Contraposición

En lógica y matemáticas , la contraposición , o transposición , se refiere a la inferencia de pasar de una proposición condicional a su contrapositiva lógicamente equivalente , y a un método de prueba asociado conocido como prueba por contrapositiva . La contrapositiva de una proposición tiene su antecedente y consecuente negados e intercambiados .

Declaración condicional $P\rightarrow Q$ . En fórmulas : la contrapositiva de $P\rightarrow Q$ es $\neg Q\rightarrow \neg P$ . ^{[ 1 ]}

Si P , entonces Q. — Si no Q , entonces no P. " Si llueve, entonces me pongo el abrigo ." — "Si no me pongo el abrigo, entonces no llueve ."

La ley de contraposición establece que una proposición condicional es verdadera si y solo si su contrapositiva es verdadera. ^{[ 2 ]}

Contraposición ( $\neg Q\rightarrow \neg P$ ) se puede comparar con otras tres operaciones:

Inversión (la inversa), $\neg P\rightarrow \neg Q$: "Si no llueve, no me pongo el abrigo ". A diferencia de la contrapositiva, el valor de verdad de la inversa no depende en absoluto de si la proposición original era verdadera o no, como se demuestra aquí.
Conversión (lo contrario), $Q\rightarrow P$: "Si me pongo el abrigo, entonces está lloviendo ". La recíproca es en realidad la contrapositiva de la inversa, por lo que siempre tiene el mismo valor de verdad que la inversa (que, como se mencionó anteriormente, no siempre comparte el mismo valor de verdad que la proposición original).
Negación (el complemento lógico), $\neg (P\rightarrow Q)$: " No es cierto que si llueve me ponga el abrigo .", o, de forma equivalente, " A veces, cuando llueve, no me pongo el abrigo ". Si la negación es verdadera, entonces la proposición original (y, por extensión, la contrapositiva) es falsa.

Tenga en cuenta que si $P\rightarrow Q$ es cierto y se da que $Q$ es falso (es decir, $\neg Q$ ), entonces se puede concluir lógicamente que $P$ También debe ser falso (es decir, $\neg P$ ). Esto se suele llamar ley de la contrapositiva o regla de inferencia modus tollens . ^[³^]

Explicación intuitiva

En el diagrama de Euler que se muestra, si algo está en A, también debe estar en B. Por lo tanto, podemos interpretar "todo A está en B" como:

A\to B

También es evidente que cualquier cosa que no esté dentro de B (la región azul) tampoco puede estar dentro de A. Esta afirmación, que puede expresarse como:

\neg B\to \neg A

es la contrapositiva de la afirmación anterior. Por lo tanto, se puede decir que

(A\to B)\leftrightarrow (\neg B\to \neg A).

En la práctica, esta equivalencia puede utilizarse para facilitar la demostración de una afirmación. Por ejemplo, si se desea demostrar que todas las niñas de Estados Unidos (A) tienen el pelo castaño (B), se puede intentar demostrar directamente (B) (B). $A\to B$ comprobando que todas las niñas en los Estados Unidos tienen realmente cabello castaño, o intentando demostrarlo. $\neg B\to \neg A$ comprobando que todas las chicas sin cabello castaño están realmente fuera de los EE. UU. En particular, si se encontrara al menos una chica sin cabello castaño dentro de los EE. UU., entonces se habría refutado $\neg B\to \neg A$ y de forma equivalente $A\to B$ .

En general, para cualquier enunciado donde A implica B , no B siempre implica no A. Por lo tanto, probar o refutar cualquiera de estos enunciados prueba o refuta automáticamente el otro, ya que son lógicamente equivalentes entre sí.

Definición formal

Una proposición Q está implicada por una proposición P cuando se cumple la siguiente relación:

(P\to Q)

Esto indica que, "si $P$ , entonces $Q$ ", o, "si Sócrates es un hombre , entonces Sócrates es humano ". En una condicional como esta, $P$ es el antecedente y $Q$ es el consecuente . Una proposición es la contrapositiva de la otra solo cuando su antecedente es el consecuente negado de la otra, y viceversa. Por lo tanto, una contrapositiva generalmente toma la forma de:

(\neg Q\to \neg P).

Es decir, "Si no- $Q$ , entonces no- $P$ ", o, más claramente, "Si $Q$ Si no es así, entonces P no es así. Siguiendo nuestro ejemplo, esto se traduce como: «Si Sócrates no es humano , entonces Sócrates no es un hombre ». Se dice que esta afirmación se opone a la original y es lógicamente equivalente a ella. Debido a su equivalencia lógica , afirmar una implica necesariamente la otra; cuando una es verdadera , la otra también lo es, y cuando una es falsa, la otra también lo es.

