Filtros en topología

En topología , los filtros se utilizan para estudiar espacios topológicos y definir nociones topológicas básicas como convergencia , continuidad , compacidad , entre otras. Los filtros , que son familias especiales de subconjuntos de un conjunto dado, también proporcionan un marco común para definir diversos tipos de límites de funciones, como límites por la izquierda/derecha, al infinito, a un punto o a un conjunto, y muchos otros. Los ultrafiltros, tipos especiales de filtros , poseen numerosas propiedades técnicas útiles y a menudo se utilizan en lugar de filtros arbitrarios.

Los filtros tienen generalizaciones llamadas prefiltros (también conocidos como bases de filtro ) y subbases de filtro , las cuales aparecen de forma natural y repetida en toda la topología. Algunos ejemplos incluyen filtros / bases/subbases de vecindad y uniformidades . Cada filtro es un prefiltro y ambos son subbases de filtro. Cada prefiltro y subbase de filtro está contenido en un único filtro más pequeño, que se dice que generan . Esto establece una relación entre filtros y prefiltros que a menudo se puede aprovechar para permitir el uso de cualquiera de estas dos nociones que sea técnicamente más conveniente. Existe un cierto preorden en las familias de conjuntos (subordinación), denotado por${\displaystyle \,\leq ,\,}$que ayuda a determinar exactamente cuándo y cómo una noción (filtro, prefiltro, etc.) puede o no puede usarse en lugar de otra. La importancia de este preorden se ve amplificada por el hecho de que también define la noción de convergencia de filtros, donde por definición, un filtro (o prefiltro)${\displaystyle {\mathcal {B}}}$converge a un punto si y solo si${\displaystyle {\mathcal {N}}\leq {\mathcal {B}},}$dónde${\displaystyle {\mathcal {N}}}$es el filtro de vecindad de ese punto . En consecuencia, la subordinación también juega un papel importante en muchos conceptos que están relacionados con la convergencia, como los puntos de agrupación y los límites de las funciones. Además, la relación${\displaystyle {\mathcal {S}}\geq {\mathcal {B}},}$lo cual denota${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {S}}}$y se expresa diciendo que${\displaystyle {\mathcal {S}}}$está subordinado a${\displaystyle {\mathcal {B}},}$también establece una relación en la que${\displaystyle {\mathcal {S}}}$es a${\displaystyle {\mathcal {B}}}$como una subsecuencia es a una secuencia (es decir, la relación${\displaystyle \geq ,}$lo que se llama subordinación , es para los filtros el análogo de "es una subsecuencia de").

Los filtros fueron introducidos por Henri Cartan en 1937 ^{[ 1 ]} y posteriormente utilizados por Bourbaki en su libro Topologie Générale como una alternativa a la noción similar de red desarrollada en 1922 por EH Moore y HL Smith . Los filtros también pueden utilizarse para caracterizar las nociones de convergencia de secuencias y redes . Pero a diferencia de ^{[ nota 1 ]} la convergencia de secuencias y redes, la convergencia de filtros se define completamente en términos de subconjuntos del espacio topológico.${\displaystyle X}$y así proporciona una noción de convergencia que es completamente intrínseca al espacio topológico; de hecho, la categoría de espacios topológicos puede definirse equivalentemente enteramente en términos de filtros . Cada red induce un filtro canónico y dualmente, cada filtro induce una red canónica, donde esta red inducida (respectivamente, filtro inducido) converge a un punto si y solo si lo mismo es cierto para el filtro original (respectivamente, red). Esta caracterización también se cumple para muchas otras definiciones, como los puntos de clúster. Estas relaciones hacen posible cambiar entre filtros y redes, y a menudo también permiten elegir cuál de estas dos nociones (filtro o red) es más conveniente para el problema en cuestión. Sin embargo, suponiendo que " subred " se define utilizando cualquiera de sus definiciones más populares (que son las dadas por Willard y por Kelley ), entonces, en general, esta relación no se extiende a filtros subordinados y subredes porque, como se detalla más adelante , existen filtros subordinados cuya relación filtro/filtro subordinado no puede describirse en términos de la relación red/subred correspondiente; Sin embargo, este problema puede resolverse utilizando una definición menos común de "subred", que es la de una subred AA .

