Función continua (teoría de conjuntos)

En teoría de conjuntos , una función continua es una secuencia de ordinales tales que los valores asumidos en las etapas límite son los límites ( límite supremo y límite ínfimo ) de todos los valores en las etapas anteriores. Más formalmente, sea γ un ordinal y sea una γ -secuencia de ordinales. Entonces s es continua si en cada ordinal límite β < γ , ${\displaystyle s:=\langle s_{\alpha }|\alpha <\gamma \rangle }$

${\displaystyle s_{\beta}=\limsup\{s_{\alpha}:\alpha <\beta \}=\inf\{\sup\{s_{\alpha}:\delta \leq \alpha <\beta \}:\delta <\beta \}}$

y

${\displaystyle s_{\beta}=\liminf\{s_{\alpha}:\alpha <\beta \}=\sup\{\inf\{s_{\alpha}:\delta \leq \alpha <\beta \}:\delta <\beta \}\,.}$

Alternativamente, si s es una función creciente , entonces s es continua si s : γ → range( s ) es una función continua cuando los conjuntos están equipados con la topología de orden . Estas funciones continuas se utilizan a menudo en cofinalidades y números cardinales .

Una función normal es una función que es continua y estrictamente creciente .