Microcontinuidad

En el análisis no estándar , una disciplina dentro de las matemáticas clásicas, la microcontinuidad (o S -continuidad) de una función interna f en un punto a se define de la siguiente manera:

Para todo x infinitamente cercano a a , el valor f ( x ) es infinitamente cercano a f ( a ).

Aquí x recorre el dominio de f . En fórmulas, esto se puede expresar de la siguiente manera:

si${\displaystyle x\approx a}$entonces${\displaystyle f(x)\approx f(a)}$.

Para una función f definida en${\displaystyle \mathbb {R} }$, la definición puede expresarse en términos del halo de la siguiente manera: f es microcontinua en${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$si y solo si${\displaystyle f(hal(c))\subseteq hal(f(c))}$donde la extensión natural de f a los hiperreales todavía se denota f . Alternativamente, la propiedad de microcontinuidad en c puede expresarse indicando que la composición${\displaystyle {\text{st}}\circ f}$es constante en el halo de c , donde "st" es la función parte estándar .

La propiedad moderna de continuidad de una función fue definida por primera vez por Bolzano en 1817. Sin embargo, el trabajo de Bolzano no fue reconocido por la comunidad matemática en general hasta su redescubrimiento por Heine en la década de 1860. Mientras tanto, el libro de texto de Cauchy , Cours d'Analyse, definió la continuidad en 1821 utilizando infinitesimales como se indicó anteriormente. ^{[ 1 ]}

La propiedad de microcontinuidad se aplica típicamente a la extensión natural f* de una función real f . Así, f definida en un intervalo real I es continua si y solo si f* es microcontinua en cada punto de I. Por otro lado, f es uniformemente continua en I si y solo si f* es microcontinua en cada punto (estándar y no estándar) de la extensión natural I* de su dominio I (véase Davis, 1977, p.  96).

La función real${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}}$en el intervalo abierto (0,1) no es uniformemente continuo porque la extensión natural f* de f no es microcontinua en un infinitesimal.${\displaystyle a>0}$. De hecho, para tal a , los valores a y 2a están infinitamente cerca, pero los valores de f* , es decir${\displaystyle {\tfrac {1}{a}}}$y${\displaystyle {\tfrac {1}{2a}}}$no están infinitamente cerca.

La función${\displaystyle f(x)=x^{2}}$en${\displaystyle \mathbb {R} }$no es uniformemente continua porque f* no es microcontinua en un punto infinito.${\displaystyle H\in \mathbb {R} ^{*}}$. Es decir, establecer${\displaystyle e={\tfrac {1}{H}}}$y K  = H + e , se ve fácilmente que H y K están infinitamente cerca, pero f *( H ) y f *( K ) no están infinitamente cerca.   

La convergencia uniforme admite de manera similar una definición simplificada en un entorno hiperreal. Por lo tanto, una secuencia${\displaystyle f_{n}}$converge a f uniformemente si para todo x en el dominio de f* y todo n infinito ,${\displaystyle f_{n}^{*}(x)}$está infinitamente cerca de${\displaystyle f^{*}(x)}$.

• Función de pieza estándar

• Martin Davis (1977) Análisis no estándar aplicado. Matemáticas puras y aplicadas. Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], Nueva York-Londres-Sídney. xii+181 pp. ISBN 0-471-19897-8
• Gordon, EI; Kusraev, AG; Kutateladze , SS: Análisis infinitesimal. Traducción actualizada y revisada del original ruso de 2001. Traducido por Kutateladze. Matemáticas y sus aplicaciones, 544. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2002.