Lema de subbase de Alexander

En matemáticas, específicamente en topología , el lema de subbase de Alexander establece que para que un espacio topológico sea compacto, es necesario y suficiente que cada cubierta abierta del espacio formado por conjuntos en una subbase (fija) tenga una subcubierta finita. Precisamente, ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

dado un espacio topológico${\displaystyle X}$y una subbase${\displaystyle S}$para ello, un subconjunto${\displaystyle K\subset X}$es compacto si y solo si para cada cubierta de${\displaystyle K}$que consta de conjuntos en${\displaystyle S}$, existe una subcubierta finita de la misma.

El lema, también conocido como teorema de subbase de Alexander , se debe a James Waddell Alexander II . Este lema se utiliza habitualmente para demostrar el teorema de Tychonoff .

Si${\displaystyle K}$es compacto, la existencia de una cubierta finita se cumple por definición. Por lo tanto, demostraremos lo contrario y, sin pérdida de generalidad, reemplazaremos${\displaystyle X}$por${\displaystyle K}$.

Supongamos, por contradicción, que el espacio${\displaystyle X}$no es compacto (por lo tanto${\displaystyle X}$es un conjunto infinito), sin embargo, cada cobertura subbásica de${\displaystyle {\mathcal {S}}}$tiene una subcubierta finita. Sea${\displaystyle \mathbb {S} }$denotamos el conjunto de todas las cubiertas abiertas de${\displaystyle X}$que no tienen ninguna subcubierta finita de${\displaystyle X.}$ Orden parcial${\displaystyle \mathbb {S} }$mediante la inclusión de subconjuntos y utilizando el lema de Zorn para encontrar un elemento.${\displaystyle {\mathcal {C}}\in \mathbb {S} }$que es un elemento máximo de${\displaystyle \mathbb {S} .}$ Observe que:

1. Desde${\displaystyle {\mathcal {C}}\in \mathbb {S} ,}$por definición de${\displaystyle \mathbb {S} ,}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$es una cubierta abierta de${\displaystyle X}$y no existe ningún subconjunto finito de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$que cubre${\displaystyle X}$(así que en particular,${\displaystyle {\mathcal {C}}}$es infinito).
2. La máxima de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$en${\displaystyle \mathbb {S} }$implica que si${\displaystyle V}$es un conjunto abierto de${\displaystyle X}$de tal manera que${\displaystyle V\not \in {\mathcal {C}}}$entonces ${\displaystyle {\mathcal {C}}\cup \{V\}}$tiene una subcubierta finita, que necesariamente debe ser de la forma${\displaystyle \{V\}\cup {\mathcal {C}}_{V}}$para algún subconjunto finito${\displaystyle {\mathcal {C}}_{V}}$de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$(este subconjunto finito depende de la elección de${\displaystyle V}$).

Comenzaremos mostrando que${\displaystyle {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}}$no es una portada de${\displaystyle X.}$ Supongamos que${\displaystyle {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}}$era una portada de${\displaystyle X,}$lo cual en particular implica que${\displaystyle {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}}$es una portada de${\displaystyle X}$por elementos de${\displaystyle {\mathcal {S}}.}$ La hipótesis del teorema sobre${\displaystyle {\mathcal {S}}}$implica que existe un subconjunto finito de${\displaystyle {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}}$que cubre${\displaystyle X,}$que simultáneamente también sería una subcubierta finita de${\displaystyle X}$por elementos de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$(desde${\displaystyle {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {C}}}$). Pero esto contradice${\displaystyle {\mathcal {C}}\in \mathbb {S} ,}$lo cual prueba que${\displaystyle {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}}$no cubre${\displaystyle X.}$

Desde${\displaystyle {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}}$no cubre${\displaystyle X,}$existe algo${\displaystyle x\in X}$que no está cubierto por${\displaystyle {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}}$(eso es,${\displaystyle x}$no está contenido en ningún elemento de${\displaystyle {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}}$). Pero dado que${\displaystyle {\mathcal {C}}}$cubre${\displaystyle X,}$También existen algunos${\displaystyle U\in {\mathcal {C}}}$de tal manera que${\displaystyle x\in U.}$ Resulta que${\displaystyle U\neq X}$, porque de lo contrario implicaría${\displaystyle {\mathcal {C}}}$tiene una subcubierta finita de${\displaystyle X}$, es decir, la subportada${\displaystyle \{U\}=\{X\},}$contradictorio${\displaystyle {\mathcal {C}}\in \mathbb {S} .}$Desde${\displaystyle U\neq X,}$y${\displaystyle {\mathcal {S}}}$es un generador de subbases${\displaystyle X}$topología de (junto con${\displaystyle X}$), a partir de la definición de la topología generada por${\displaystyle {\mathcal {S}},}$Debe existir una colección finita de conjuntos abiertos subbásicos.${\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{n}\in {\mathcal {S}}}$con${\displaystyle n\geq 1}$de tal manera que $${\displaystyle x\in S_{1}\cap \cdots \cap S_{n}\subseteq U.}$$

Ahora demostraremos por contradicción que${\displaystyle S_{i}\not \in {\mathcal {C}}}$por cada${\displaystyle i=1,\ldots ,n.}$ Si${\displaystyle i}$era tal que${\displaystyle S_{i}\in {\mathcal {C}},}$entonces también${\displaystyle S_{i}\in {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}}$por lo tanto el hecho de que${\displaystyle x\in S_{i}}$eso implicaría entonces que${\displaystyle x}$está cubierto por${\displaystyle {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}},}$lo cual contradice cómo${\displaystyle x}$fue elegido (recuerde que${\displaystyle x}$fue elegido específicamente para que no estuviera cubierto por${\displaystyle {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}}$).

