Función inyectiva

En matemáticas , una función inyectiva (también conocida como inyección o función biyectiva ^{[ 1 ]} ) es una función f que asigna elementos distintos de su dominio a elementos distintos de su codominio; es decir, x₁ ≠ x₂ implica f ( _x₁ ) ≠ _f ( _x₂ ) ( _{o ,} equivalentemente, por contraposición , f ( x₁ ) = f ( _x₂ ) implica x₁ = _x₂ ) . En otras palabras, cada elemento del codominio de la función es la imagen de, como _máximo , un elemento de su dominio . ^{[ 2 ]} El término función biyectiva no debe confundirse con la correspondencia biyectiva , que se refiere a funciones biyectivas , las cuales son funciones tales que cada elemento del codominio es la imagen de exactamente un elemento del dominio.

Un homomorfismo entre estructuras algebraicas es una función compatible con las operaciones de dichas estructuras. Para todas las estructuras algebraicas comunes, y en particular para los espacios vectoriales , un homomorfismo inyectivo también se denomina monomorfismo . Sin embargo, en el contexto más general de la teoría de categorías , la definición de monomorfismo difiere de la de homomorfismo inyectivo. ^{[ 3 ]} Por lo tanto, se establece que son equivalentes para estructuras algebraicas; véase Homomorfismo §  Monomorfismo para más detalles.

Una función${\displaystyle f}$A lo que no es inyectivo se le llama a veces muchos a uno. ^{[ 2 ]}

Dejar${\displaystyle f}$sea ​​una función cuyo dominio es un conjunto${\displaystyle X}$⁠ . La función${\displaystyle f}$Se dice que es inyectivo siempre que para todos${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$en${\displaystyle X,}$si​${\displaystyle f(a)=f(b)}$⁠ , entonces ⁠${\displaystyle a=b}$; es decir,${\displaystyle f(a)=f(b)}$implica​${\displaystyle a=b}$⁠ . De forma equivalente, si ⁠${\displaystyle a\neq b}$, entonces${\displaystyle f(a)\neq f(b)}$en la proposición contrapositiva .

Simbólicamente,$${\displaystyle \forall a,b\in X,\;\;f(a)=f(b)\Rightarrow a=b,}$$ lo cual es lógicamente equivalente a la contrapositiva , ^{[ 4 ]}$${\displaystyle \forall a,b\in X,\;\;a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b).}$$Una función inyectiva (o, más generalmente, un monomorfismo) se suele denotar mediante las flechas especializadas ↣ o ↪ (por ejemplo,${\displaystyle f:A\rightarrowtail B}$o​${\displaystyle f:A\hookrightarrow B}$⁠ ), aunque algunos autores reservan específicamente ↪ para un mapa de inclusión . ^{[ 5 ]}

Para ver ejemplos visuales, los lectores pueden consultar la sección de la galería.

• Para cualquier conjunto${\displaystyle X}$y cualquier subconjunto${\displaystyle S\subsetequ X}$⁠ , el mapa de inclusión${\displaystyle S\to X}$(que envía cualquier elemento${\displaystyle s\in S}$(a sí mismo) es inyectivo. En particular, la función identidad${\displaystyle X\to X}$siempre es inyectivo (y de hecho biyectivo).
• Si el dominio de una función es el conjunto vacío , entonces la función es la función vacía , que es inyectiva.
• Si el dominio de una función tiene un solo elemento (es decir, es un conjunto unitario ), entonces la función siempre es inyectiva.
• La función${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$definido por${\displaystyle f(x)=2x+1}$es inyectivo.
• La función${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$definido por${\displaystyle g(x)=x^{2}}$no es inyectivo, porque (por ejemplo)${\displaystyle g(1)=1=g(-1).}$Sin embargo, si${\displaystyle g}$se redefine de modo que su dominio sean los números reales no negativos [0, +∞) , entonces${\displaystyle g}$es inyectivo.
• La función exponencial${\displaystyle \exp$ :\mathbb {R} \to \mathbb {R} } definido por${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$es inyectiva (pero no sobreyectiva , ya que ningún valor real se corresponde con un número negativo).
• La función del logaritmo natural${\displaystyle \ln$ :(0,\infty )\to \mathbb {R} } definido por${\displaystyle x\mapsto \ln x}$es inyectivo.
• La función${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$definido por${\displaystyle g(x)=x^{n}-x}$no es inyectivo, ya que, por ejemplo ,${\displaystyle g(0)=g(1)=0}$.​

