Filtro genérico

En el campo matemático de la teoría de conjuntos , un filtro genérico es un tipo de objeto utilizado en la teoría de forzamiento , una técnica empleada para diversos fines, pero especialmente para establecer la independencia de ciertas proposiciones respecto de ciertas teorías formales , como ZFC . Por ejemplo, Paul Cohen utilizó el forzamiento para demostrar que ZFC, si es consistente , no puede probar la hipótesis del continuo , que establece que existen exactamente${\displaystyle \aleph _{1}}$números reales . En la reinterpretación contemporánea de la prueba de Cohen, se procede construyendo un filtro genérico que codifica más que${\displaystyle \aleph _{1}}$reales, sin cambiar el valor de${\displaystyle \aleph _{1}}$.

Formalmente, sea P un conjunto parcialmente ordenado y sea F un filtro en P ; es decir, F es un subconjunto de P tal que:

1. F no es vacío
2. Si p , q ∈ P y p ≤ q y p es un elemento de F , entonces q es un elemento de F ( F es cerrado hacia arriba )     
3. Si p y q son elementos de F , entonces existe un elemento r de F tal que r ≤ p y r ≤ q ( F está dirigido hacia abajo ).    

Ahora bien, si D es una colección de subconjuntos abiertos densos de P , en la topología cuyos conjuntos abiertos básicos son todos los conjuntos de la forma { q ∈ P | q ≤ p } para un p particular en P , entonces se dice que F es D -genérico si F satisface todos los conjuntos en D ; es decir,    

${\displaystyle F\cap E\neq \varnothing,\,}$para todo E ∈ D .

De manera similar, si M es un modelo transitivo de ZFC (o algún fragmento suficiente de ZFC), con P un elemento de M (parcialmente ordenado por ∈), entonces se dice que F es M -genérico , o a veces genérico sobre M , si F satisface todos los subconjuntos abiertos densos de P que son elementos de M.

• 1-genérico – Propiedades que contienen ejemplos típicos. Páginas que muestran descripciones breves de los destinos de redirección en la computabilidad. 
• Lema de Rasiowa-Sikorski - Lema matemático