Estrictamente hablando, una contraposición solo puede existir en dos condicionales simples. Sin embargo, una contraposición también puede existir en dos condicionales complejos y universales, si son similares. Por lo tanto, $\forall {x}(P{x}\to Q{x})$ , o "Todos $P$ s son $Q$ s," se opone a $\forall {x}(\neg Q{x}\to \neg P{x})$ , o "Todos los no- $Q$ s no son $P$ s." ^{[ 4 ]}

Notación de secuencias

La regla de transposición puede expresarse como un secuente :

(P\to Q)\vdash (\neg Q\to \neg P),

dónde $\vdash$ es un símbolo metalógico que significa que $(\neg Q\to \neg P)$ es una consecuencia sintáctica de $(P\to Q)$ en algún sistema lógico; o como regla de inferencia:

{\frac {P\to Q}{\therefore \neg Q\to \neg P}},

donde la regla es que dondequiera que haya una instancia de " $P\to Q$ " aparece en una línea de una prueba, puede ser reemplazado por " $\neg Q\to \neg P$ "; o como el enunciado de una tautología veritativo-funcional o un teorema de lógica proposicional. El principio fue enunciado como un teorema de lógica proposicional por Russell y Whitehead en Principia Mathematica como

(P\to Q)\to (\neg Q\to \neg P),

dónde $P$ y $Q$ son proposiciones expresadas en algún sistema formal .

Pruebas

Demostración simple por definición de condicional

En lógica de primer orden , la condicional se define como:

A\to B\,\leftrightarrow \,\neg A\lor B

que puede hacerse equivalente a su contrapositiva, como sigue:

{\begin{aligned}\neg A\lor B\,&\,\leftrightarrow B\lor \neg A\\\,&\,\leftrightarrow \neg B\to \neg A\end{aligned}}

Demostración sencilla por contradicción

Dejar:

(A\to B)\land \neg B

Se da que, si A es verdadera, entonces B es verdadera, y también se da que B no es verdadera. Podemos demostrar entonces que A no debe ser verdadera por contradicción. Porque si A fuera verdadera, entonces B también tendría que ser verdadera (por Modus Ponens ). Sin embargo, se da que B no es verdadera, por lo que tenemos una contradicción. Por lo tanto, A no es verdadera (suponiendo que se trata de enunciados bivalentes que son verdaderos o falsos):

(A\to B)\to (\neg B\to \neg A)

Podemos aplicar el mismo proceso a la inversa, partiendo de las siguientes suposiciones:

(\neg B\to \neg A)\land A

Aquí también sabemos que B es verdadero o falso. Si B no es verdadero, entonces A tampoco lo es. Sin embargo, se nos da que A es verdadero, por lo que la suposición de que B no es verdadero conduce a una contradicción, lo que significa que B no es falso. Por lo tanto, B debe ser verdadero.

(\neg B\to \neg A)\to (A\to B)

Al combinar las dos afirmaciones demostradas, obtenemos la equivalencia lógica buscada entre un condicional y su contrapositiva:

(A\to B)\equiv (\neg B\to \neg A)

Prueba más rigurosa de la equivalencia de las contrapositivas

La equivalencia lógica entre dos proposiciones significa que son verdaderas o falsas simultáneamente. Para demostrar que las contrapositivas son lógicamente equivalentes , necesitamos comprender cuándo la implicación material es verdadera o falsa.

P\to Q

Esto solo es falso cuando $P$ es cierto y $Q$ es falso. Por lo tanto, podemos reducir esta proposición a la afirmación "Falso cuando $P$ y no- $Q$ " (es decir, "Verdadero cuando no es el caso que $P$ y no- $Q$ "):

\neg (P\land \neg Q)

Los elementos de una conjunción pueden invertirse sin efecto alguno (por conmutatividad ):

\neg (\neg Q\land P)

Nosotros definimos $R$ como igual a " $\neg Q$ ", y $S$ como igual a $\neg P$ (de esto, $\neg S$ es igual a $\neg \neg P$ , que es igual a solo $P$ ):

\neg (R\land \neg S)

Esto se lee como "No es cierto que ( R sea verdadero y S sea falso)", que es la definición de un condicional material. Entonces podemos hacer esta sustitución:

R\to S

Al revertir R y S a $P$ y $Q$ , entonces obtenemos la contrapositiva deseada:

\neg Q\to \neg P

En el sistema de cálculo proposicional clásico

En los sistemas deductivos de tipo Hilbert para la lógica proposicional, solo un lado de la transposición se toma como axioma, y el otro como teorema. Describimos una demostración de este teorema en el sistema de tres axiomas propuesto por Jan Łukasiewicz :

A1.