En términos más generales, cuando${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$ambas son la línea real${\displaystyle \mathbb {R} }$⁠ , entonces una función inyectiva${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$es aquel cuya gráfica nunca es intersectada por ninguna línea horizontal más de una vez. Este principio se conoce como la prueba de la línea horizontal . ^{[ 2 ]}

Las funciones con inversas izquierdas son siempre inyectivas. Es decir, dado ⁠${\displaystyle f:X\to Y}$⁠ , si hay una función${\displaystyle g:Y\to X}$de tal manera que para cada${\displaystyle x\in X}$,​​${\displaystyle g(f(x))=x}$, entonces${\displaystyle f}$es inyectiva. La prueba es que $${\displaystyle f(a)=f(b)\rightarrow g(f(a))=g(f(b))\rightarrow a=b.}$$

En este caso,${\displaystyle g}$se denomina retracción de${\displaystyle f}$⁠ . Por el contrario,${\displaystyle f}$se llama una sección de${\displaystyle g}$Por ejemplo :${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{2},x\mapsto (1,m)^{\intercal }x}$es retractado por${\displaystyle g:y\mapsto {\frac {(1,m)}{1+m^{2}}}y}$.​

Por el contrario, cada inyección${\displaystyle f}$con un dominio no vacío tiene un inverso izquierdo${\displaystyle g}$Se puede definir eligiendo un elemento.${\displaystyle a}$en el dominio de${\displaystyle f}$y configuración${\displaystyle g(y)}$al elemento único de la preimagen${\displaystyle f^{-1}[y]}$(si no está vacío) o a${\displaystyle a}$(de lo contrario). ^{[ 6 ]}

La inversa izquierda${\displaystyle g}$no es necesariamente lo contrario de${\displaystyle f,}$porque la composición en el otro orden ,${\displaystyle f\circ g}$⁠ , puede diferir de la identidad en ⁠${\displaystyle Y}$En otras palabras , una función inyectiva puede ser "invertida" por una inversa izquierda, pero no es necesariamente invertible , lo que requiere que la función sea biyectiva.

De hecho, para convertir una función inyectiva${\displaystyle f:X\to Y}$Para convertirla en una función biyectiva (y por lo tanto invertible), basta con reemplazar su codominio.${\displaystyle Y}$por su imagen real${\displaystyle J=f(X).}$Es decir, dejemos${\displaystyle g:X\to J}$de tal manera que${\displaystyle g(x)=f(x)}$para todos${\displaystyle x\in X}$; entonces${\displaystyle g}$es biyectiva. En efecto,${\displaystyle f}$puede factorizarse como${\displaystyle \operatorname {In} _{J,Y}\circ g}$, donde${\displaystyle \operatorname {In} _{J,Y}}$es la función de inclusión de${\displaystyle J}$en​${\displaystyle Y}$.​

En términos más generales, las funciones parciales inyectivas se denominan biyecciones parciales .

