Principio de transferencia

En la teoría de modelos , un principio de transferencia establece que todas las proposiciones de un lenguaje que son verdaderas para una estructura determinada también lo son para otra estructura. Uno de los primeros ejemplos fue el principio de Lefschetz , que establece que cualquier enunciado en el lenguaje de primer orden de cuerpos que sea verdadero para los números complejos también lo es para cualquier cuerpo algebraicamente cerrado de característica 0 .

Leibniz describió una forma incipiente de un principio de transferencia bajo el nombre de « Ley de Continuidad ». ^{[ 1 ]} En este principio , se espera que los infinitesimales tengan las mismas propiedades que los números apreciables. El principio de transferencia también puede considerarse una formalización rigurosa del principio de permanencia . Se encuentran tendencias similares en Cauchy , quien utilizó infinitesimales para definir tanto la continuidad de las funciones (en Cours d'Analyse ) como una forma de la función delta de Dirac . ^{[ 1 ] : 903}

En 1955, Jerzy Łoś demostró el principio de transferencia para cualquier sistema de números hiperreales . Su uso más común se encuentra en el análisis no estándar de los números hiperreales de Abraham Robinson , donde el principio de transferencia establece que cualquier enunciado expresable en un lenguaje formal determinado que sea verdadero para los números reales también lo es para los números hiperreales.

El principio de transferencia se refiere a la relación lógica entre las propiedades de los números reales R y las propiedades de un cuerpo mayor, denominado * R, llamado números hiperreales . El cuerpo * R incluye, en particular, los números infinitesimales ("infinitamente pequeños"), lo que proporciona una realización matemática rigurosa de un proyecto iniciado por Leibniz.

La idea es expresar el análisis sobre R en un lenguaje adecuado de lógica matemática y luego señalar que este lenguaje se aplica igualmente bien a * R . Esto resulta posible porque, a nivel de teoría de conjuntos, las proposiciones en dicho lenguaje se interpretan para aplicarse solo a conjuntos internos, en lugar de a todos los conjuntos. Como lo expresó Robinson , las oraciones de [la teoría] se interpretan en * R en el sentido de Henkin . ^{[ 2 ]}

El teorema que establece que toda proposición válida sobre R , también es válida sobre * R , se denomina principio de transferencia.

Existen varias versiones diferentes del principio de transferencia, dependiendo del modelo de matemáticas no estándar que se utilice. En términos de teoría de modelos, el principio de transferencia establece que una aplicación de un modelo estándar a un modelo no estándar es una incrustación elemental (una incrustación que preserva los valores de verdad de todas las proposiciones en un lenguaje), o a veces una incrustación elemental acotada (similar, pero solo para proposiciones con cuantificadores acotados ).

El principio de transferencia parece conducir a contradicciones si no se maneja correctamente. Por ejemplo, dado que los números hiperreales forman un cuerpo ordenado no arquimediano y los reales forman un cuerpo ordenado arquimediano, la propiedad de ser arquimediano ("todo real positivo es mayor que..."${\displaystyle 1/n}$para algún entero positivo${\displaystyle n}$") parece a primera vista no satisfacer el principio de transferencia. La afirmación "todo hiperreal positivo es mayor que${\displaystyle 1/n}$para algún entero positivo${\displaystyle n}$" es falso; sin embargo, la interpretación correcta es "todo hiperreal positivo es mayor que${\displaystyle 1/n}$para algún hiperentero positivo${\displaystyle n}$"En otras palabras, los hiperreales parecen ser arquimedianos para un observador interno que vive en el universo no estándar, pero parecen no ser arquimedianos para un observador externo fuera del universo."

Una formulación accesible del principio de transferencia para estudiantes de primer año se encuentra en el libro de Keisler, Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach .

