Accumulation point

In mathematics, a limit point, accumulation point, or cluster point of a set${\displaystyle S}$ in a topological space${\displaystyle X}$ is a point ${\displaystyle x}$ that can be "approximated" by points of ${\displaystyle S}$ in the sense that every neighbourhood of ${\displaystyle x}$ contains a point of ${\displaystyle S}$ other than ${\displaystyle x}$ itself. A limit point of a set ${\displaystyle S}$ does not itself have to be an element of ${\displaystyle S.}$ There is also a closely related concept for sequences. A cluster point or accumulation point of a sequence${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ in a topological space${\displaystyle X}$ is a point ${\displaystyle x}$ such that, for every neighbourhood ${\displaystyle V}$ of ${\displaystyle x,}$ there are infinitely many natural numbers ${\displaystyle n}$ such that ${\displaystyle x_{n}\in V.}$ This definition of a cluster or accumulation point of a sequence generalizes to nets and filters.

The similarly named notion of a limit point of a sequence^[1] (respectively, a limit point of a filter,^[2] a limit point of a net) by definition refers to a point that the sequence converges to (respectively, the filter converges to, the net converges to). Importantly, although "limit point of a set" is synonymous with "cluster/accumulation point of a set", this is not true for sequences (nor nets or filters). That is, the term "limit point of a sequence" is not synonymous with "cluster/accumulation point of a sequence".

The limit points of a set should not be confused with adherent points (also called points of closure) for which every neighbourhood of ${\displaystyle x}$ contains some point of ${\displaystyle S}$. Unlike for limit points, an adherent point ${\displaystyle x}$ of ${\displaystyle S}$ may have a neighbourhood not containing points other than ${\displaystyle x}$ itself. A limit point can be characterized as an adherent point that is not an isolated point.

Limit points of a set should also not be confused with boundary points. For example, ${\displaystyle 0}$ is a boundary point (but not a limit point) of the set ${\displaystyle \{0\}}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ with standard topology. However, ${\displaystyle 0.5}$ is a limit point (though not a boundary point) of interval ${\displaystyle [0,1]}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ with standard topology (for a less trivial example of a limit point, see the first caption).^[3][4][5]

Este concepto generaliza provechosamente la noción de límite y constituye la base de conceptos como conjunto cerrado y cierre topológico . De hecho, un conjunto es cerrado si y solo si contiene todos sus puntos límite, y la operación de cierre topológico puede entenderse como una operación que enriquece un conjunto al unirlo con sus puntos límite.

Cada secuencia${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$en${\displaystyle X}$es por definición solo un mapa${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X}$para que su imagen${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }:=\left\{x_{n}:n\in \mathbb {N} \right\}}$puede definirse de la forma habitual.

• Si existe un elemento${\displaystyle x\in X}$que ocurre infinitas veces en la secuencia,${\displaystyle x}$es un punto de acumulación de la secuencia. Pero${\displaystyle x}$no tiene por qué ser un punto de acumulación del conjunto correspondiente${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }.}$Por ejemplo, si la secuencia es la secuencia constante con valor${\displaystyle x,}$tenemos${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }=\{x\}}$y${\displaystyle x}$es un punto aislado de${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }}$y no un punto de acumulación de${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }.}$

• Si ningún elemento aparece infinitas veces en la secuencia, por ejemplo, si todos los elementos son distintos, cualquier punto de acumulación de la secuencia es un${\displaystyle \omega }$-punto de acumulación del conjunto asociado${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }.}$

Por el contrario, dado un conjunto infinito numerable${\displaystyle A\subsetequ X}$en${\displaystyle X,}$podemos enumerar todos los elementos de${\displaystyle A}$De muchas maneras, incluso con repeticiones, y por lo tanto asociar con ello muchas secuencias${\displaystyle x_{\bullet }}$eso satisfará${\displaystyle A=\operatorname {Im} x_{\bullet }.}$

• Cualquier${\displaystyle \omega }$-punto de acumulación de${\displaystyle A}$es un punto de acumulación de cualquiera de las secuencias correspondientes (porque cualquier vecindario del punto contendrá infinitos elementos de${\displaystyle A}$y por lo tanto también infinitos términos en cualquier secuencia asociada).