Como se mencionó anteriormente, la máxima de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$en${\displaystyle \mathbb {S} }$implica que para cada${\displaystyle i=1,\ldots ,n,}$existe un subconjunto finito${\displaystyle {\mathcal {C}}_{S_{i}}}$de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$de tal manera que${\displaystyle \left\{S_{i}\right\}\cup {\mathcal {C}}_{S_{i}}}$forma una cubierta finita de${\displaystyle X.}$ Definir $${\displaystyle {\mathcal {C}}_{F}:={\mathcal {C}}_{S_{1}}\cup \cdots \cup {\mathcal {C}}_{S_{n}},}$$ que es un subconjunto finito de${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$ Observe que para cada${\displaystyle i=1,\ldots ,n,}$${\displaystyle \left\{S_{i}\right\}\cup {\mathcal {C}}_{F}}$es una cubierta finita de${\displaystyle X}$así que reemplacemos cada${\displaystyle {\mathcal {C}}_{S_{i}}}$con${\displaystyle {\mathcal {C}}_{F}.}$

Dejar${\displaystyle \cup {\mathcal {C}}_{F}}$denotan la unión de todos los conjuntos en${\displaystyle {\mathcal {C}}_{F}}$(que es un subconjunto abierto de${\displaystyle X}$) y deja${\displaystyle Z}$denota el complemento de${\displaystyle \cup {\mathcal {C}}_{F}}$en${\displaystyle X.}$ Observe que para cualquier subconjunto${\displaystyle A\subseteq X,}$${\displaystyle \{A\}\cup {\mathcal {C}}_{F}}$cubiertas${\displaystyle X}$si y solo si${\displaystyle Z\subseteq A.}$ En particular, para cada${\displaystyle i=1,\ldots ,n,}$el hecho de que${\displaystyle \left\{S_{i}\right\}\cup {\mathcal {C}}_{F}}$cubiertas${\displaystyle X}$implica que${\displaystyle Z\subseteq S_{i}.}$ Desde${\displaystyle i}$fue arbitrario, tenemos${\displaystyle Z\subseteq S_{1}\cap \cdots \cap S_{n}.}$ Recordando que${\displaystyle S_{1}\cap \cdots \cap S_{n}\subseteq U,}$por lo tanto tenemos${\displaystyle Z\subseteq U,}$lo cual es equivalente a${\displaystyle \{U\}\cup {\mathcal {C}}_{F}}$ser una portada de${\displaystyle X.}$ Además,${\displaystyle \{U\}\cup {\mathcal {C}}_{F}}$es una cubierta finita de${\displaystyle X}$con${\displaystyle \{U\}\cup {\mathcal {C}}_{F}\subseteq {\mathcal {C}}.}$ De este modo${\displaystyle {\mathcal {C}}}$tiene una subcubierta finita de${\displaystyle X,}$lo cual contradice el hecho de que${\displaystyle {\mathcal {C}}\in \mathbb {S} .}$ Por lo tanto, la suposición original de que${\displaystyle X}$no es compacto debe estar mal, lo que prueba que${\displaystyle X}$es compacto.${\displaystyle \blacksquare }$

Aunque esta demostración utiliza el lema de Zorn , no necesita toda la fuerza de elección. En cambio, se basa en el principio de ultrafiltro intermedio . ^{[ 2 ]}

El teorema de Tychonoff , que establece que el producto de espacios compactos no vacíos es compacto, tiene una demostración breve utilizando el lema.

La topología del producto en${\displaystyle \prod _{i}X_{i}}$tiene, por definición, una subbase que consiste en conjuntos de cilindros que son las proyecciones inversas de un conjunto abierto en un factor. Dada una familia subbásica${\displaystyle C}$del producto que no tiene un subconjunto finito que cubra${\displaystyle X}$(no requerimos${\displaystyle C}$es una portada de${\displaystyle X}$), podemos particionar${\displaystyle C=\cup _{i}C_{i}}$en subfamilias que consisten exactamente en aquellos conjuntos de cilindros que corresponden a un espacio factorial dado. Por suposición,${\displaystyle C_{i}}$no tiene una cobertura finita de${\displaystyle X}$Al ser conjuntos de cilindros, esto significa que sus proyecciones sobre${\displaystyle X_{i}}$no tienen cobertura finita de${\displaystyle X_{i}}$. Dado que cada${\displaystyle X_{i}}$es compacto, estas proyecciones no cubren${\displaystyle X_{i}}$. Encuentra un punto${\displaystyle x_{i}\in X_{i}}$no está contenido en ninguna de las proyecciones de${\displaystyle C_{i}}$sobre${\displaystyle X_{i}}$. Repitiendo esto para todos${\displaystyle C_{i}}$da un punto${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i}\in \prod _{i}X_{i}}$que no está cubierto por${\displaystyle C}$.${\displaystyle \blacksquare }$

Nótese que en el último paso utilizamos implícitamente el axioma de elección (que en realidad es equivalente al lema de Zorn ) para asegurar la existencia de${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i}.}$

• Goubault-Larrecq, Jean (2013). Topología no Hausdorff y teoría de dominios: temas selectos en topología de conjuntos de puntos . Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-03413-6.
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol.  8 (Segunda  edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5OCLC 21163277​​ 

• https://stacks.math.columbia.edu/tag/08ZP