Propiedad genérica

En matemáticas , las propiedades que se cumplen para ejemplos "típicos" se denominan propiedades genéricas . Por ejemplo, una propiedad genérica de una clase de funciones es aquella que se cumple para "casi todas" esas funciones, como en las afirmaciones: "Un polinomio genérico no tiene raíz en cero" o "Una matriz cuadrada genérica es invertible ". Otro ejemplo es una propiedad genérica de un espacio, que se cumple en "casi todos" los puntos del espacio, como en la afirmación: "Si f  : M → N es una función suave entre variedades suaves , entonces un punto genérico de N no es un valor crítico de f ". (Esto se deduce del teorema de Sard ).

En matemáticas existen muchas nociones diferentes de "genérico" (lo que se entiende por "casi todos"), con nociones duales correspondientes de "casi ninguno" ( conjunto insignificante ); las dos clases principales son:

• En teoría de la medida , una propiedad genérica es aquella que se cumple casi en todas partes , siendo el concepto dual el conjunto nulo , que significa "con probabilidad 0".
• En topología y geometría algebraica , una propiedad genérica es aquella que se cumple en un conjunto abierto denso , o más generalmente en un conjunto residual , siendo el concepto dual un conjunto denso en ninguna parte , o más generalmente un conjunto escaso .

Hay varios ejemplos naturales donde esas nociones no son iguales. ^{[ 1 ]} Por ejemplo, el conjunto de números de Liouville es genérico en el sentido topológico, pero tiene medida de Lebesgue cero. ^{[ 2 ]}

En teoría de la medida , una propiedad genérica es aquella que se cumple casi en todas partes . El concepto dual es un conjunto nulo , es decir, un conjunto de medida cero.

En matemáticas discretas , el término «casi todos» se usa para referirse a cofinitos (todos excepto un número finito), cocontables (todos excepto un número numerable), para números suficientemente grandes o, a veces, asintóticamente casi seguros . Este concepto es particularmente importante en el estudio de grafos aleatorios .

En topología y geometría algebraica , una propiedad genérica es aquella que se cumple en un conjunto abierto denso , o más generalmente en un conjunto residual (una intersección numerable de conjuntos abiertos densos), siendo el concepto dual un conjunto cerrado no denso en ninguna parte , o más generalmente un conjunto escaso (una unión numerable de conjuntos cerrados no densos en ninguna parte).

Sin embargo, la densidad por sí sola no basta para caracterizar una propiedad genérica. Esto se observa incluso en los números reales , donde tanto los racionales como su complemento, los irracionales, son densos. Dado que no tiene sentido afirmar que tanto un conjunto como su complemento exhiben un comportamiento típico, ni los racionales ni los irracionales pueden considerarse conjuntos lo suficientemente grandes como para ser típicos. Por consiguiente, nos basamos en la definición más estricta anterior, que implica que los irracionales son típicos y los racionales no.

En las aplicaciones, si una propiedad se cumple en un conjunto residual , puede que no se cumpla para cada punto, pero perturbarlo ligeramente generalmente hará que uno se encuentre dentro del conjunto residual (por ninguna parte la densidad de los componentes del conjunto reducido), y estos son, por lo tanto, los casos más importantes a abordar en teoremas y algoritmos.

En computabilidad y aleatoriedad algorítmica , una cadena infinita de números naturales${\displaystyle f\in \omega ^{\omega }}$se denomina 1-genérico si, para cada conjunto ce${\displaystyle W\subseteq \omega ^{<\omega }}$, cualquiera${\displaystyle f}$tiene un segmento inicial${\displaystyle \sigma }$en${\displaystyle W}$, o${\displaystyle f}$tiene un segmento inicial${\displaystyle \sigma }$de tal manera que cada extensión${\displaystyle \tau \succcurlyeq \sigma }$no está en W. Los 1-genéricos son importantes en la computabilidad, ya que muchas construcciones pueden simplificarse considerando un 1-genérico apropiado. ^{[ 3 ]} Algunas propiedades clave son:

• Un 1-genérico contiene cada número natural como un elemento;
• Ningún 1-genérico es computable (ni siquiera está acotado por una función computable);
• Todos los genéricos 1${\displaystyle f}$son generalmente bajos :${\displaystyle f'\equiv _{\mathrm {T} }f\oplus \varnothing '}$.

La 1-genericidad está conectada con la noción topológica de "genérico", como sigue. Espacio de Baire${\displaystyle \omega ^{\omega }}$tiene una topología con conjuntos abiertos básicos${\displaystyle [\sigma ]=\{f:\sigma \preccurlyeq f\}}$para cada cadena finita de números naturales${\displaystyle \sigma \in \omega ^{<\omega }}$. Luego, un elemento${\displaystyle f\in \omega ^{\omega }}$es 1-genérico si y solo si no está en el límite de ningún conjunto abierto. En particular, se requiere que los 1-genéricos satisfagan todo conjunto abierto denso (aunque esta es una propiedad estrictamente más débil, llamada débilmente 1-genérico ).

• Teorema de Sard : Si${\displaystyle f\colon M\to N}$es una función suave entre variedades suaves , entonces un punto genérico de N no es un valor crítico de f ; los valores críticos de f son un conjunto nulo en N.
• Criterio jacobiano / suavidad genérica : Un punto genérico de una variedad sobre un campo de característica cero es suave.
• La controlabilidad y la observabilidad de los sistemas lineales invariantes en el tiempo son genéricas tanto en el sentido topológico como en el de la teoría de la medida. ^{[ 4 ]}

• Wiggins, Stephen (2003), Introducción a los sistemas dinámicos no lineales aplicados y al caos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-00177-7
• Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Principios de geometría algebraica , Wiley Classics Library, Nueva York: John Wiley & Sons , doi : 10.1002/9781118032527 , ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523