incógnita){\displaystyle ({\tfrac {1}{f}})(x)={\tfrac {1}{f(x)}}}es continua en el dominioDF∖F−1(0){\displaystyle D_{f}\setminus f^{-1}(0)}⁠ , es decir, el dominio ⁠DF{\displaystyle D_{f}}⁠ de los cuales los puntos ⁠incógnita{\displaystyle x}de tal manera queF(incógnita)=0{\displaystyle f(x)=0}Se eliminan.
  • Composición de funciones : Si las funcionesF{\displaystyle f}y​​gramo{\displaystyle g}son continuas en sus respectivos dominiosDF{\displaystyle D_{f}}y​​Dgramo{\displaystyle D_{g}}⁠ , luego la composición ⁠gramo∘F{\displaystyle g\circ f}definido por​1{\displaystyle {1}}es continuo enDF∩F−1(Dgramo){\displaystyle D_{f}\cap f^{-1}(D_{g})}⁠ , que la parte de ⁠DF{\displaystyle D_{f}}que está mapeado porF{\displaystyle f}dentro​​Dgramo{\displaystyle D_{g}}.​
  • Las funciones seno y coseno ( ⁠pecado⁡incógnita{\displaystyle \sin x}y​​porque⁡incógnita{\displaystyle \cos x}) son continuas en todas partes.
  • La función exponencialmiincógnita{\displaystyle e^{x}}es continuo en todas partes.
  • El logaritmo naturalln⁡incógnita{\displaystyle \ln x}es continua en el dominio formado por todos los números reales positivos{incógnita∣incógnita>0}{\displaystyle \{x\mid x>0\}}.​
La gráfica de una función racional continua . La función no está definida paraincógnita=−2.{\displaystyle x=-2.}Las líneas verticales y horizontales son asíntotas .

Estas reglas implican que toda función polinómica es continua en todos los puntos y que una función racional es continua en todos los puntos donde está definida, si el numerador y el denominador no tienen raíces comunes . En términos más generales, el cociente de dos funciones continuas es continuo fuera de las raíces del denominador.

Las funciones sinc y cos

Un ejemplo de una función para la cual las reglas anteriores no son suficientes es la función sinc , que se define pordesde⁡(0)=1{\displaystyle \operatorname {sinc} (0)=1}y​​desde⁡(incógnita)=pecado⁡incógnitaincógnita{\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\tfrac {\sin x}{x}}}para​​incógnita≠0{\displaystyle x\neq 0}⁠ . Las reglas anteriores muestran inmediatamente que la función es continua para ⁠incógnita≠0{\displaystyle x\neq 0}⁠ , pero, para probar la continuidad en ⁠0{\displaystyle 0}⁠ , uno tiene que demostrar límiteincógnita→0pecado⁡incógnitaincógnita=1.{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1.} Como esto es cierto, se deduce que la función sinc es una función continua en todos los números reales.

Ejemplos de funciones discontinuas

Gráfico de la función signo. Muestra quelímitenorte→∞sgn⁡(1norte)≠sgn⁡(límitenorte→∞1norte){\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {sgn} \left({\tfrac {1}{n}}\right)\neq \operatorname {sgn} \left(\lim _{n\to \infty }{\tfrac {1}{n}}\right)}. Por lo tanto, la función signo es discontinua en 0 (véase la sección 2.1.3 ).

Un ejemplo de función discontinua es la función escalón de Heaviside.H{\displaystyle H}, definido por H(incógnita)={1 si incógnita≥00 si incógnita<0{\displaystyle H(x)={\begin{cases}1&{\text{ if }}x\geq 0\\0&{\text{ if }}x<0\end{cases}}}

Por ejemplo, elijaε=1/2{\displaystyle \varepsilon =1/2}Entonces no hayδ{\displaystyle \delta }-vecindario alrededorincógnita=0{\displaystyle x=0}, es decir, sin intervalo abierto(−δ,δ){\displaystyle (-\delta ,\;\delta )}conδ>0,{\displaystyle \delta >0,}eso obligará a todos losH(incógnita){\displaystyle H(x)}valores que deben estar dentro delε{\displaystyle \varepsilon }-vecindario deH(0){\displaystyle H(0)}, es decir dentro(1/2,3/2){\displaystyle (1/2,\;3/2)}. Intuitively, we can think of this type of discontinuity as a sudden jump in function values.

Similarly, the signum or sign function sgn⁡(x)={ 1 if x>0 0 if x=0−1 if x<0{\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}\;\;\ 1&{\text{ if }}x>0\\\;\;\ 0&{\text{ if }}x=0\\-1&{\text{ if }}x<0\end{cases}}} is discontinuous at x=0{\displaystyle x=0} but continuous everywhere else. Yet another example: the function f(x)={sin⁡(x−2) if x≠00 if x=0{\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin \left(x^{-2}\right)&{\text{ if }}x\neq 0\\0&{\text{ if }}x=0\end{cases}}} is continuous everywhere apart from x=0{\displaystyle x=0}.

Point plot of Thomae's function on the interval (0,1). The topmost point in the middle shows f(1/2) = 1/2.

Besides plausible continuities and discontinuities like above, there are also functions with a behavior, often coined pathological, for example, Thomae's function, f(x)={1 if x=01q if x=pq(in lowest terms) is a rational number0 if x is irrational.{\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&{\text{ if }}x=0\\{\frac {1}{q}}&{\text{ if }}x={\frac {p}{q}}{\text{(in lowest terms) is a rational number}}\\0&{\text{ if }}x{\text{ is irrational}}.\end{cases}}} is continuous at all irrational numbers and discontinuous at all rational numbers. In a similar vein, Dirichlet's function, the indicator function for the set of rational numbers, D(x)={0 if x is irrational (∈R∖Q)1 if x is rational (∈Q){\displaystyle D(x)={\begin{cases}0&{\text{ if }}x{\text{ is irrational }}(\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )\\1&{\text{ if }}x{\text{ is rational }}(\in \mathbb {Q} )\end{cases}}} is nowhere continuous.