Por lo tanto, los filtros/prefiltros y este único pedido anticipado${\displaystyle \,\leq \,}$Proporciona un marco que vincula a la perfección conceptos topológicos fundamentales como espacios topológicos ( mediante filtros de vecindad ), bases de vecindad , convergencia , diversos límites de funciones , continuidad, compacidad , secuencias (mediante filtros secuenciales ), el equivalente en filtros de "subsecuencia" (subordinación), espacios uniformes y más; conceptos que, de otro modo, parecen relativamente dispares y cuyas relaciones son menos claras.

Ejemplo arquetípico de un filtro

El ejemplo arquetípico de un filtro es el filtro de vecindad.${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$en un punto${\displaystyle x}$en un espacio topológico${\displaystyle (X,\tau ),}$que es la familia de conjuntos que consta de todos los vecindarios de${\displaystyle x.}$ Por definición, un vecindario de algún punto dado${\displaystyle x}$es cualquier subconjunto${\displaystyle B\subseteq X}$cuyo interior topológico contiene este punto; es decir, tal que${\displaystyle x\in \operatorname {Int} _{X}B.}$Es importante destacar que los vecindarios no tienen que ser conjuntos abiertos; estos se denominan vecindarios abiertos . A continuación se enumeran las propiedades fundamentales de los filtros de vecindario que, en última instancia, se convirtieron en la definición de un "filtro". Un filtro en${\displaystyle X}$es un conjunto${\displaystyle {\mathcal {B}}}$de subconjuntos de${\displaystyle X}$que cumpla todas las siguientes condiciones:

1. No está vacío : ${\displaystyle X\in {\mathcal {B}}}$– igual que${\displaystyle X\in {\mathcal {N}}(x),}$desde${\displaystyle X}$siempre es un barrio de${\displaystyle x}$(y de cualquier otra cosa que contenga);
2. No contiene el conjunto vacío : ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}}$– al igual que ningún vecindario de${\displaystyle x}$está vacío;
3. Cerrado bajo intersecciones finitas :  Si${\displaystyle B,C\in {\mathcal {B}}{\text{ then }}B\cap C\in {\mathcal {B}}}$– al igual que la intersección de dos barrios cualesquiera de${\displaystyle x}$es nuevamente un barrio de${\displaystyle x}$;
4. Cerrado hacia arriba :  Si${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}B\subseteq S\subseteq X}$entonces${\displaystyle S\in {\mathcal {B}}}$– al igual que cualquier subconjunto de${\displaystyle X}$que incluye un vecindario de${\displaystyle x}$será necesariamente un vecindario de${\displaystyle x}$(esto se deduce de${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}B\subseteq \operatorname {Int} _{X}S}$y la definición de "un vecindario de${\displaystyle x}$").

Generalización de la convergencia de secuencias mediante el uso de conjuntos: determinación de la convergencia de secuencias sin la secuencia

Una secuencia en${\displaystyle X}$es por definición un mapa${\displaystyle \mathbb {N} \to X}$desde los números naturales hacia el espacio${\displaystyle X.}$ La noción original de convergencia en un espacio topológico se basaba en la convergencia de una sucesión hacia un punto determinado, como un espacio métrico . En espacios metrizables (o, más generalmente, espacios numerables de primer orden o espacios de Fréchet-Urysohn ), las sucesiones suelen ser suficientes para caracterizar o describir la mayoría de las propiedades topológicas, como la clausura de subconjuntos o la continuidad de funciones. Sin embargo, existen muchos espacios donde las sucesiones no pueden utilizarse para describir ni siquiera propiedades topológicas básicas como la clausura o la continuidad. Esta limitación de las sucesiones motivó la definición de conceptos como redes y filtros, que siempre logran caracterizar las propiedades topológicas.