\phi \to \left(\psi \to \phi \right)

A2.

\left(\phi \to \left(\psi \rightarrow \xi \right)\right)\to \left(\left(\phi \to \psi \right)\to \left(\phi \to \xi \right)\right)

A3.

\left(\lnot \phi \to \lnot \psi \right)\to \left(\psi \to \phi \right)

(A3) ya da una de las direcciones de la transposición. El otro lado, $(\psi \to \phi )\to (\neg \phi \to \neg \psi )$ , se demuestra a continuación, utilizando los siguientes lemas demostrados aquí :

(DN1)

\neg \neg p\to p

- Doble negación (en una dirección)

(DN2)

p\to \neg \neg p

- Doble negación (otra dirección)

(HS1)

(q\to r)\to ((p\to q)\to (p\to r))

- una forma de silogismo hipotético

(HS2)

(p\to q)\to ((q\to r)\to (p\to r))

- otra forma de silogismo hipotético .

También utilizamos el método del metateorema del silogismo hipotético como una forma abreviada de simplificar varios pasos de la demostración.

La demostración es la siguiente:

$q\to \neg \neg q$ (instancia de (DN2))
$(q\to \neg \neg q)\to ((p\to q)\to (p\to \neg \neg q))$ (instancia del (HS1)
$(p\to q)\to (p\to \neg \neg q)$ (de (1) y (2) por modus ponens)
$\neg \neg p\to p$ (instancia del (DN1))
$(\neg \neg p\to p)\to ((p\to \neg \neg q)\to (\neg \neg p\to \neg \neg q))$ (instancia del (HS2))
$(p\to \neg \neg q)\to (\neg \neg p\to \neg \neg q)$ (de (4) y (5) por modus ponens)
$(p\to q)\to (\neg \neg p\to \neg \neg q)$ (a partir de (3) y (6) utilizando el metateorema del silogismo hipotético)
$(\neg \neg p\to \neg \neg q)\to (\neg q\to \neg p)$ (instancia de (A3))
$(p\to q)\to (\neg q\to \neg p)$ (a partir de (7) y (8) utilizando el metateorema del silogismo hipotético)

Comparaciones

Ejemplos

Consideremos la afirmación " Todos los objetos rojos tienen color ". Esto se puede expresar de forma equivalente como " Si un objeto es rojo, entonces tiene color " .

La contrapositiva es: « Si un objeto no tiene color, entonces no es rojo ». Esto se deduce lógicamente de nuestra afirmación inicial y, al igual que esta, es evidentemente cierto.
La proposición inversa es: « Si un objeto no es rojo, entonces no tiene color ». Un objeto azul no es rojo y, por lo tanto, tiene color. En este caso, la proposición inversa es falsa.
La proposición inversa es: " Si un objeto tiene color, entonces es rojo ". Los objetos pueden tener otros colores, por lo que la proposición inversa es falsa.
La negación es " Existe un objeto rojo que no tiene color ". Esta afirmación es falsa porque la afirmación inicial que niega es verdadera.

En otras palabras, la contrapositiva es lógicamente equivalente a una proposición condicional dada , aunque no suficiente para una bicondicional .

De forma similar, consideremos la afirmación " Todos los cuadriláteros tienen cuatro lados ", o expresada de manera equivalente: " Si un polígono es un cuadrilátero, entonces tiene cuatro lados " .

La contrapositiva es: « Si un polígono no tiene cuatro lados, entonces no es un cuadrilátero ». Esto se deduce lógicamente y, por regla general, las contrapositivas comparten el valor de verdad de su condicional.
La inversa es: " Si un polígono no es un cuadrilátero, entonces no tiene cuatro lados ". En este caso, a diferencia del ejemplo anterior, la inversa de la afirmación es verdadera.
La proposición inversa es: " Si un polígono tiene cuatro lados, entonces es un cuadrilátero ". Nuevamente, en este caso, a diferencia del ejemplo anterior, la proposición inversa es verdadera.
La negación es " Hay al menos un cuadrilátero que no tiene cuatro lados ". Esta afirmación es claramente falsa.

Dado que la afirmación y su recíproca son verdaderas, se denomina bicondicional y puede expresarse como: « Un polígono es un cuadrilátero si y solo si tiene cuatro lados ». (La frase «si y solo si» a veces se abrevia como «si y solo si »). Es decir, tener cuatro lados es necesario para que un polígono sea un cuadrilátero y, por sí solo, suficiente para considerarlo como tal.