Properties

A useful lemma

Let f(x){\displaystyle f(x)} be a function that is continuous at a point x0,{\displaystyle x_{0},} and y0{\displaystyle y_{0}} be a value such f(x0)≠y0.{\displaystyle f\left(x_{0}\right)\neq y_{0}.} Then f(x)≠y0{\displaystyle f(x)\neq y_{0}} throughout some neighbourhood of x0.{\displaystyle x_{0}.}[12]

Proof: By the definition of continuity, take ε=|y0−f(x0)|2>0{\displaystyle \varepsilon ={\frac {|y_{0}-f(x_{0})|}{2}}>0} , then there exists δ>0{\displaystyle \delta >0} such that |f(x)−f(x0)|<|y0−f(x0)|2 whenever |x−x0|<δ{\displaystyle \left|f(x)-f(x_{0})\right|<{\frac {\left|y_{0}-f(x_{0})\right|}{2}}\quad {\text{ whenever }}\quad |x-x_{0}|<\delta } Suppose there is a point in the neighbourhood |x−x0|<δ{\displaystyle |x-x_{0}|<\delta } for which f(x)=y0;{\displaystyle f(x)=y_{0};} then we have the contradiction |f(x0)−y0|<|f(x0)−y0|2.{\displaystyle \left|f(x_{0})-y_{0}\right|<{\frac {\left|f(x_{0})-y_{0}\right|}{2}}.}

Intermediate value theorem

The intermediate value theorem is an existence theorem, based on the real number property of completeness, and states:

If the real-valued function f is continuous on the closed interval[a,b],{\displaystyle [a,b],} and k is some number between f(a){\displaystyle f(a)} and f(b),{\displaystyle f(b),} then there is some number c∈[a,b],{\displaystyle c\in [a,b],} such that f(c)=k.{\displaystyle f(c)=k.}

For example, if a child grows from 1 m to 1.5 m between the ages of two and six years, then, at some time between two and six years of age, the child's height must have been 1.25 m.

As a consequence, if f is continuous on [a,b]{\displaystyle [a,b]} and f(a){\displaystyle f(a)} and f(b){\displaystyle f(b)} differ in sign, then, at some point c∈[a,b],{\displaystyle c\in [a,b],}f(c){\displaystyle f(c)} must equal zero.

Extreme value theorem

The extreme value theorem states that if a function f is defined on a closed interval [a,b]{\displaystyle [a,b]} (or any closed and bounded set) and is continuous there, then the function attains its maximum, i.e. there exists c∈[a,b]{\displaystyle c\in [a,b]} with f(c)≥f(x){\displaystyle f(c)\geq f(x)} for all x∈[a,b].{\displaystyle x\in [a,b].} The same is true of the minimum of f. These statements are not, in general, true if the function is defined on an open interval (a,b){\displaystyle (a,b)} (or any set that is not both closed and bounded), as, for example, the continuous function f(x)=1x,{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}},} defined on the open interval (0,1), does not attain a maximum, being unbounded above.

Relation to differentiability and integrability

Cada función diferenciableF:(a,b)→R{\displaystyle f:(a,b)\to \mathbb {R} } es continua, como se puede demostrar. Lo contrario no se cumple: por ejemplo, la función de valor absoluto

F(incógnita)=|incógnita|={ incógnita si incógnita≥0−incógnita si incógnita<0{\displaystyle f(x)=|x|={\begin{cases}\;\;\ x&{\text{ if }}x\geq 0\\-x&{\text{ if }}x<0\end{cases}}}

es continuo en todas partes. Sin embargo, no es diferenciable enincógnita=0{\displaystyle x=0}(pero lo es en todas partes). La función de Weierstrass también es continua en todas partes, pero no diferenciable en ninguna.

La derivada f′ ( x ) de una función diferenciable f ( x ) no tiene por qué ser continua. Si f′ ( x ) es continua, se dice que f ( x ) es continuamente diferenciable . El conjunto de tales funciones se denotado1((a,b)).{\displaystyle C^{1}((a,b)).}De forma más general, el conjunto de funciones F:Ω→R{\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} } (de un intervalo abierto (o subconjunto abierto deR{\displaystyle \mathbb {R} })Ω{\displaystyle \Omega }a los reales) tal que f esnorte{\displaystyle n}tiempos diferenciables y tales que elnorte{\displaystyle n}La -ésima derivada de f es continua y se denotadonorte(Ω).{\displaystyle C^{n}(\Omega ).}Ver clase de diferenciabilidad . En el campo de los gráficos por computadora, propiedades relacionadas (pero no idénticas) ado0,do1,do2{\displaystyle C^{0},C^{1},C^{2}}a veces se les llamaGRAMO0{\displaystyle G^{0}}(continuidad de posición),GRAMO1{\displaystyle G^{1}}(continuidad de tangencia) yGRAMO2{\displaystyle G^{2}}(continuidad de la curvatura); véase Suavidad de curvas y superficies .

Cada función continua F:[a,b]→R{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} } es integrable (por ejemplo, en el sentido de la integral de Riemann ). Lo contrario no se cumple, como lo demuestra la función signo (integrable pero discontinua) .

Límites puntuales y uniformes

Una secuencia de funciones continuasFnorte(incógnita){\displaystyle f_{n}(x)}cuya función límite (puntual)F(incógnita){\displaystyle f(x)}es discontinua. La convergencia no es uniforme.