Las redes generalizan directamente la noción de secuencia, ya que las redes son, por definición, mapas.${\displaystyle I\to X}$de un conjunto dirigido arbitrario${\displaystyle (I,\leq )}$en el espacio${\displaystyle X.}$Una secuencia es simplemente una red cuyo dominio es${\displaystyle I=\mathbb {N} }$con el orden natural. Las redes tienen su propia noción de convergencia , que es una generalización directa de la convergencia de secuencias.

Los filtros generalizan la convergencia de secuencias de una manera diferente al considerar solo los valores de una secuencia. Para ver cómo se hace esto, consideremos una secuencia.${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }{\text{ in }}X,}$que por definición es simplemente una función${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X}$cuyo valor en${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$se denota por${\displaystyle x_{i}}$en lugar de mediante la notación habitual entre paréntesis${\displaystyle x_{\bullet }(i)}$que se usa comúnmente para funciones arbitrarias. Conociendo solo la imagen (a veces llamada "el rango")${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }:=\left\{x_{i}:i\in \mathbb {N} \right\}=\left\{x_{1},x_{2},\ldots \right\}}$Un solo conjunto de la secuencia no es suficiente para caracterizar su convergencia; se necesitan varios conjuntos. Resulta que los conjuntos necesarios son los siguientes ^{[ nota 2 ]} , que se denominan las colas de la secuencia.${\displaystyle x_{\bullet }}$: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{8}x_{\geq 1}=\;&\{&&x_{1},&&x_{2},&&x_{3},&&x_{4},&&\ldots &&\,\}\\[0.3ex]x_{\geq 2}=\;&\{&&x_{2},&&x_{3},&&x_{4},&&x_{5},&&\ldots &&\,\}\\[0.3ex]x_{\geq 3}=\;&\{&&x_{3},&&x_{4},&&x_{5},&&x_{6},&&\ldots &&\,\}\\[0.3ex]&&&&&&&\;\,\vdots &&&&&&\\[0.3ex]x_{\geq n}=\;&\{&&x_{n},\;\;\,&&x_{n+1},\;&&x_{n+2},\;&&x_{n+3},&&\ldots &&\,\}\\[0.3ex]&&&&&&&\;\,\vdots &&&&&&\\[0.3ex]\end{alignedat}}}$$

Estos conjuntos determinan completamente la convergencia (o no convergencia) de esta secuencia porque, dado cualquier punto, esta secuencia converge a él si y solo si para cada vecindario.${\displaystyle U}$(de este punto), hay algún número entero${\displaystyle n}$de tal manera que${\displaystyle U}$contiene todos los puntos${\displaystyle x_{n},x_{n+1},\ldots .}$Esto se puede reformular como:

   cada barrio${\displaystyle U}$debe contener algún conjunto de la forma${\displaystyle \{x_{n},x_{n+1},\ldots \}}$como un subconjunto.

O, más brevemente: cada vecindario debe contener alguna cola${\displaystyle x_{\geq n}}$como un subconjunto. Es esta caracterización la que se puede utilizar con la familia de colas mencionada anteriormente para determinar la convergencia (o no convergencia) de la secuencia.${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X.}$ Específicamente, con la familia de conjuntos${\displaystyle \{x_{\geq 1},x_{\geq 2},\ldots \}}$en mano, la función${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X}$ya no es necesario para determinar la convergencia de esta secuencia (sin importar qué topología se coloque en${\displaystyle X}$). Al generalizar esta observación, la noción de "convergencia" puede extenderse de secuencias/funciones a familias de conjuntos.