Históricamente, el concepto de número se ha generalizado repetidamente. La adición de 0 a los números naturales${\displaystyle \mathbb {N} }$fue un logro intelectual importante en su época. La suma de enteros negativos para formar${\displaystyle \mathbb {Z} }$ya constituía una desviación del ámbito de la experiencia inmediata al ámbito de los modelos matemáticos. La extensión posterior, los números racionales${\displaystyle \mathbb {Q} }$es más familiar para una persona común que su finalización${\displaystyle \mathbb {R} }$, en parte porque los números reales no corresponden a ninguna realidad física (en el sentido de medición y cálculo) diferente de la representada por${\displaystyle \mathbb {Q} }$Por lo tanto, la noción de número irracional carece de sentido incluso para la computadora de punto flotante más potente. La necesidad de tal extensión no surge de la observación física, sino de los requisitos internos de coherencia matemática. Los infinitesimales entraron en el discurso matemático en un momento en que dicha noción era necesaria debido a los avances matemáticos de la época, a saber, el surgimiento de lo que se conoció como cálculo infinitesimal . Como ya se mencionó anteriormente, la justificación matemática de esta última extensión se retrasó tres siglos. Keisler escribió:

Al hablar de la línea real, comentamos que no tenemos forma de saber cómo es realmente una línea en el espacio físico. Podría ser como la línea hiperreal, la línea real o ninguna de las dos. Sin embargo, en las aplicaciones del cálculo, resulta útil imaginar una línea en el espacio físico como una línea hiperreal.

El desarrollo autoconsistente de los hiperreales resultó posible si se asumía que toda proposición lógica verdadera de primer orden que utiliza aritmética básica (los números naturales , suma, multiplicación, comparación) y cuantifica solo sobre los números reales era verdadera en una forma reinterpretada si suponíamos que cuantificaba sobre los números hiperreales. Por ejemplo, podemos afirmar que para cada número real existe otro número mayor que él:

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad \exists y\in \mathbb {R} \quad x<y.}$

Lo mismo ocurrirá entonces con los hiperreales:

${\displaystyle \forall x\in {}^{\star }\mathbb {R} \quad \exists y\in {}^{\star }\mathbb {R} \quad x<y.}$

Otro ejemplo es la afirmación de que si le sumas 1 a un número obtienes un número mayor:

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad x<x+1}$

lo cual también será válido para los hiperreales:

${\displaystyle \forall x\in {}^{\star }\mathbb {R} \quad x<x+1.}$

La formulación general correcta que describe estas equivalencias se conoce como principio de transferencia. Cabe destacar que, en muchas fórmulas analíticas, la cuantificación se realiza sobre objetos de orden superior, como funciones y conjuntos, lo que hace que el principio de transferencia sea algo más complejo de lo que sugieren los ejemplos anteriores.

Sin embargo, el principio de transferencia no significa que R y * R tengan un comportamiento idéntico. Por ejemplo, en * R existe un elemento ω tal que

${\displaystyle 1<\omega ,\quad 1+1<\omega ,\quad 1+1+1<\omega ,\quad 1+1+1+1<\omega ,\ldots }$

Pero no existe tal número en R. Esto es posible porque la no existencia de este número no puede expresarse como una proposición de primer orden del tipo mencionado. Un número hiperreal como ω se denomina infinitamente grande; los recíprocos de los números infinitamente grandes son los infinitesimales.

Los hiperreales * R forman un cuerpo ordenado que contiene a los reales R como un subcuerpo. A diferencia de los reales, los hiperreales no forman un espacio métrico estándar , pero en virtud de su orden poseen una topología de orden .

Los hiperreales pueden desarrollarse tanto axiomáticamente como mediante métodos más constructivos. La esencia del enfoque axiomático radica en afirmar (1) la existencia de al menos un número infinitesimal y (2) la validez del principio de transferencia. En la siguiente subsección, presentamos un esquema detallado de un enfoque más constructivo. Este método permite construir los hiperreales a partir de un objeto de teoría de conjuntos denominado ultrafiltro , pero el ultrafiltro en sí mismo no puede construirse explícitamente. Vladimir Kanovei y Shelah ^{[ 3 ]} proporcionan una construcción de una extensión elemental definible y numerablemente saturada de la estructura que consta de los reales y todas las relaciones finitas sobre ella.

En su forma más general, la transferencia es una incrustación elemental delimitada entre estructuras.

El campo ordenado ^* R de números reales no estándar incluye propiamente el campo real R . Como todos los campos ordenados que incluyen propiamente a R , este campo no es arquimediano . Esto significa que algunos miembros x  ≠  0 de ^* R son infinitesimales , es decir,

${\displaystyle \underbrace {\left|x\right|+\cdots +\left|x\right|} _{n{\text{ terms}}}<1}$para cada número cardinal finito n.