Dada una secuenciaF1,F2,…:I→R{\displaystyle f_{1},f_{2},\dotsc :I\to \mathbb {R} } de funciones tales que el límite F(incógnita):=límitenorte→∞Fnorte(incógnita){\displaystyle f(x):=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)} existe para todosincógnita∈D,{\displaystyle x\in D,}, la función resultanteF(incógnita){\displaystyle f(x)}se denomina límite puntual de la secuencia de funciones (Fnorte)norte∈norte.{\displaystyle \left(f_{n}\right)_{n\in N}.}La función límite puntual no tiene por qué ser continua, incluso si todas las funcionesFnorte{\displaystyle f_{n}}son continuas, como muestra la animación de la derecha. Sin embargo, f es continua si todas las funcionesFnorte{\displaystyle f_{n}}son continuas y la sucesión converge uniformemente , según el teorema de convergencia uniforme . Este teorema se puede utilizar para demostrar que las funciones exponenciales , los logaritmos , la raíz cuadrada y las funciones trigonométricas son continuas.

Continuidad direccional

Las funciones discontinuas pueden ser discontinuas de forma restringida, dando lugar al concepto de continuidad direccional (o funciones continuas por la derecha y por la izquierda) y semicontinuidad . En términos generales, una función es continua por la derecha si no se produce ningún salto cuando se aproxima al punto límite desde la derecha. Formalmente, se dice que f es continua por la derecha en el punto c si se cumple lo siguiente: Para cualquier númeroε>0{\displaystyle \varepsilon >0}por pequeño que sea, existe algún númeroδ>0{\displaystyle \delta >0}de tal manera que para todo x en el dominio condo<incógnita<do+δ,{\displaystyle c<x<c+\delta ,}el valor deF(incógnita){\displaystyle f(x)}Satisface |F(incógnita)−F(do)|<ε{\displaystyle |f(x)-f(c)|<\varepsilon }

Esta es la misma condición que para las funciones continuas, excepto que se requiere que se cumpla solo para x estrictamente mayor que c . Requeriendo|F(incógnita)−F(do)|<ε{\displaystyle |f(x)-f(c)|<\varepsilon }en su lugar, sostener para todos los x condo−δ<incógnita<do{\displaystyle c-\delta <x<c}Esto da lugar a la noción de funciones continuas por la izquierda . Una función es continua si y solo si es continua por la derecha y continua por la izquierda.

Semicontinuidad

Una función f es semicontinua inferiormente en el punto c si, aproximadamente, cualquier salto que pueda ocurrir solo va hacia abajo, pero no hacia arriba. Es decir, para cualquierε>0,{\displaystyle \varepsilon >0,}existe algún númeroδ>0{\displaystyle \delta >0}de tal manera que para todo x en el dominio con|incógnita−do|<δ,{\displaystyle |x-c|<\delta ,}el valor deF(incógnita){\displaystyle f(x)}Satisface F(incógnita)≥F(do)−ε.{\displaystyle f(x)\geq f(c)-\varepsilon .} La condición inversa es la semicontinuidad superior .

Funciones continuas entre espacios métricos

El concepto de funciones continuas de valor real puede generalizarse a funciones entre espacios métricos . Un espacio métrico es un conjuntoincógnita{\displaystyle X}equipado con una función (llamada métrica )dincógnita,{\displaystyle d_{X},}que puede considerarse como una medida de la distancia entre dos elementos cualesquiera en X. Formalmente, la métrica es una función dincógnita:incógnita×incógnita→R{\displaystyle d_{X}:X\times X\to \mathbb {R} } que satisface una serie de requisitos, en particular la desigualdad triangular . Dados dos espacios métricos(incógnita,dincógnita){\displaystyle \left(X,d_{X}\right)}y(Y,dY){\displaystyle \left(Y,d_{Y}\right)}y una función F:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y} entoncesF{\displaystyle f}es continuo en el puntodo∈incógnita{\displaystyle c\in X}(con respecto a las métricas dadas) si para cualquier número real positivoε>0,{\displaystyle \varepsilon >0,}existe un número real positivoδ>0{\displaystyle \delta >0}de tal manera que todosincógnita∈incógnita{\displaystyle x\in X}satisfactoriodincógnita(incógnita,do)<δ{\displaystyle d_{X}(x,c)<\delta }también satisfarádY(F(incógnita),F(do))<ε.{\displaystyle d_{Y}(f(x),f(c))<\varepsilon .}Como en el caso de las funciones reales anteriores, esto es equivalente a la condición de que para cada secuencia(incógnitanorte){\displaystyle \left(x_{n}\right)}enincógnita{\displaystyle X}con límitelímiteincógnitanorte=do,{\displaystyle \lim x_{n}=c,}tenemoslímiteF(incógnitanorte)=F(do).{\displaystyle \lim f\left(x_{n}\right)=f(c).}Esta última condición puede atenuarse de la siguiente manera:F{\displaystyle f}es continuo en el puntodo{\displaystyle c}si y solo si para cada secuencia convergente(incógnitanorte){\displaystyle \left(x_{n}\right)}enincógnita{\displaystyle X}con límitedo{\displaystyle c}, la secuencia(F(incógnitanorte)){\displaystyle \left(f\left(x_{n}\right)\right)}es una secuencia de Cauchy ydo{\displaystyle c}está en el dominio deF{\displaystyle f}.

El conjunto de puntos en los que una función entre espacios métricos es continua es unGRAMOδ{\displaystyle G_{\delta }}conjunto  – esto se deduce delε−δ{\displaystyle \varepsilon -\delta }definición de continuidad.