El conjunto anterior de colas de una secuencia generalmente no es un filtro, pero sí " genera " un filtro al tomar su cierre ascendente (que consiste en todos los superconjuntos de todas las colas). Lo mismo ocurre con otras familias importantes de conjuntos, como cualquier base de vecindad en un punto dado, que generalmente tampoco es un filtro, pero sí genera un filtro a través de su cierre ascendente (en particular, genera el filtro de vecindad en ese punto). Las propiedades que comparten estas familias llevaron a la noción de una base de filtro , también llamada prefiltro , que por definición es cualquier familia que tenga las propiedades mínimas necesarias y suficientes para generar un filtro al tomar su cierre ascendente .

Redes frente a filtros: ventajas y desventajas

Los filtros y las redes tienen cada uno sus propias ventajas y desventajas, y no hay razón para usar una noción exclusivamente sobre la otra. ^{[ nota 3 ]} Dependiendo de lo que se esté demostrando, una demostración puede hacerse significativamente más fácil usando una de estas nociones en lugar de la otra. ^{[ 2 ]} Tanto los filtros como las redes pueden usarse para caracterizar completamente cualquier topología dada . Las redes son generalizaciones directas de secuencias y a menudo pueden usarse de manera similar a las secuencias, por lo que la curva de aprendizaje para las redes suele ser mucho menos pronunciada que la de los filtros. Sin embargo, los filtros, y especialmente los ultrafiltros , tienen muchos más usos fuera de la topología, como en la teoría de conjuntos , la lógica matemática , la teoría de modelos ( ultraproductos , por ejemplo), el álgebra abstracta , ^{[ 3 ]} la combinatoria , ^{[ 4 ]} la dinámica , ^{[ 4 ]} la teoría del orden , los espacios de convergencia generalizados , los espacios de Cauchy y en la definición y el uso de números hiperreales .

Al igual que las secuencias, las redes son funciones y, por lo tanto, tienen las ventajas de las funciones . Por ejemplo, al igual que las secuencias, las redes se pueden "conectar" a otras funciones, donde "conectar" es simplemente la composición de funciones . Los teoremas relacionados con las funciones y la composición de funciones se pueden aplicar a las redes. Un ejemplo es la propiedad universal de los límites inversos , que se define en términos de composición de funciones en lugar de conjuntos y se aplica más fácilmente a funciones como las redes que a conjuntos como los filtros (un ejemplo destacado de límite inverso es el producto cartesiano ). Los filtros pueden ser difíciles de usar en ciertas situaciones, como cuando se cambia entre un filtro en un espacio${\displaystyle X}$y un filtro en un subespacio denso${\displaystyle S\subseteq X.}$^{[ 5 ]}