Verdad

Si una afirmación es verdadera, entonces su contrapositiva es verdadera (y viceversa).
Si una afirmación es falsa, entonces su contrapositiva es falsa (y viceversa).
Si la inversa de una afirmación es verdadera, entonces su recíproca es verdadera (y viceversa).
Si la inversa de una afirmación es falsa, entonces su recíproca es falsa (y viceversa).
Si la negación de una afirmación es falsa, entonces la afirmación es verdadera (y viceversa).
Si una proposición (o su contrapositiva) y la inversa (o la recíproca) son ambas verdaderas o ambas falsas, entonces se conoce como una bicondicional lógica .

Lógica tradicional

En lógica tradicional , la contraposición es una forma de inferencia inmediata en la que una proposición se infiere de otra y donde la primera tiene como sujeto el predicado contradictorio de la proposición lógica original . En algunos casos, la contraposición implica un cambio de la cualidad de la primera (es decir, afirmación o negación). ^[⁵^] Para su expresión simbólica en lógica moderna, véase la regla de transposición . La contraposición también tiene una aplicación filosófica distinta de los otros procesos de inferencia tradicionales de conversión y obversión , donde la equivocación varía según los diferentes tipos de proposiciones.

En la lógica tradicional , el proceso de contraposición es un esquema compuesto por varios pasos de inferencia que involucran proposiciones categóricas y clases . ^{[ 6 ]} Una proposición categórica contiene un sujeto y un predicado donde el impacto existencial de la cópula implica que la proposición se refiere a una clase con al menos un miembro , en contraste con la forma condicional de las proposiciones hipotéticas o materialmente implicativas , que son compuestos de otras proposiciones, por ejemplo "Si P, entonces Q" (P y Q son ambas proposiciones), y su impacto existencial depende de otras proposiciones donde se instancia la existencia de cuantificación (instanciación existencial), no de las proposiciones hipotéticas o materialmente implicativas mismas.

La contraposición completa es el intercambio y la negación simultáneos del sujeto y el predicado, y es válida solo para las proposiciones de tipo "A" y tipo "O" de la lógica aristotélica , mientras que es condicionalmente válida para las proposiciones de tipo "E" si se realiza un cambio de cantidad de universal a particular ( contraposición parcial ). Dado que el obverso válido se obtiene para los cuatro tipos (A, E, I y O) de proposiciones tradicionales, dando como resultado proposiciones con el contradictorio del predicado original, la contraposición (completa) se obtiene al convertir el obverso de la proposición original. Para las proposiciones "E", la contraposición parcial se puede obtener realizando adicionalmente un cambio de cantidad. Como no se dice nada en la definición de contraposición con respecto al predicado de la proposición inferida , este puede ser el sujeto original o su contradictorio, lo que resulta en dos contrapositivos que son obversos uno del otro en las proposiciones de tipo "A", "O" y "E". ^{[ 7 ]}

Por ejemplo: a partir de una proposición categórica original de tipo 'A',

Todos los residentes son votantes ,

lo cual presupone que todas las clases tienen miembros y la importancia existencial se presume en forma de proposiciones categóricas, se puede derivar primero por obversión la proposición de tipo 'E',

Ningún residente es abstencionista .

La contrapositiva de la proposición original se deriva entonces mediante la conversión a otra proposición de tipo 'E',

No hay residentes que no sean votantes .

El proceso se completa mediante una obversión adicional que da como resultado la proposición de tipo 'A' que es la contrapositiva obvertida de la proposición original,

Todos los que no votan son no residentes .

El esquema de contraposición: ^{[ 8 ]}

Nótese que la contraposición es una forma válida de inferencia inmediata solo cuando se aplica a proposiciones "A" y "O". No es válida para proposiciones "I", donde el reverso es una proposición "O" que no tiene recíproco válido . La contraposición de la proposición "E" es válida solo con limitaciones ( per accidens ). Esto se debe a que el reverso de la proposición "E" es una proposición "A" que no puede convertirse válidamente excepto por limitación, es decir, contraposición más un cambio en la cantidad de la proposición de universal a particular .

Además, cabe destacar que la contraposición es un método de inferencia que puede requerir el uso de otras reglas de inferencia. La contrapositiva es el resultado de la contraposición, con distintos resultados según sea esta completa o parcial. Las sucesivas aplicaciones de conversión y obversión dentro del proceso de contraposición pueden denominarse de diversas maneras.