Esta noción de continuidad se aplica, por ejemplo, en el análisis funcional . Una afirmación clave en este ámbito dice que un operador linealT:V→W{\displaystyle T:V\to W} entre espacios vectoriales normalizadosV{\displaystyle V}yW{\displaystyle W}(que son espacios vectoriales equipados con una norma compatible , denotada‖incógnita‖{\displaystyle \|x\|}) es continua si y solo si es acotada , es decir, existe una constanteK{\displaystyle K}de tal manera que ‖T(incógnita)‖≤K‖incógnita‖{\displaystyle \|T(x)\|\leq K\|x\|} a pesar deincógnita∈V.{\displaystyle x\in V.}

Continuidad uniforme, de Hölder y Lipschitz

Para una función continua de Lipschitz, existe un cono doble (mostrado en blanco) cuyo vértice se puede trasladar a lo largo de la gráfica de manera que esta siempre permanezca completamente fuera del cono.

El concepto de continuidad para funciones entre espacios métricos puede reforzarse de diversas maneras limitando la formaδ{\displaystyle \delta }depende deε{\displaystyle \varepsilon }y c en la definición anterior. Intuitivamente, una función f como la anterior es uniformemente continua si laδ{\displaystyle \delta }no depende del punto c . Más precisamente, se requiere que para cada número realε>0{\displaystyle \varepsilon >0}existeδ>0{\displaystyle \delta >0}de tal manera que para cadado,b∈incógnita{\displaystyle c,b\in X}condincógnita(b,do)<δ,{\displaystyle d_{X}(b,c)<\delta ,}tenemos esodY(F(b),F(do))<ε.{\displaystyle d_{Y}(f(b),f(c))<\varepsilon .}Por lo tanto, cualquier función uniformemente continua es continua. Lo contrario no suele ser cierto, pero sí cuando el espacio dominio X es compacto . Las aplicaciones uniformemente continuas pueden definirse en la situación más general de espacios uniformes . [ 13 ]

Una función es continua de Hölder con exponente α (un número real) si existe una constante K tal que para todob,do∈incógnita,{\displaystyle b,c\in X,}la desigualdad dY(F(b),F(do))≤K⋅(dincógnita(b,do))α{\displaystyle d_{Y}(f(b),f(c))\leq K\cdot (d_{X}(b,c))^{\alpha }} se cumple. Cualquier función continua de Hölder es uniformemente continua. El caso particularα=1{\displaystyle \alpha =1}Se denomina continuidad de Lipschitz . Es decir, una función es continua de Lipschitz si existe una constante K tal que la desigualdad dY(F(b),F(do))≤K⋅dincógnita(b,do){\displaystyle d_{Y}(f(b),f(c))\leq K\cdot d_{X}(b,c)} se mantiene para cualquierb,do∈incógnita.{\displaystyle b,c\in X.}[ 14 ] La condición de Lipschitz aparece, por ejemplo, en elteorema de Picard-Lindelöfrelativo a las soluciones deecuaciones diferenciales ordinarias.

funciones continuas entre espacios topológicos

Otra noción de continuidad, más abstracta, es la continuidad de funciones entre espacios topológicos, donde generalmente no existe una noción formal de distancia, como sí la hay en el caso de los espacios métricos . Un espacio topológico es un conjunto X junto con una topología sobre X , que es un conjunto de subconjuntos de X que satisfacen ciertos requisitos con respecto a sus uniones e intersecciones, generalizando las propiedades de las bolas abiertas en espacios métricos y permitiendo, al mismo tiempo, hablar de los entornos de un punto dado. Los elementos de una topología se denominan subconjuntos abiertos de X (con respecto a la topología).

Una función F:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y} La relación entre dos espacios topológicos X e Y es continua si para cada conjunto abiertoV⊆Y,{\displaystyle V\subseteq Y,}la imagen inversaF−1(V)={incógnita∈incógnita|F(incógnita)∈V}{\displaystyle f^{-1}(V)=\{x\in X\;|\;f(x)\in V\}} es un subconjunto abierto de X. Es decir, f es una función entre los conjuntos X e Y (no sobre los elementos de la topología).Tincógnita{\displaystyle T_{X}}), pero la continuidad de f depende de las topologías utilizadas en X e Y.

Esto es equivalente a la condición de que las preimágenes de los conjuntos cerrados (que son los complementos de los subconjuntos abiertos) en Y sean cerradas en X.

Un ejemplo extremo: si a un conjunto X se le da la topología discreta (en la que cada subconjunto es abierto), todas las funciones F:incógnita→T{\displaystyle f:X\to T} Las funciones son continuas en cualquier espacio topológico T. Por otro lado, si X tiene una topología indiscreta (en la que los únicos subconjuntos abiertos son el conjunto vacío y X ) y el espacio T es al menos T 0 , entonces las únicas funciones continuas son las funciones constantes. En consecuencia, cualquier función cuyo codominio sea indiscreto es continua.

Continuidad en un punto

Continuidad en un punto: Para cada vecindario V deF(incógnita){\displaystyle f(x)}, existe un entorno U de x tal queF(U)⊆V{\displaystyle f(U)\subseteq V}.

La traducción al idioma de los barrios de la(ε,δ){\displaystyle (\varepsilon ,\delta )}-La definición de continuidad conduce a la siguiente definición de continuidad en un punto:

Una funciónF:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}es continuo en un puntoincógnita∈incógnita{\displaystyle x\in X}si y solo si, para cualquier vecindario V deF(incógnita){\displaystyle f(x)}en Y , hay un vecindario U deincógnita{\displaystyle x}de tal manera queF(U)⊆V{\displaystyle f(U)\subseteq V}.

