Conjunto interno

En lógica matemática , en particular en teoría de modelos y análisis no estándar , un conjunto interno es un conjunto que pertenece a un modelo.

El concepto de conjuntos internos es una herramienta para formular el principio de transferencia , que se refiere a la relación lógica entre las propiedades de los números reales R y las propiedades de un cuerpo mayor , denotado * R, llamado números hiperreales . El cuerpo * R incluye, en particular, los números infinitesimales ("infinitamente pequeños"), lo que proporciona una justificación matemática rigurosa para su uso. En términos generales, la idea es expresar el análisis sobre R en un lenguaje adecuado de lógica matemática y luego señalar que este lenguaje se aplica igualmente bien a * R . Esto resulta posible porque, a nivel de teoría de conjuntos , las proposiciones en dicho lenguaje se interpretan como aplicables solo a conjuntos internos y no a todos los conjuntos (nótese que el término "lenguaje" se usa en un sentido amplio en lo anterior).

La teoría de conjuntos internos de Edward Nelson es un enfoque axiomático del análisis no estándar (véase también Palmgren en análisis no estándar constructivo ). Las explicaciones infinitarias convencionales del análisis no estándar también utilizan el concepto de conjuntos internos.

En relación con la construcción ultrapotencial de los números hiperreales como clases de equivalencia de secuencias${\displaystyle \langle u_ {n}\rangle}$de los números reales, un subconjunto interno [ A _n ] de * R es uno definido por una secuencia de conjuntos reales.${\displaystyle \langle A_{n}\rangle }$, donde un hiperreal${\displaystyle [u_{n}]}$Se dice que pertenece al conjunto${\displaystyle [A_{n}]\subseteq \;^{*}\!{\mathbb {R} }}$si y solo si el conjunto de índices n tal que${\displaystyle u_{n}\in A_{n}}$, es un miembro del ultrafiltro utilizado en la construcción de * R .

En términos más generales, una entidad interna es un miembro de la extensión natural de una entidad real. Por lo tanto, todo elemento de * R es interno; un subconjunto de * R es interno si y solo si es un miembro de la extensión natural.${\displaystyle {}^{*}{\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}$del conjunto de potencia${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}$de R ; etc.

Todo subconjunto interno de * R que sea un subconjunto de (la copia incrustada de) R es necesariamente finito (véase el Teorema 3.9.1 de Goldblatt, 1998). En otras palabras, todo subconjunto interno infinito de los hiperreales contiene necesariamente elementos no estándar.

• Función de pieza estándar
• Superestructura (matemáticas)

• Goldblatt, Robert . Lecciones sobre los hiperreales . Una introducción al análisis no estándar. Textos de posgrado en matemáticas , 188. Springer-Verlag, Nueva York, 1998.
• Abraham Robinson (1996), Análisis no estándar , Princeton Landmarks in Mathematics and Physics, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04490-3