El único infinitesimal en R es 0. Algunos otros miembros de ^* R , los recíprocos y de los infinitesimales distintos de cero, son infinitos, es decir,

${\displaystyle \underbrace {1+\cdots +1} _{n{\text{ terms}}}<\left|y\right|}$para cada número cardinal finito n.

El conjunto subyacente del campo ^* R es la imagen de R bajo una aplicación A ↦ ^* A de subconjuntos A de R a subconjuntos de ^* R . En cada caso  

${\displaystyle A\subseteq {^{*}\!A},}$

con igualdad si y solo si A es finito. Conjuntos de la forma ^* A para algún${\displaystyle \scriptstyle A\,\subseteq \,\mathbb {R} }$se denominan subconjuntos estándar de ^* R . Los conjuntos estándar pertenecen a una clase mucho más grande de subconjuntos de ^* R llamados conjuntos internos . De manera similar, cada función

${\displaystyle f:A\rightarrow \mathbb {R} }$

se extiende a una función

${\displaystyle {^{*}\!f}:{^{*}\!A}\rightarrow {^{*}\mathbb {R} };}$

Estas se denominan funciones estándar y pertenecen a la clase mucho más amplia de funciones internas . Los conjuntos y las funciones que no son internas son externas .

La importancia de estos conceptos radica en su papel en la siguiente proposición y queda ilustrada por los ejemplos que la siguen.

El principio de transferencia:

• Supongamos que una proposición que es verdadera de ^* R puede expresarse a través de funciones de un número finito de variables (por ejemplo, ( x , y ) ↦ x + y ), relaciones entre un número finito de variables (por ejemplo, x ≤ y ), conectores lógicos finitos como y , o , no , si...entonces... , y los cuantificadores       

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} {\text{ and }}\exists x\in \mathbb {R} .}$

Por ejemplo, una de esas proposiciones es

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \ \exists y\in \mathbb {R} \ x+y=0.}$

Tal proposición es verdadera en R si y solo si es verdadera en ^* R cuando el cuantificador

${\displaystyle \forall x\in {^{*}\!\mathbb {R} }}$

reemplaza

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,}$

y de manera similar para${\displaystyle \exists }$.

• Supongamos que una proposición que se puede expresar de forma tan sencilla como las consideradas anteriormente menciona algunos conjuntos particulares.${\displaystyle \scriptstyle A\,\subseteq \,\mathbb {R} }$. Dicha proposición es verdadera en R si y solo si es verdadera en ^* R con cada " A " reemplazado por el ^* A correspondiente . Aquí hay dos ejemplos:

• El conjunto

${\displaystyle [0,1]^{\ast }=\{\,x\in \mathbb {R} :0\leq x\leq 1\,\}^{\ast }}$

debe ser

${\displaystyle \{\,x\in {^{*}\mathbb {R} }:0\leq x\leq 1\,\},}$

incluyendo no solo los miembros de R entre 0 y 1 inclusive, sino también los miembros de ^* R entre 0 y 1 que difieren de ellos por infinitesimales. Para ver esto, observe que la oración

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \ (x\in [0,1]{\text{ if and only if }}0\leq x\leq 1)}$

es cierto en R y aplicamos el principio de transferencia.

• El conjunto ^* N no debe tener límite superior en ^* R (ya que la oración que expresa la no existencia de un límite superior de N en R es lo suficientemente simple como para que se le aplique el principio de transferencia) y debe contener n  +  1 si contiene n , pero no debe contener nada entre n y n  +  1. Miembros de

${\displaystyle {^{*}\mathbb {N} }\setminus \mathbb {N} }$

son "enteros infinitos".)

• Supongamos que una proposición que de otro modo se puede expresar de forma tan sencilla como las consideradas anteriormente contiene el cuantificador.