Esta definición es equivalente a la misma afirmación con vecindarios restringidos a vecindarios abiertos y puede reformularse de varias maneras utilizando preimágenes en lugar de imágenes. Una de esas maneras es la siguiente. Como todo conjunto que contiene un vecindario es también un vecindario, yF−1(V)=U{\displaystyle f^{-1}(V)=U}es el subconjunto más grandeU⊆incógnita{\displaystyle U\subseteq X}de tal manera queF(U)⊆V,{\displaystyle f(U)\subseteq V,}La definición anterior puede simplificarse en:

Una funciónF:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}es continuo en un puntoincógnita∈incógnita{\displaystyle x\in X}si y solo si, para cada vecindario V deF(incógnita){\displaystyle f(x)}en Y ,F−1(V){\displaystyle f^{-1}(V)}es un barrio deincógnita{\displaystyle x}.

Como un conjunto abierto es un conjunto que es un entorno de todos sus puntos, una funciónF:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}es continua en cada punto de X si y solo si es una función continua.

Si X e Y son espacios métricos, es equivalente considerar el sistema de vecindad de bolas abiertas centradas en x y f ( x ) en lugar de todas las vecindades. Esto devuelve lo anterior.ε−δ{\displaystyle \varepsilon -\delta }Definición de continuidad en el contexto de espacios métricos. En espacios topológicos generales, no existe la noción de cercanía ni de distancia. Sin embargo, si el espacio objetivo es un espacio de Hausdorff , sigue siendo cierto que f es continua en a si y solo si el límite de f cuando x tiende a a es f ( a ). En un punto aislado, toda función es continua.

Dadoincógnita∈incógnita,{\displaystyle x\in X,}un mapaF:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}es continuo enincógnita{\displaystyle x}si y solo si siempreB{\displaystyle {\mathcal {B}}}es un filtro enincógnita{\displaystyle X}que converge aincógnita{\displaystyle x}enincógnita,{\displaystyle X,}que se expresa por escritoB→incógnita,{\displaystyle {\mathcal {B}}\to x,}entonces necesariamenteF(B)→F(incógnita){\displaystyle f({\mathcal {B}})\to f(x)}enY.{\displaystyle Y.} Sinorte(incógnita){\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}denota el filtro de vecindario enincógnita{\displaystyle x}entoncesF:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}es continuo enincógnita{\displaystyle x}si y solo siF(norte(incógnita))→F(incógnita){\displaystyle f({\mathcal {N}}(x))\to f(x)}enY.{\displaystyle Y.}[ 15 ] Además, esto sucede si y solo si elprefiltroF(norte(incógnita)){\displaystyle f({\mathcal {N}}(x))}es una base de filtro para el filtro de vecindario deF(incógnita){\displaystyle f(x)}enY.{\displaystyle Y.}[ 15 ]

Definiciones alternativas

Existen varias definiciones equivalentes para una estructura topológica ; por lo tanto, existen varias formas equivalentes de definir una función continua.

Secuencias y redes

En diversos contextos, la topología de un espacio se especifica convenientemente en términos de puntos límite . Esto se logra a menudo especificando cuándo un punto es el límite de una sucesión . Sin embargo, para algunos espacios que son demasiado grandes en cierto sentido, también se especifica cuándo un punto es el límite de conjuntos de puntos más generales indexados por un conjunto dirigido , conocidos como redes . Una función es (Heine-)continua solo si transforma límites de sucesiones en límites de sucesiones. En el primer caso, la conservación de los límites también es suficiente; en el segundo, una función puede conservar todos los límites de sucesiones y aun así no ser continua, y la conservación de las redes es una condición necesaria y suficiente.

En detalle, una funciónF:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}es secuencialmente continua si siempre que una secuencia(incógnitanorte){\displaystyle \left(x_{n}\right)}enincógnita{\displaystyle X}converge a un límiteincógnita,{\displaystyle x,}la secuencia(F(incógnitanorte)){\displaystyle \left(f\left(x_{n}\right)\right)}converge aF(incógnita).{\displaystyle f(x).} Por lo tanto, las funciones secuencialmente continuas "conservan los límites secuenciales". Toda función continua es secuencialmente continua. Siincógnita{\displaystyle X}es un espacio numerable de primer orden y se cumple la elección numerable , entonces también se cumple la inversa: cualquier función que preserve los límites secuenciales es continua. En particular, siincógnita{\displaystyle X}En un espacio métrico, la continuidad secuencial y la continuidad son equivalentes. Para espacios no numerables, la continuidad secuencial puede ser estrictamente más débil que la continuidad. (Los espacios para los que ambas propiedades son equivalentes se denominan espacios secuenciales ). Esto motiva la consideración de redes en lugar de secuencias en espacios topológicos generales. Las funciones continuas preservan los límites de las redes, y esta propiedad caracteriza a las funciones continuas.

Por ejemplo, consideremos el caso de funciones de valor real de una variable real: [ 16 ]

Teorema — Una funciónF:A⊆R→R{\displaystyle f:A\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} }es continuo enincógnita0{\displaystyle x_{0}}si y solo si es secuencialmente continua en ese punto.