El proceso de equivalencia lógica entre un enunciado y su contrapositiva, tal como se define en la lógica de clases tradicional, no es uno de los axiomas de la lógica proposicional . En la lógica tradicional, se infiere más de una contrapositiva de cada enunciado original. En lo que respecta a la proposición "A", esto se sortea en el simbolismo de la lógica moderna mediante la regla de transposición o ley de contraposición. En su uso técnico dentro del campo de la lógica filosófica, el término "contraposición" puede ser restringido por los lógicos (por ejemplo, Irving Copi , Susan Stebbing ) a la lógica tradicional y a las proposiciones categóricas. En este sentido, el uso del término "contraposición" se suele denominar "transposición" cuando se aplica a proposiciones hipotéticas o implicaciones materiales.

Forma de transposición

En la proposición inferida, el consecuente es el contradictorio del antecedente de la proposición original, y el antecedente de la proposición inferida es el contradictorio del consecuente de la proposición original. El símbolo de implicación material representa la proposición como hipotética, o en forma de "si-entonces", por ejemplo, "si P , entonces Q ".

La proposición bicondicional de la regla de transposición (↔) se refiere a la relación entre proposiciones hipotéticas (→) , donde cada proposición incluye un antecedente y un consecuente. En términos de inferencia lógica, transponer o convertir los términos de una proposición requiere la conversión de los términos de las proposiciones a ambos lados de la relación bicondicional; es decir, transponer o convertir ( P → Q ) a ( Q → P ) requiere que la otra proposición, ( ¬Q → ¬P ), se transponga o convierta a (¬P → ¬Q ) . De lo contrario, convertir los términos de una proposición y no de la otra invalida la regla, violando la condición suficiente y la condición necesaria de los términos de las proposiciones, donde la violación consiste en que la proposición modificada comete la falacia de negar el antecedente o afirmar el consecuente mediante una conversión ilícita .

La veracidad de la regla de transposición depende de las relaciones de condición suficiente y condición necesaria en lógica.

Condición suficiente

En la proposición "Si P , entonces Q ", la ocurrencia de P es razón suficiente para la ocurrencia de Q. P , como individuo o clase, implica materialmente a Q , pero la relación de Q con P es tal que la proposición recíproca "Si Q , entonces P " no necesariamente tiene condición suficiente. La regla de inferencia para la condición suficiente es el modus ponens , que es un argumento para la implicación condicional:

Premisa (1): Si P , entonces Q
Premisa (2): P
Conclusión: Por lo tanto, Q

Condición necesaria

Dado que la recíproca de la premisa (1) no es válida, lo único que se puede afirmar de la relación entre P y Q es que, en ausencia de Q , P no ocurre, lo que significa que Q es la condición necesaria para P. La regla de inferencia para la condición necesaria es modus tollens :

Premisa (1): Si P , entonces Q
Premisa (2): no Q
Conclusión: Por lo tanto, no P

Ejemplo de necesidad y suficiencia

Un ejemplo tradicionalmente utilizado por los lógicos para contrastar las condiciones suficientes y necesarias es la afirmación "Si hay fuego, entonces hay oxígeno". Un ambiente oxigenado es necesario para que haya fuego o combustión, pero el simple hecho de que exista un ambiente oxigenado no implica necesariamente que se esté produciendo fuego o combustión. Si bien se puede inferir que el fuego requiere la presencia de oxígeno, de la presencia de oxígeno no se puede inferir la proposición inversa: "Si hay oxígeno, entonces hay fuego". Lo único que se puede inferir de la proposición original es que "Si no hay oxígeno, entonces no puede haber fuego".

Relación de proposiciones

El símbolo para la bicondicional ("↔") significa que la relación entre las proposiciones es necesaria y suficiente, y se verbaliza como " si y solo si ", o, según el ejemplo "Si P , entonces Q 'si y solo si' si no Q , entonces no P ".

Las condiciones necesarias y suficientes pueden explicarse por analogía con los conceptos y las reglas de inferencia inmediata de la lógica tradicional. En la proposición categórica "Todo S es P ", se dice que el sujeto S es distribuido, es decir, que todos los miembros de su clase se agotan en su expresión. Por el contrario, no se puede decir que el predicado P sea distribuido o se agote en su expresión, ya que es indeterminado si cada instancia de un miembro de P como clase es también un miembro de S como clase. Lo único que se puede inferir válidamente es que "Algunos P son S ". Por lo tanto, la proposición de tipo "A" "Todo P es S " no puede inferirse por conversión de la proposición original de tipo "A" "Todo S es P ". Lo único que se puede inferir es la proposición de tipo "A" "Todo no P es no S " (nótese que ( P → Q ) y ( ¬Q → ¬P ) son ambas proposiciones de tipo "A"). Gramaticalmente, no se puede inferir "todos los mortales son hombres" de "Todos los hombres son mortales". Una proposición de tipo "A" solo se puede inferir inmediatamente por conversión cuando tanto el sujeto como el predicado están distribuidos, como en la inferencia "Todos los solteros son hombres no casados" de "Todos los hombres no casados son solteros".