• Un punto${\displaystyle x\in X}$eso no es un${\displaystyle \omega }$-punto de acumulación de${\displaystyle A}$no puede ser un punto de acumulación de ninguna de las secuencias asociadas sin repeticiones infinitas (porque${\displaystyle x}$tiene un vecindario que contiene solo un número finito de puntos (posiblemente incluso ninguno)${\displaystyle A}$y ese vecindario solo puede contener un número finito de términos de tales secuencias).

Cada límite de una sucesión no constante es un punto de acumulación de la sucesión. Y por definición, cada punto límite es un punto adherente .

El cierre${\displaystyle \operatorname {cl} (S)}$de un conjunto${\displaystyle S}$es una unión disjunta de sus puntos límite${\displaystyle L(S)}$y puntos aislados${\displaystyle I(S)}$; eso es, $${\displaystyle \operatorname {cl} (S)=L(S)\cup I(S)\quad {\text{y}}\quad L(S)\cap I(S)=\emptyset .}$$

Un punto${\displaystyle x\in X}$es un punto límite de${\displaystyle S\subsetequ X}$si y solo si está en el cierre de${\displaystyle S\setminus \{x\}.}$

Si usamos${\displaystyle L(S)}$para denotar el conjunto de puntos límite de${\displaystyle S,}$Entonces tenemos la siguiente caracterización del cierre de${\displaystyle S}$: El cierre de${\displaystyle S}$es igual a la unión de${\displaystyle S}$y${\displaystyle L(S).}$Este hecho a veces se toma como la definición de cierre .

Un corolario de este resultado nos da una caracterización de los conjuntos cerrados: Un conjunto${\displaystyle S}$Se considera cerrado si y solo si contiene todos sus puntos límite.

Ningún punto aislado es un punto límite de ningún conjunto.

Un espacio${\displaystyle X}$es discreto si y solo si ningún subconjunto de${\displaystyle X}$tiene un punto límite.

Si un espacio${\displaystyle X}$tiene la topología trivial y${\displaystyle S}$es un subconjunto de${\displaystyle X}$con más de un elemento, entonces todos los elementos de${\displaystyle X}$son puntos límite de${\displaystyle S.}$Si${\displaystyle S}$es un singleton, entonces cada punto de${\displaystyle X\setminus S}$es un punto límite de${\displaystyle S.}$

• Punto adherente : punto que pertenece a la clausura de algún subconjunto dado de un espacio topológico. 
• Punto de condensación – Tipo de punto de acumulación 
• Filtro convergente : uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos. Páginas que muestran descripciones breves de los destinos de redireccionamiento. 
• Conjunto derivado (matemáticas) – Conjunto de todos los puntos límite de un conjunto 
• Filtros en topología : uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos. 
• Punto aislado : Punto de un subconjunto S alrededor del cual no hay otros puntos de S. 
• Límite de una función : punto al que convergen las funciones en el análisis. 
• Límite de una sucesión : Valor al que tiende una sucesión infinita. 
• Límite subsecuente – Límite de alguna subsecuencia 

• Bourbaki, Nicolás (1989) [1966]. Topología general: capítulos 1 a 4 [ Topologie Générale ] . Elementos matemáticos . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. doi : 10.1007/978-3-642-61701-0 . ISBN 978-3-540-64241-1OCLC 18588129 .​ 
• Dugundji, James (1966). Topología . Boston: Allyn and Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7OCLC 395340485​​ 
• Munkres, James R. (2000). Topología (2.ª  ed.). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9OCLC 42683260 .​ ( Accesible para usuarios con discapacidades visuales )
• "Punto límite de un conjunto" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]