Prueba

Supongamos queF:A⊆R→R{\displaystyle f:A\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} }es continuo enincógnita0{\displaystyle x_{0}}(en el sentido deε−δ{\displaystyle \varepsilon -\delta }continuidad ). Dejemos(incógnitanorte)norte≥1{\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\geq 1}}ser una secuencia que converge enincógnita0{\displaystyle x_{0}}(tal secuencia siempre existe, por ejemplo,incógnitanorte=incógnita0, a pesar de norte{\displaystyle x_{n}=x_{0},{\text{ for all }}n}); desdeF{\displaystyle f}es continuo enincógnita0{\displaystyle x_{0}}∀ε>0∃δε>0:0<|incógnita−incógnita0|<δε⟹|F(incógnita)−F(incógnita0)|<ε.(∗){\displaystyle \forall \varepsilon >0\,\exists \delta _{\varepsilon }>0:0<|x-x_{0}|<\delta _{\varepsilon }\implies |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon .\quad (*)} Para cualquier talδε{\displaystyle \delta _{\varepsilon }}podemos encontrar un número naturalνε>0{\displaystyle \nu _{\varepsilon }>0}de tal manera que para todosnorte>νε,{\displaystyle n>\nu _{\varepsilon },}|incógnitanorte−incógnita0|<δε,{\displaystyle |x_{n}-x_{0}|<\delta _{\varepsilon },} desde(incógnitanorte){\displaystyle \left(x_{n}\right)}converge enincógnita0{\displaystyle x_{0}}; combinando esto con(∗){\displaystyle (*)}obtenemos ∀ε>0∃νε>0:∀norte>νε|F(incógnitanorte)−F(incógnita0)|<ε.{\displaystyle \forall \varepsilon >0\,\exists \nu _{\varepsilon }>0:\forall n>\nu _{\varepsilon }\quad |f(x_{n})-f(x_{0})|<\varepsilon .} Supongamos, por el contrario, queF{\displaystyle f}es secuencialmente continuo y procede por contradicción: supongamos queF{\displaystyle f}no es continuo enincógnita0{\displaystyle x_{0}}∃ε>0:∀δε>0,∃incógnitaδε:0<|incógnitaδε−incógnita0|<δε⟹|F(incógnitaδε)−F(incógnita0)|>ε{\displaystyle \exists \varepsilon >0:\forall \delta _{\varepsilon }>0,\,\exists x_{\delta _{\varepsilon }}:0<|x_{\delta _{\varepsilon }}-x_{0}|<\delta _{\varepsilon }\implies |f(x_{\delta _{\varepsilon }})-f(x_{0})|>\varepsilon } entonces podemos tomarδε=1/norte,∀norte>0{\displaystyle \delta _{\varepsilon }=1/n,\,\forall n>0}y llamar punto correspondienteincógnitaδε=:incógnitanorte{\displaystyle x_{\delta _{\varepsilon }}=:x_{n}}: de esta manera hemos definido una secuencia(incógnitanorte)norte≥1{\displaystyle (x_{n})_{n\geq 1}}de tal manera que ∀norte>0|incógnitanorte−incógnita0|<1norte,|F(incógnitanorte)−F(incógnita0)|>ε{\displaystyle \forall n>0\quad |x_{n}-x_{0}|<{\frac {1}{n}},\quad |f(x_{n})-f(x_{0})|>\varepsilon } por construcciónincógnitanorte→incógnita0{\displaystyle x_{n}\to x_{0}}peroF(incógnitanorte)↛F(incógnita0){\displaystyle f(x_{n})\not \to f(x_{0})}, lo cual contradice la hipótesis de continuidad secuencial.◼{\displaystyle \blacksquare }

Definiciones de operador de cierre y operador interior

En términos de los operadores de interior y cierre , tenemos las siguientes equivalencias:

Teorema — SeaF:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}Sea una aplicación entre espacios topológicos. Entonces las siguientes son equivalentes.

  1. F{\displaystyle f}es continuo;
  2. para cada subconjuntoB⊆Y,{\displaystyle B\subseteq Y,}F−1(enteroY⁡B)⊆enteroincógnita⁡(F−1(B));{\displaystyle f^{-1}\left(\operatorname {int} _{Y}B\right)\subseteq \operatorname {int} _{X}\left(f^{-1}(B)\right);}
  3. para cada subconjuntoA⊆incógnita,{\displaystyle A\subseteq X,}F(clincógnita⁡A)⊆clY⁡(F(A)).{\displaystyle f\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)\subseteq \operatorname {cl} _{Y}\left(f(A)\right).}

Si declaramos que un puntoincógnita{\displaystyle x}está cerca de un subconjuntoA⊆incógnita{\displaystyle A\subseteq X}siincógnita∈clincógnita⁡A,{\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}A,}Entonces, esta terminología permite una descripción sencilla de la continuidad:F{\displaystyle f}es continua si y solo si para cada subconjuntoA⊆incógnita,{\displaystyle A\subseteq X,}F{\displaystyle f}puntos del mapa que están cerca deA{\displaystyle A}a puntos que están cerca deF(A).{\displaystyle f(A).}Similarmente,F{\displaystyle f}es continua en un punto fijo dadoincógnita∈incógnita{\displaystyle x\in X}si y solo si siempreincógnita{\displaystyle x}está cerca de un subconjuntoA⊆incógnita,{\displaystyle A\subseteq X,}entoncesF(incógnita){\displaystyle f(x)}está cerca deF(A).{\displaystyle f(A).}