Distinguido de la transposición

Aunque la mayoría de los autores usan los términos para lo mismo, algunos distinguen la transposición de la contraposición. En la lógica tradicional, el proceso de razonamiento de la transposición como regla de inferencia se aplica a proposiciones categóricas a través de la contraposición y la obversión , ^{[ 9 ]} una serie de inferencias inmediatas donde la regla de obversión se aplica primero a la proposición categórica original "Todo S es P "; produciendo la obversa "Ningún S es no- P ". En la obversión de la proposición original a una proposición de tipo "E", ambos términos se vuelven distribuidos. La obversa se convierte entonces, resultando en "Ningún no- P es S ", manteniendo la distribución de ambos términos. "Ningún no- P es S " se vuelve a obvertir, resultando en la [contrapositiva] "Todo no- P es no- S ". Dado que no se dice nada en la definición de contraposición con respecto al predicado de la proposición inferida, es permisible que pueda ser el sujeto original o su contradictorio, y el término predicado de la proposición resultante de tipo "A" vuelve a ser no distribuido. Esto da como resultado dos contrapositivos, uno donde el término predicado es distribuido y otro donde el término predicado no es distribuido. ^{[ 10 ]}

La contraposición es un tipo de inferencia inmediata en la que, a partir de una proposición categórica dada, se infiere otra proposición categórica cuyo sujeto es el contradictorio del predicado original. Dado que la definición de contraposición no especifica nada sobre el predicado de la proposición inferida, es admisible que este sea el sujeto original o su contradictorio. Esto contrasta con la forma de las proposiciones de transposición, que pueden ser implicación material o enunciado hipotético. La diferencia radica en que, al aplicarse a proposiciones categóricas, el resultado de la contraposición son dos contrapositivas, cada una de las cuales es el obverso de la otra, ^{[ 11 ]} es decir, «Ningún no- P es S » y «Todo no- P es no- S ». La distinción entre las dos contrapositivas se absorbe y elimina en el principio de transposición, que presupone las «inferencias medias» ^{[ 12 ]} de la contraposición y también se denomina «ley de contraposición». ^{[ 13 ]}

Demostración por contraposición

Debido a que la contrapositiva de una proposición siempre tiene el mismo valor de verdad (verdad o falsedad) que la proposición misma, puede ser una herramienta poderosa para probar teoremas matemáticos (especialmente si la verdad de la contrapositiva es más fácil de establecer que la verdad de la proposición misma). Una prueba por contrapositiva es una prueba directa de la contrapositiva de una proposición. ^{[ 14 ]} Sin embargo, también se pueden usar métodos indirectos como la prueba por contradicción con la contraposición, como, por ejemplo, en la prueba de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 . Por la definición de un número racional , se puede hacer la afirmación de que " Si ${\sqrt {2}}$ es racional, entonces puede expresarse como una fracción irreducible ". Esta afirmación es verdadera porque es una reformulación de una definición. La contrapositiva de esta afirmación es " Si ${\sqrt {2}}$ no puede expresarse como una fracción irreducible, entonces no es racional ". Esta contrapositiva, al igual que la afirmación original, también es verdadera. Por lo tanto, si se puede demostrar que ${\sqrt {2}}$ si no se puede expresar como una fracción irreducible, entonces debe ser el caso que ${\sqrt {2}}$ no es un número racional. Esto último puede probarse por contradicción.

El ejemplo anterior empleó la contrapositiva de una definición para demostrar un teorema. También se puede demostrar un teorema demostrando la contrapositiva de su enunciado. Para demostrar que si un entero positivo N no es un número cuadrado , su raíz cuadrada es irracional , podemos demostrar de forma equivalente su contrapositiva: que si un entero positivo N tiene una raíz cuadrada racional, entonces N es un número cuadrado. Esto se puede demostrar igualando √N a la expresión racional a/b, donde a y b son enteros positivos sin factor primo común, y elevando al cuadrado para obtener N = a² / b² y observando que, dado que ^Nes un entero positivo, ^b= 1, por lo que ^N= a² , un número cuadrado.

En matemáticas , la demostración por contraposición es una regla de inferencia que se utiliza en las demostraciones , donde se deduce una proposición condicional a partir de su contrapositiva. ^{[ 15 ]} En otras palabras, la conclusión "si A , entonces B " se deduce construyendo una demostración de la afirmación "si no B , entonces no A ". Generalmente, se prefiere este enfoque si la contrapositiva es más fácil de demostrar que la proposición condicional original.

