Indecomponibilidad (lógica intuicionista)

En el análisis intuicionista y en el análisis computable , la indecomponibilidad o indivisibilidad ( en alemán : Unzerlegbarkeit , del adjetivo unzerlegbar ) es el principio según el cual el continuo no puede dividirse en dos partes no vacías. Este principio fue establecido por Brouwer en 1928 ^[1] utilizando principios intuicionistas , y también puede demostrarse utilizando la tesis de Church . La propiedad análoga en el análisis clásico es el hecho de que toda función continua desde el continuo hasta {0,1} es constante.

Del principio de indecomponibilidad se sigue que cualquier propiedad de los números reales que se decida (cada número real tiene o no tiene esa propiedad) es de hecho trivial (o todos los números reales tienen esa propiedad, o ninguno de ellos la tiene). A la inversa, si una propiedad de los números reales no es trivial, entonces la propiedad no está decidida para todos los números reales. Esto contradice la ley del tercio excluido , según la cual cada propiedad de los números reales está decidida; por lo tanto, dado que hay muchas propiedades no triviales, hay muchas particiones no triviales del continuo.

En la teoría de conjuntos constructivos (CZF), es consistente asumir que el universo de todos los conjuntos es indescomponible, de modo que cualquier clase para la cual se decide la membresía (cada conjunto es un miembro de la clase o no es miembro de la clase) está vacía o es el universo entero.

Véase también

Continuo indecomponible

Referencias

^ LEJ Brouwer (1928). "Intuitionistische Betrachtungen über den Formalismus". Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin : 48–52.Traducción al inglés del §1, véase la pág. 490-492 de: J. van Heijenoort, ed. (1967). From Frege to Gödel – A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. Cambridge/MA: Harvard University Press. ISBN 9780674324497.

Dalen, Dirk van (1997). "¿Qué tan conectado está el continuo intuicionista?". The Journal of Symbolic Logic . 62 (4): 1147–1150. doi :10.2307/2275631. JSTOR 2275631. S2CID 7335245.
Kleene, Stephen Cole ; Vesley, Richard Eugene (1965). Los fundamentos de las matemáticas intuicionistas . Holanda Septentrional. p. 155.
Rathjen, Michael (2010). "Propiedades metamatemáticas de las teorías de conjuntos intuicionistas con principios de elección" (PDF) . En Cooper; Löwe; Sorbi (eds.). Nuevos paradigmas computacionales . Nueva York: Springer . ISBN. 9781441922632Archivado desde el original (PDF) el 19 de mayo de 2011. Consultado el 14 de mayo de 2008 .

[1] LEJ Brouwer (1928). "Intuitionistische Betrachtungen über den Formalismus". Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin : 48–52.Traducción al inglés del §1, véase la pág. 490-492 de: J. van Heijenoort, ed. (1967). From Frege to Gödel – A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. Cambridge/MA: Harvard University Press. ISBN 9780674324497.