• Si${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$son ambos inyectivos entonces${\displaystyle f\circ g}$es inyectivo.
• Si${\displaystyle g\circ f}$es inyectivo, entonces${\displaystyle f}$es inyectivo (pero${\displaystyle g}$no tiene por qué ser así).
• ${\displaystyle f:X\to Y}$es inyectiva si y solo si, dadas cualesquiera funciones ⁠${\displaystyle g}$⁠ ,${\displaystyle h:W\to X}$siempre que${\displaystyle f\circ g=f\circ h}$⁠ , entonces ⁠${\displaystyle g=h}$⁠ . En otras palabras, las funciones inyectivas son precisamente los monomorfismos en la categoría Conjunto de conjuntos.
• Si${\displaystyle f:X\to Y}$es inyectivo y${\displaystyle A}$es un subconjunto de${\displaystyle X}$⁠ , entonces ⁠${\displaystyle f^{-1}(f(A))=A}$⁠ . Por lo tanto,${\displaystyle A}$puede recuperarse a partir de su imagen${\displaystyle f(A)}$.​
• Si${\displaystyle f:X\to Y}$es inyectivo y${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$son ambos subconjuntos de${\displaystyle X}$⁠ , entonces ⁠${\displaystyle f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)}$.​
• Cada función${\displaystyle h:W\to Y}$puede descomponerse como${\displaystyle h=f\circ g}$para una inyección adecuada${\displaystyle f}$y sobreyección${\displaystyle g}$⁠ . Esta descomposición es única salvo isomorfismo , y${\displaystyle f}$puede considerarse como la función de inclusión del rango${\displaystyle h(W)}$de${\displaystyle h}$como un subconjunto del codominio${\displaystyle Y}$de​${\displaystyle h}$.​
• Si${\displaystyle f:X\to Y}$es una función inyectiva, entonces${\displaystyle Y}$tiene al menos tantos elementos como${\displaystyle X,}$en el sentido de los números cardinales . En particular, si, además, hay una inyección desde${\displaystyle Y}$a​​${\displaystyle X}$, entonces${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$tienen el mismo número cardinal. (Esto se conoce como el teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder ).
• Si ambos${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$son finitos con el mismo número de elementos, entonces${\displaystyle f:X\to Y}$es inyectiva si y solo si${\displaystyle f}$es sobreyectiva (en cuyo caso${\displaystyle f}$es biyectiva).
• Una función inyectiva que es un homomorfismo entre dos estructuras algebraicas es una incrustación .
• A diferencia de la sobreyectividad, que es una relación entre la gráfica de una función y su codominio, la inyectividad es una propiedad de la gráfica de la función en sí misma; es decir, si una función${\displaystyle f}$La inyectividad se puede determinar considerando únicamente el grafo (y no el codominio) de ⁠${\displaystyle f}$.​

Una prueba de que una función${\displaystyle f}$La inyectividad depende de cómo se presenta la función y de las propiedades que posee. Para las funciones que se dan mediante alguna fórmula, existe una idea básica. Utilizamos la definición de inyectividad, a saber, que si${\displaystyle f(x)=f(y)}$⁠ , entonces ⁠${\displaystyle x=y}$⁠ . ^{[ 7 ]}

Aquí tienes un ejemplo: $${\displaystyle f(x)=2x+3}$$

Prueba: Sea ⁠${\displaystyle f:X\to Y}$⁠ . Supongamos que ⁠${\displaystyle f(x)=f(y)}$⁠ . Entonces${\displaystyle 2x+3=2y+3}$implica​${\displaystyle 2x=2y}$⁠ , lo que implica ⁠${\displaystyle x=y}$Por lo tanto, se deduce de la definición que${\displaystyle f}$es inyectivo.

Existen otros métodos para demostrar que una función es inyectiva. Por ejemplo, en cálculo si${\displaystyle f}$es una función diferenciable definida en algún intervalo, entonces es suficiente demostrar que la derivada es siempre positiva o siempre negativa en ese intervalo. En álgebra lineal, si${\displaystyle f}$es una transformación lineal es suficiente demostrar que el núcleo de${\displaystyle f}$contiene solo el vector cero. Si${\displaystyle f}$es una función con dominio finito, es suficiente revisar la lista de imágenes de cada elemento del dominio y comprobar que ninguna imagen aparece dos veces en la lista.

Un enfoque gráfico para una función de valor real${\displaystyle f}$de una variable real${\displaystyle x}$es la prueba de la línea horizontal . Si cada línea horizontal interseca la curva de${\displaystyle f(x)}$en como máximo un punto, entonces${\displaystyle f}$es inyectivo o uno a uno.

• Biyección, inyección y sobreyección : propiedades de las funciones matemáticas. 
• Espacio métrico inyectivo – Tipo de espacio métrico 
• Función monótona : función matemática que conserva el orden. 
• Función univalente – Concepto matemático 

• Bartle, Robert G. (1976), Elementos de análisis real (2.ª  ed.), Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05464-1, pág.  17 y siguientes .
• Halmos, Paul R. (1974), Teoría ingenua de conjuntos , Nueva York: Springer, ISBN 978-0-387-90092-6, pág.  38 y siguientes .

• Primeros usos de algunos términos matemáticos: la entrada sobre inyección, sobreyección y biyección contiene la historia de la inyección y términos relacionados.
• Khan Academy – Funciones sobreyectivas (sobre) e inyectivas (uno a uno): Introducción a las funciones sobreyectivas e inyectivas