Lógicamente, la validez de la prueba por contrapositiva puede demostrarse mediante el uso de la siguiente tabla de verdad , donde se muestra que p → q y $\lnot$ q → $\lnot$ p comparten los mismos valores de verdad en todos los escenarios:

Diferencia con la demostración por contradicción

Demostración por contradicción : Supongamos (por contradicción) que $\neg A$ es cierto. Usa esta suposición para demostrar una contradicción . De ello se deduce que $\neg A$ es falso, por lo tanto $A$ Es cierto.

Demostración por contraposición : Para demostrar $A\to B$ , probar su enunciado contrapositivo, que es $\neg B\to \neg A$ .

Ejemplo

Dejar $x$ ser un número entero.

Para demostrar: Si

x^{2}

es par, entonces

x

es par.

Aunque se puede dar una demostración directa , optamos por demostrar esta afirmación por contraposición. La contrapositiva de la afirmación anterior es:

Si

x

ni siquiera, entonces

x^{2}

ni siquiera.

Esta última afirmación se puede demostrar de la siguiente manera: supongamos que x no es par, entonces x es impar. El producto de dos números impares es impar, por lo tanto $x^{2}=x\cdot x$ es extraño. Por lo tanto $x^{2}$ ni siquiera.

Habiendo demostrado la contrapositiva, podemos inferir que la afirmación original es verdadera. ^{[ 16 ]}

En lógicas no clásicas

Lógica intuicionista

En lógica intuicionista , la afirmación $P\to Q$ no se puede demostrar que sea equivalente a $\lnot Q\to \lnot P$ Podemos demostrar que $P\to Q$ implica $\lnot Q\to \lnot P$ (véase más abajo) sin supuestos adicionales, pero la implicación inversa, de $\lnot Q\to \lnot P$ a $P\to Q$ requiere saber $\lnot \lnot Q\to Q$ , lo cual se deduce de la ley del tercero excluido o de un axioma equivalente.

Asumir $P\to Q$ (Suposición inicial)
Asumir $Q\to \bot$
De $P\to Q$ y $Q\to \bot$ , concluir $P\to \bot$
Suposición de descarga; concluir $(Q\to \bot )\to (P\to \bot )$
Torneado $(A\to \bot )$ en $\lnot A$ , concluir $\lnot Q\to \lnot P$
Suposición de descarga; concluir $(P\to Q)\to (\lnot Q\to \lnot P)$ .

Lógica subjetiva

La contraposición representa un ejemplo del teorema de Bayes subjetivo en lógica subjetiva, expresado como:

(\omega _{P{\tilde {|}}Q}^{A},\omega _{P{\tilde {|}}\lnot Q}^{A})=(\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A})\,{\widetilde {\phi \,}}\,a_{P}\,,

dónde $(\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A})$ denota un par de opiniones condicionales binomiales dadas por la fuente $A$ . El parámetro $a_{P}$ denota la tasa base (también conocida como probabilidad previa ) de $P$ . El par de opiniones condicionales invertidas derivadas se denota $(\omega _{P{\tilde {|}}Q}^{A},\omega _{P{\tilde {|}}\lnot Q}^{A})$ La opinión condicional $\omega _{Q|P}^{A}$ generaliza la proposición lógica $P\to Q$ , es decir, además de asignar VERDADERO o FALSO a la fuente $A$ puede atribuir cualquier opinión subjetiva a la declaración. El caso en el que $\omega _{Q\mid P}^{A}$ es una opinión absolutamente VERDADERA es equivalente a la fuente $A$ diciendo eso $P\to Q$ es VERDADERO, y el caso donde $\omega _{Q\mid P}^{A}$ es una opinión absolutamente FALSA es equivalente a la fuente $A$ diciendo eso $P\to Q$ es FALSO. En el caso de que la opinión condicional $\omega _{Q|P}^{A}$ es absolutamente VERDADERO el operador del teorema de Bayes subjetivo ${\widetilde {\phi \,}}$ La lógica subjetiva produce una opinión condicional derivada absolutamente FALSA. $\omega _{P{\widetilde {|}}\lnot Q}^{A}$ y por lo tanto una opinión condicional derivada absolutamente VERDADERA $\omega _{\lnot P{\widetilde {|}}\lnot Q}^{A}$ lo cual es equivalente a $\lnot Q\to \lnot P$ siendo VERDADERO. Por lo tanto, el teorema de Bayes subjetivo representa una generalización tanto de la contraposición como del teorema de Bayes . ^{[ 17 ]}

En teoría de la probabilidad

La contraposición representa un ejemplo del teorema de Bayes que, en una forma específica, puede expresarse como:

\Pr(\lnot P\mid \lnot Q)={\frac {\Pr(\lnot Q\mid \lnot P)\,a(\lnot P)}{\Pr(\lnot Q\mid \lnot P)\,a(\lnot P)+\Pr(\lnot Q\mid P)\,a(P)}}.