En lugar de especificar espacios topológicos por sus subconjuntos abiertos , cualquier topología enincógnita{\displaystyle X}alternativamente puede determinarse mediante un operador de cierre o mediante un operador interno . Específicamente, el mapa que envía un subconjuntoA{\displaystyle A}de un espacio topológicoincógnita{\displaystyle X}a su cierre topológicoclincógnita⁡A{\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A}satisface los axiomas de cierre de Kuratowski . Recíprocamente, para cualquier operador de cierreA↦cl⁡A{\displaystyle A\mapsto \operatorname {cl} A}Existe una topología únicaτ{\displaystyle \tau }enincógnita{\displaystyle X}(específicamente,τ:={incógnita∖cl⁡A:A⊆incógnita}{\displaystyle \tau :=\{X\setminus \operatorname {cl} A:A\subseteq X\}} ) tal que para cada subconjuntoA⊆incógnita,{\displaystyle A\subseteq X,}cl⁡A{\displaystyle \operatorname {cl} A}es igual al cierre topológicocl(incógnita,τ)⁡A{\displaystyle \operatorname {cl} _{(X,\tau )}A}deA{\displaystyle A}en(incógnita,τ).{\displaystyle (X,\tau ).}Si los conjuntosincógnita{\displaystyle X}yY{\displaystyle Y}cada uno está asociado con operadores de cierre (ambos denotados porcl{\displaystyle \operatorname {cl} }) luego un mapaF:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}es continua si y solo siF(cl⁡A)⊆cl⁡(F(A)){\displaystyle f(\operatorname {cl} A)\subseteq \operatorname {cl} (f(A))}para cada subconjuntoA⊆incógnita.{\displaystyle A\subseteq X.}

De manera similar, el mapa que envía un subconjuntoA{\displaystyle A}deincógnita{\displaystyle X}a su interior topológicoenteroincógnita⁡A{\displaystyle \operatorname {int} _{X}A}define un operador interior . Por el contrario, cualquier operador interiorA↦entero⁡A{\displaystyle A\mapsto \operatorname {int} A}induce una topología únicaτ{\displaystyle \tau }enincógnita{\displaystyle X}(específicamente,τ:={entero⁡A:A⊆incógnita}{\displaystyle \tau :=\{\operatorname {int} A:A\subseteq X\}} ) tal que para cadaA⊆incógnita,{\displaystyle A\subseteq X,}entero⁡A{\displaystyle \operatorname {int} A}es igual al interior topológicoentero(incógnita,τ)⁡A{\displaystyle \operatorname {int} _{(X,\tau )}A}deA{\displaystyle A}en(incógnita,τ).{\displaystyle (X,\tau ).}Si los conjuntosincógnita{\displaystyle X}yY{\displaystyle Y}cada uno está asociado con operadores interiores (ambos denotados porentero{\displaystyle \operatorname {int} }) luego un mapaF:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}es continua si y solo siF−1(entero⁡B)⊆entero⁡(F−1(B)){\displaystyle f^{-1}(\operatorname {int} B)\subseteq \operatorname {int} \left(f^{-1}(B)\right)}para cada subconjuntoB⊆Y.{\displaystyle B\subseteq Y.}[ 17 ]

Filtros y prefiltros

La continuidad también puede caracterizarse en términos de filtros . Una funciónF:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}es continuo si y solo si siempre que un filtroB{\displaystyle {\mathcal {B}}}enincógnita{\displaystyle X}converge enincógnita{\displaystyle X}hasta cierto puntoincógnita∈incógnita,{\displaystyle x\in X,}luego el prefiltroF(B){\displaystyle f({\mathcal {B}})}converge enY{\displaystyle Y}aF(incógnita).{\displaystyle f(x).}Esta caracterización sigue siendo válida si se reemplaza la palabra "filtro" por "prefiltro". [ 15 ]

Propiedades

SiF:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}ygramo:Y→Z{\displaystyle g:Y\to Z}Si son continuas, entonces también lo es la composición.gramo∘F:incógnita→Z.{\displaystyle g\circ f:X\to Z.}SiF:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}es continuo y

  • Si X es compacto , entonces f ( X ) es compacto.
  • Si X está conectado , entonces f ( X ) está conectado.
  • Si X es conexo por caminos , entonces f ( X ) es conexo por caminos.
  • X es Lindelöf , entonces f ( X ) es Lindelöf.
  • Si X es separable , entonces f ( X ) es separable.

Las topologías posibles en un conjunto fijo X están parcialmente ordenadas : una topologíaτ1{\displaystyle \tau _{1}}Se dice que es más tosca que otra topología.τ2{\displaystyle \tau _{2}}(notación:τ1⊆τ2{\displaystyle \tau _{1}\subseteq \tau _{2}}) si cada subconjunto abierto con respecto aτ1{\displaystyle \tau _{1}}También está abierto con respecto aτ2.{\displaystyle \tau _{2}.}Luego, el mapa de identidadidentificaciónincógnita:(incógnita,τ2)→(incógnita,τ1){\displaystyle \operatorname {id} _{X}:\left(X,\tau _{2}\right)\to \left(X,\tau _{1}\right)} es continua si y solo siτ1⊆τ2{\displaystyle \tau _{1}\subseteq \tau _{2}}(véase también comparación de topologías ). De forma más general, una función continua (incógnita,τincógnita)→(Y,τY){\displaystyle \left(X,\tau _{X}\right)\to \left(Y,\tau _{Y}\right)} permanece continuo si la topologíaτY{\displaystyle \tau _{Y}}se reemplaza por una topología más gruesa y/oτincógnita{\displaystyle \tau _{X}}se reemplaza por una topología más fina .

Homeomorfismos

De forma simétrica al concepto de aplicación continua es una aplicación abierta , para la cual las imágenes de conjuntos abiertos son abiertas. Si una aplicación abierta f tiene una función inversa , esa inversa es continua, y si una aplicación continua g tiene una inversa, esa inversa es abierta. Dada una función biyectiva f entre dos espacios topológicos, la función inversa esF−1{\displaystyle f^{-1}}no tiene por qué ser continua. Una función biyectiva continua con una función inversa continua se denomina homeomorfismo .

Si una biyección continua tiene como dominio un espacio compacto y su codominio es Hausdorff , entonces es un homeomorfismo.