A diferencia de las redes, los filtros (y prefiltros) son familias de conjuntos y, por lo tanto, tienen las ventajas de los conjuntos . Por ejemplo, si${\displaystyle f}$es sobreyectiva entonces la imagen${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}}):=\left\{f^{-1}(B)~:~B\in {\mathcal {B}}\right\}}$bajo${\displaystyle f^{-1}}$de un filtro o prefiltro arbitrario${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es fácil de definir y garantiza ser un prefiltro en${\displaystyle f}$dominio de, mientras que no está tan claro cómo retroceder (de forma inequívoca/sin elección ) una secuencia arbitraria (o red)${\displaystyle y_{\bullet }}$para obtener una secuencia o red en el dominio (a menos que${\displaystyle f}$también es inyectiva y, por consiguiente, una biyección, lo cual es un requisito estricto). De manera similar, la intersección de cualquier colección de filtros es, una vez más, un filtro, mientras que no está claro qué podría significar esto para secuencias o redes. Debido a que los filtros están compuestos de subconjuntos del mismo espacio topológico${\displaystyle X}$En lo que se está considerando, se pueden aplicar operaciones topológicas de conjuntos (como cierre o interior ) a los conjuntos que constituyen el filtro. Tomar el cierre de todos los conjuntos en un filtro a veces es útil en el análisis funcional, por ejemplo. Los teoremas y resultados sobre imágenes o preimágenes de conjuntos bajo una función también se pueden aplicar a los conjuntos que constituyen un filtro; un ejemplo de tal resultado podría ser una de las caracterizaciones de continuidad en términos de preimágenes de conjuntos abiertos/cerrados o en términos de los operadores de interior/cierre. Tipos especiales de filtros llamados ultrafiltros tienen muchas propiedades útiles que pueden ayudar significativamente a demostrar resultados. Una desventaja de las redes es su dependencia de los conjuntos dirigidos que constituyen sus dominios, que en general pueden no estar relacionados en absoluto con el espacio.${\displaystyle X.}$De hecho, la clase de redes en un conjunto dado${\displaystyle X}$es demasiado grande incluso para ser un conjunto (es una clase propiamente dicha ); esto se debe a que las redes en${\displaystyle X}$puede tener dominios de cualquier cardinalidad . En contraste, la colección de todos los filtros (y de todos los prefiltros) en${\displaystyle X}$es un conjunto cuya cardinalidad no es mayor que la de${\displaystyle \wp (\wp (X)).}$ Similar a una topología en${\displaystyle X,}$un filtro en${\displaystyle X}$es "intrínseco a${\displaystyle X}$" en el sentido de que ambas estructuras consisten enteramente en subconjuntos de${\displaystyle X}$y ninguna de las definiciones requiere ningún conjunto que no pueda construirse a partir de${\displaystyle X}$(como${\displaystyle \mathbb {N} }$o cualquier otro conjunto dirigido, que las secuencias y las redes requieren).

En este artículo, letras romanas mayúsculas como${\displaystyle S}$y${\displaystyle X}$denotan conjuntos (pero no familias a menos que se indique lo contrario) y${\displaystyle \wp (X)}$denotará el conjunto potencia de${\displaystyle X.}$Un subconjunto de un conjunto potencia se llama familia de conjuntos (o simplemente, familia ) donde es mayor que${\displaystyle X}$si es un subconjunto de${\displaystyle \wp (X).}$Las familias de conjuntos se denotarán mediante letras mayúsculas caligráficas como${\displaystyle {\mathcal {B}}}$,${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, y${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. Siempre que se necesiten estas suposiciones, entonces se debe asumir que${\displaystyle X}$no es vacío y que${\displaystyle {\mathcal {B}},{\mathcal {F}},}$etc. son familias de conjuntos más${\displaystyle X.}$

Los términos "prefiltro" y "base de filtro" son sinónimos y se utilizarán indistintamente.

Advertencia sobre definiciones y notaciones contradictorias.

Lamentablemente, en la teoría de filtros existen varios términos que distintos autores definen de forma diferente. Entre ellos se encuentran algunos de los más importantes, como «filtro». Si bien las distintas definiciones de un mismo término suelen solaparse considerablemente, debido a la naturaleza técnica de los filtros (y a la topología de conjuntos de puntos), estas diferencias en las definiciones a menudo tienen consecuencias importantes. Al consultar literatura matemática, se recomienda que los lectores verifiquen cómo el autor define la terminología relacionada con los filtros. Por este motivo, este artículo presentará claramente todas las definiciones tal como se utilizan. Desafortunadamente, no toda la notación relacionada con los filtros está bien establecida y algunas varían mucho en la literatura (por ejemplo, la notación para el conjunto de todos los prefiltros en un conjunto), por lo que en tales casos este artículo utiliza la notación más descriptiva o fácil de recordar.

La teoría de filtros y prefiltros está bien desarrollada y cuenta con numerosas definiciones y notaciones, muchas de las cuales se enumeran aquí de forma concisa para evitar que este artículo resulte demasiado extenso y facilitar la consulta de la notación y las definiciones. Sus propiedades importantes se describen más adelante.