En la ecuación anterior, la probabilidad condicional $\Pr(\lnot Q\mid P)$ generaliza la proposición lógica $P\to \lnot Q$ , es decir, además de asignar VERDADERO o FALSO, también podemos asignar cualquier probabilidad a la afirmación. El término $a(P)$ denota la tasa base (también conocida como probabilidad previa ) de $P$ . Supongamos que $\Pr(\lnot Q\mid P)=1$ es equivalente a $P\to \lnot Q$ siendo VERDADERO, y que $\Pr(\lnot Q\mid P)=0$ es equivalente a $P\to \lnot Q$ siendo FALSO. Entonces es fácil ver que $\Pr(\lnot P\mid \lnot Q)=1$ cuando $\Pr(Q\mid P)=1$ es decir cuando $P\to Q$ es VERDADERO. Esto se debe a que $\Pr(\lnot Q\mid P)=1-\Pr(Q\mid P)=0$ de modo que la fracción del lado derecho de la ecuación anterior sea igual a 1, y por lo tanto $\Pr(\lnot P\mid \lnot Q)=1$ lo cual es equivalente a $\lnot Q\to \lnot P$ siendo VERDADERO. Por lo tanto, el teorema de Bayes representa una generalización de la contraposición . ^{[ 18 ]}

Véase también

Referencias

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↑ Véase Stebbing 1961 , pp. 65–66 . Asimismo, para referencia a las inferencias inmediatas de obversión, conversión y obversión nuevamente, véase Copi 1953 , p. 141 .
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↑ Para una explicación de la absorción de obversión y conversión como "inferencias medias", véase: Copi 1979 , pp. 171–174 .
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Fuentes

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Enlaces externos

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[1] "Definición de CONTRAPOSITIVO" . www.merriam-webster.com . Consultado el 26 de noviembre de 2019 .

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[4] "Predicados y enunciados cuantificados II" . www.csm.ornl.gov . Consultado el 26 de noviembre de 2019 .

[5] Brody, Bobuch A. «Glosario de términos lógicos». Enciclopedia de filosofía . Vol. 5-6, pág. 61. Macmillan, 1973. También, Stebbing, L. Susan. Una introducción moderna a la lógica . Séptima edición, págs. 65-66. Harper, 1961, e Introducción a la lógica de Irving Copi, pág. 141, Macmillan, 1953. Todas las fuentes ofrecen definiciones prácticamente idénticas.

[6] Introducción a la lógica de Irving Copi, págs. 123-157, Macmillan, 1953.

[7] Brody, pág. 61. Macmillan, 1973. También, Stebbing, págs. 65-66, Harper, 1961, y Copi, págs. 141-143, Macmillan, 1953.

[8] Stebbing, L. Susan. Una introducción moderna a la lógica . Séptima edición, pág. 66. Harper, 1961.

[9] Stebbing 1961 , pp. 65–66 . Para referencia al paso inicial de la contraposición como obversión y conversión, véase Copi 1953 , p. 141 .

[10] Véase Stebbing 1961 , pp. 65–66 . Asimismo, para referencia a las inferencias inmediatas de obversión, conversión y obversión nuevamente, véase Copi 1953 , p. 141 .

[11] Véase Stebbing 1961 , pág. 66 .

[12] Para una explicación de la absorción de obversión y conversión como "inferencias medias", véase: Copi 1979 , pp. 171–174 .

[FOOTNOTEPrior1973-13] Anterior a 1973 .

[14] Smith, Douglas; Eggen, Maurice; St. Andre, Richard (2001), A Transition to Advanced Mathematics (5.ª ed.), Brooks/Cole, p. 37, ISBN 0-534-38214-2

[15] Cusick, Larry. "Pruebas por contraposición" . zimmer.csufresno.edu . Consultado el 26 de octubre de 2019 .

[16] Franklin, J.; A. Daoud (2011). Demostración en matemáticas: Una introducción . Sydney: Kew Books. ISBN 978-0-646-54509-7.(pág. 50).

[17] Audun Jøsang 2016:92

[18] Audun Jøsang 2016:2

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