${\displaystyle \forall A\subseteq \mathbb {R} \dots {\text{ or }}\exists A\subseteq \mathbb {R} \dots \ .}$

Tal proposición es verdadera en R si y solo si es verdadera en ^* R después de los cambios especificados anteriormente y el reemplazo de los cuantificadores con

${\displaystyle [\forall {\text{ internal }}A\subseteq {^{*}\mathbb {R} }\dots ]}$

y

${\displaystyle [\exists {\text{ internal }}A\subseteq {^{*}\mathbb {R} }\dots ]\ .}$

El entorno apropiado para el principio de transferencia hiperreal es el mundo de las entidades internas . Por lo tanto, la propiedad de buen ordenamiento de los números naturales por transferencia produce el hecho de que cada subconjunto interno de${\displaystyle \mathbb {N} }$tiene un elemento mínimo. En esta sección se analizan con más detalle los conjuntos internos.

• Todo subconjunto interno no vacío de ^* R que tiene un límite superior en ^* R tiene un límite superior mínimo en ^* R . Por consiguiente, el conjunto de todos los infinitesimales es externo.
  • El principio de buen orden implica que cada subconjunto interno no vacío de ^* N tiene un miembro más pequeño. En consecuencia, el conjunto

${\displaystyle {^{*}\mathbb {N} }\setminus \mathbb {N} }$

de todos los enteros infinitos es externo.

• Si n es un entero infinito, entonces el conjunto {1,  ..., n } (que no es estándar) debe ser interno. Para demostrar esto, primero observemos que lo siguiente es trivialmente cierto: 

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \ \exists A\subseteq \mathbb {N} \ \forall x\in \mathbb {N} \ [x\in A{\text{ iff }}x\leq n].}$

Como consecuencia

${\displaystyle \forall n\in {^{*}\mathbb {N} }\ \exists {\text{ internal }}A\subseteq {^{*}\mathbb {N} }\ \forall x\in {^{*}\mathbb {N} }\ [x\in A{\text{ iff }}x\leq n].}$

• Al igual que con los conjuntos internos, ocurre lo mismo con las funciones internas: Reemplazar

${\displaystyle \forall f:A\rightarrow \mathbb {R} \dots }$

con

${\displaystyle \forall {\text{ internal }}f:{^{*}\!A}\rightarrow {^{*}\mathbb {R} }\dots }$

al aplicar el principio de transferencia, y de manera similar con${\displaystyle \exists }$en lugar de${\displaystyle \forall }$.

Por ejemplo: si n es un entero infinito, entonces el complemento de la imagen de cualquier función inyectiva interna ƒ del conjunto infinito {1,  ..., n } en {1, ..., n , n + 1, n + 2, n + 3} tiene exactamente tres elementos por el principio de transferencia. Debido a la infinitud del dominio, los complementos de las imágenes de las funciones inyectivas del primer conjunto al segundo tienen muchos tamaños, pero la mayoría de estas funciones son externas.            

Este último ejemplo motiva una definición importante: Un subconjunto *-finito (pronunciado *finito ) de ^* R es aquel que puede colocarse en correspondencia uno a uno interna con {1, ... ,  n } para algún n ∈ ^* N.   

• Cálculo elemental: un enfoque infinitesimal
• Principio de permanencia
• Generalidad del álgebra

• Chang, Chen Chung; Keisler, H. Jerome (1990) [1973], Teoría de modelos , Estudios en lógica y fundamentos de las matemáticas (3.ª  ed.), Elsevier , ISBN 978-0-444-88054-3
• Hardy, Michael: "Álgebras booleanas escaladas". Adv. in Appl. Math. 29 (2002), n.º 2, 243 – 292.
• Kanovei, Vladimir; Shelah, Saharon (2004), "Un modelo no estándar definible de los números reales" , Journal of Symbolic Logic , 69 : 159–164 , arXiv : math/0311165 , doi : 10.2178/jsl/1080938834 , S2CID 15104702 
• Keisler, H. Jerome (2000). "Cálculo elemental: un enfoque infinitesimal" .
• Kuhlmann, F.-V. (2001) [1994], "Principio de transferencia" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Łoś, Jerzy (1955) Quelques remarques, théorèmes et problèmes sur les classs définissables d'algèbres. Interpretación matemática de sistemas formales, págs.  98-113. North-Holland Publishing Co., Ámsterdam.
• Robinson, Abraham (1996), Análisis no estándar , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-04490-3, MR 0205854