Operaciones de conjuntos

Elcierre ascendente oisotonizaciónen${\displaystyle X}$^{[ 6 ] [ 7 ]} de unafamilia de conjuntos${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$es

${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}:=\{S\subseteq X~:~B\subseteq S{\text{ for some }}B\in {\mathcal {B}}\,\}={\textstyle \bigcup \limits _{B\in {\mathcal {B}}}}\{S~:~B\subseteq S\subseteq X\}}$

y de manera similar el cierre descendente de${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\downarrow }:=\{S\subseteq B~:~B\in {\mathcal {B}}\,\}={\textstyle \bigcup \limits _{B\in {\mathcal {B}}}}\wp (B).}$

A lo largo de,${\displaystyle f}$es un mapa.

Notación topológica

Denotemos el conjunto de todas las topologías en un conjunto${\displaystyle X{\text{ by }}\operatorname {Top} (X).}$ Suponer${\displaystyle \tau \in \operatorname {Top} (X),}$${\displaystyle S\subseteq X}$es cualquier subconjunto, y${\displaystyle x\in X}$es algún punto.

Si${\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq X}$entonces${\displaystyle \tau (S)={\textstyle \bigcap \limits _{s\in S}}\tau (s){\text{ and }}{\mathcal {N}}_{\tau }(S)={\textstyle \bigcap \limits _{s\in S}}{\mathcal {N}}_{\tau }(s).}$

Redes y sus colas

Un conjunto dirigido es un conjunto${\displaystyle I}$junto con un pedido anticipado , que se indicará por${\displaystyle \,\leq \,}$(a menos que se indique explícitamente lo contrario), eso hace que${\displaystyle (I,\leq )}$en un conjunto dirigido ( hacia arriba ) ; ^{[ 15 ]} esto significa que para todo${\displaystyle i,j\in I,}$existe algo${\displaystyle k\in I}$de tal manera que${\displaystyle i\leq k{\text{ and }}j\leq k.}$Para cualquier índice${\displaystyle i{\text{ and }}j,}$la notación${\displaystyle j\geq i}$se define como significa${\displaystyle i\leq j}$mientras${\displaystyle i<j}$se define para significar que${\displaystyle i\leq j}$se sostiene pero no es cierto que${\displaystyle j\leq i}$(si${\displaystyle \,\leq \,}$es antisimétrico entonces esto es equivalente a${\displaystyle i\leq j{\text{ and }}i\neq j}$).

Una red en${\displaystyle X}$^{[ 15 ]} es una aplicación de un conjunto dirigido no vacío a${\displaystyle X.}$ La notación${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$se utilizará para denotar una red con dominio${\displaystyle I.}$

Advertencia sobre el uso de comparaciones estrictas

Si${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$es una red y${\displaystyle i\in I}$entonces es posible que el conjunto${\displaystyle x_{>i}=\left\{x_{j}~:~j>i{\text{ and }}j\in I\right\},}$que se llama la cola de${\displaystyle x_{\bullet }}$después${\displaystyle i}$, estar vacío (por ejemplo, esto sucede si${\displaystyle i}$es una cota superior del conjunto dirigido${\displaystyle I}$). En este caso, la familia${\displaystyle \left\{x_{>i}~:~i\in I\right\}}$contendría el conjunto vacío, lo que impediría que fuera un prefiltro (definido más adelante). Esta es la razón (importante) para definir${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$como${\displaystyle \left\{x_{\geq i}~:~i\in I\right\}}$en vez de${\displaystyle \left\{x_{>i}~:~i\in I\right\}}$o incluso${\displaystyle \left\{x_{>i}~:~i\in I\right\}\cup \left\{x_{\geq i}~:~i\in I\right\}}$y es por esta razón que, en general, al tratar con el prefiltro de colas de una red, la desigualdad estricta${\displaystyle \,<\,}$no puede usarse indistintamente con la desigualdad${\displaystyle \,\leq .}$