Definición de topologías mediante funciones continuas

Dada una función F:incógnita→S,{\displaystyle f:X\to S,} donde X es un espacio topológico y S es un conjunto (sin una topología especificada), la topología final en S se define haciendo que los conjuntos abiertos de S sean aquellos subconjuntos A de S para los cualesF−1(A){\displaystyle f^{-1}(A)}es abierto en X. Si S tiene una topología existente, f es continua con respecto a esta topología si y solo si la topología existente es más gruesa que la topología final en S. Por lo tanto, la topología final es la topología más fina en S que hace que f sea continua. Si f es sobreyectiva , esta topología se identifica canónicamente con la topología cociente bajo la relación de equivalencia definida por f .

De manera dual, para una función f de un conjunto S a un espacio topológico X , la topología inicial en S se define designando como un conjunto abierto todo subconjunto A de S tal queA=F−1(U){\displaystyle A=f^{-1}(U)}para algún subconjunto abierto U de X. Si S tiene una topología existente, f es continua con respecto a esta topología si y solo si la topología existente es más fina que la topología inicial en S. Por lo tanto, la topología inicial es la topología más gruesa en S que hace que f sea continua. Si f es inyectiva, esta topología se identifica canónicamente con la topología de subespacio de S , vista como un subconjunto de X.

Una topología en un conjunto S está determinada unívocamente por la clase de todas las funciones continuas.S→incógnita{\displaystyle S\to X}en todos los espacios topológicos X. De manera similar , se puede aplicar una idea parecida a los mapas .incógnita→S.{\displaystyle X\to S.}

SiF:S→Y{\displaystyle f\colon S\to Y}es una función continua de algún subconjuntoS{\displaystyle S}de un espacio topológicoincógnita{\displaystyle X}entonces unextensión continua deF{\displaystyle f}aincógnita{\displaystyle X}es cualquier función continuaF:incógnita→Y{\displaystyle F\colon X\to Y}de tal manera queF(s)=F(s){\displaystyle F(s)=f(s)}por cadas∈S{\displaystyle s\in S}, que es una condición que a menudo se escribe comoF=F|S{\displaystyle f=F{\big \vert }_{S}}En otras palabras, es cualquier función continua.F:incógnita→Y{\displaystyle F\colon X\to Y}que se restringe aF{\displaystyle f}enS{\displaystyle S}Esta noción se utiliza, por ejemplo, en el teorema de extensión de Tietze y en el teorema de Hahn-Banach . SiF:S→Y{\displaystyle f\colon S\to Y}Si no es continua, entonces no podría tener una extensión continua.Y{\displaystyle Y}es un espacio Hausdorff yS{\displaystyle S}es un subconjunto denso deincógnita{\displaystyle X}luego una extensión continua deF:S→Y{\displaystyle f\colon S\to Y}aincógnita{\displaystyle X}, si existe, será único. El teorema de Blumberg establece que siF:R→R{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }es una función arbitraria entonces existe un subconjunto densoD{\displaystyle D}deR{\displaystyle \mathbb {R} }de tal manera que la restricciónF|D:D→R{\displaystyle f{\big \vert }_{D}\colon D\to \mathbb {R} }es continua; en otras palabras, cada funciónR→R{\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }puede restringirse a algún subconjunto denso en el que sea continuo.

Otros diversos dominios matemáticos utilizan el concepto de continuidad con significados diferentes pero relacionados. Por ejemplo, en la teoría del orden , una función que preserva el ordenF:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}entre tipos particulares de conjuntos parcialmente ordenadosincógnita{\displaystyle X}yY{\displaystyle Y}es continua si para cada subconjunto dirigidoA{\displaystyle A}deincógnita,{\displaystyle X,}tenemossorberF(A)=F(sorberA).{\displaystyle \sup f(A)=f(\sup A).}Aquísorber{\displaystyle \,\sup \,}es el supremo con respecto a los órdenes enincógnita{\displaystyle X}yY,{\displaystyle Y,}respectivamente. Esta noción de continuidad es la misma que la continuidad topológica cuando a los conjuntos parcialmente ordenados se les da la topología de Scott . [ 18 ] [ 19 ]

En teoría de categorías , un functorF:do→D{\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}} La relación entre dos categorías se denomina continua si conmuta con límites pequeños . Es decir, límite←i∈I⁡F(doi)≅F(límite←i∈I⁡doi){\displaystyle \varprojlim _{i\in I}F(C_{i})\cong F\left(\varprojlim _{i\in I}C_{i}\right)} para cualquier pequeño (es decir, indexado por un conjunto)I,{\displaystyle I,}a diferencia de un diagrama de clases de objetos endo{\displaystyle {\mathcal {C}}}.

Un espacio de continuidad es una generalización de los espacios métricos y los conjuntos parcialmente ordenados, [ 20 ] [ 21 ] que utiliza el concepto de cuantales y que puede utilizarse para unificar las nociones de espacios métricos y dominios . [ 22 ]

En la teoría de la medida , una funciónF:mi→Rk{\displaystyle f:E\to \mathbb {R} ^{k}}definido en un conjunto medible de Lebesguemi⊆Rnorte{\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} ^{n}}se denomina aproximadamente continua en un puntoincógnita0∈mi{\displaystyle x_{0}\in E}si el límite aproximado deF{\displaystyle f}enincógnita0{\displaystyle x_{0}}existe y es igual aF(incógnita0){\displaystyle f(x_{0})}Esto generaliza la noción de continuidad al reemplazar el límite ordinario por el límite aproximado . Un resultado fundamental conocido como el teorema de Stepanov-Denjoy establece que una función es medible si y solo si es aproximadamente continua casi en todas partes . [ 23 ]

Véase también

Referencias

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Bibliografía

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