Lógica subjetiva

La lógica subjetiva es un tipo de lógica probabilística que toma en cuenta explícitamente la incertidumbre epistémica y la confianza en la fuente. En general, la lógica subjetiva es adecuada para modelar y analizar situaciones que implican incertidumbre y fuentes relativamente poco fiables. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} Por ejemplo, puede utilizarse para modelar y analizar redes de confianza y redes bayesianas .

En lógica subjetiva, los argumentos son opiniones subjetivas sobre variables de estado que pueden tomar valores de un dominio (también llamado espacio de estados ), donde un valor de estado puede considerarse una proposición que puede ser verdadera o falsa. Una opinión binomial se aplica a una variable de estado binaria y puede representarse como una función de densidad de probabilidad ( FDP) Beta . Una opinión multinomial se aplica a una variable de estado con múltiples valores posibles y puede representarse como una función de densidad de probabilidad ( FDP) Dirichlet . Mediante la correspondencia entre opiniones y distribuciones Beta/Dirichlet, la lógica subjetiva proporciona un álgebra para estas funciones. Las opiniones también están relacionadas con la representación de creencias en la teoría de creencias de Dempster-Shafer .

Un aspecto filosófico de la condición humana es que nadie puede determinar con absoluta certeza si una proposición sobre el mundo es verdadera o falsa, ya que nuestros sentidos imperfectos solo nos brindan un acceso indirecto al mundo real, es decir, a lo que Kant llama das Ding an sich ( la cosa en sí ) ^{[ 4 ]} . Además, siempre que se expresa la verdad de una proposición, lo hace un individuo y nunca puede considerarse que represente una creencia general y objetiva. Estas ideas filosóficas se reflejan directamente en el formalismo matemático de la lógica subjetiva.

Las opiniones subjetivas expresan creencias subjetivas sobre la verdad de los valores/proposiciones de estado con grados de incertidumbre epistémica , y pueden indicar explícitamente la fuente de la creencia cuando sea necesario. Una opinión se suele denotar como , donde es la fuente de la opinión y es la variable de estado a la que se aplica la opinión. La variable puede tomar valores de un dominio (también llamado espacio de estados), por ejemplo, denotado como . Se supone que los valores de un dominio son exhaustivos y mutuamente disjuntos, y se supone que las fuentes tienen una interpretación semántica común de un dominio. La fuente y la variable son atributos de una opinión. La indicación de la fuente puede omitirse cuando sea irrelevante. ${\displaystyle \omega _{X}^{A}}$${\displaystyle A\,\!}$${\displaystyle X\,\!}$${\displaystyle X\,\!}$${\displaystyle \mathbb {X} }$

Sea un valor de estado en un dominio binario. Una opinión binomial sobre la veracidad del valor de estado es la cuádrupla ordenada donde: ${\displaystyle x\,\!}$${\displaystyle x\,\!}$${\displaystyle \omega _{x}=(b_{x},d_{x},u_{x},a_{x})\,\!}$

Estos componentes satisfacen y . Las características de las distintas clases de opinión se enumeran a continuación. ${\displaystyle b_{x}+d_{x}+u_{x}=1\,\!}$${\displaystyle b_{x},d_{x},u_{x},a_{x}\in [0,1]\,\!}$

La probabilidad proyectada de una opinión binomial se define como . ${\displaystyle \mathrm {P} _{x}=b_{x}+a_{x}u_{x}\,\!}$

Las opiniones binomiales se pueden representar en un triángulo equilátero , como se muestra en la figura. Un punto dentro del triángulo representa una terna. Los ejes b , d y u van desde un extremo hasta el vértice opuesto indicado por la etiqueta Creencia, Incredulidad o Incertidumbre. Por ejemplo, una opinión positiva fuerte se representa con un punto hacia el vértice inferior derecho de Creencia. La tasa base, también llamada probabilidad previa, se muestra como un puntero rojo a lo largo de la línea base, y la probabilidad proyectada, , se forma proyectando la opinión sobre la base, paralela a la línea de proyección de la tasa base. Las opiniones sobre tres valores/proposiciones X, Y y Z se visualizan en el triángulo de la izquierda, y sus equivalentes funciones de densidad de probabilidad Beta (PDF) se visualizan en los gráficos de la derecha. También se muestran los valores numéricos y las descripciones cualitativas verbales de cada opinión. ${\displaystyle (b_{x},d_{x},u_{x})\,\!}$${\displaystyle \mathrm {P} _ {x}\,\!}$

La función de densidad de probabilidad beta se denota normalmente como donde y son sus dos parámetros de fuerza. La función de densidad de probabilidad beta de una opinión binomial es la función donde es el peso previo no informativo, también llamado unidad de evidencia, ^{[ 5 ]} normalmente establecido en . ${\displaystyle \mathrm {Beta} (p(x);\alpha ,\beta )\,\!}$${\displaystyle \alpha \,\!}$${\displaystyle \beta \,\!}$${\displaystyle \omega _{x}=(b_{x},d_{x},u_{x},a_{x})\,\!}$${\displaystyle \mathrm {Beta} (p(x);\alpha ,\beta ){\mbox{ donde }}{\begin{cases}\alpha &={\frac {Wb_{x}}{u_{x}}}+Wa_{x}\\\beta &={\frac {Wd_{x}}{u_{x}}}+W(1-a_{x})\end{cases}}\,\!}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W=2}$

Los parámetros y pueden representarse simplemente mediante la probabilidad previa y la evidencia de observación, donde es la cantidad de evidencia positiva y es la cantidad de evidencia negativa: ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle a_{x}}$${\displaystyle (r_{x},s_{x})}$${\displaystyle r_{x}}$${\displaystyle s_{x}}$${\displaystyle {\begin{cases}\alpha =r_{x}+a_{x}W,\\\beta =s_{x}+(1-a_{x})W.\end{cases}}}$

Sea una variable de estado que puede tomar valores de estado . Una opinión multinomial sobre es la tupla , donde es una distribución de masa de creencia sobre los posibles valores de estado de , es la masa de incertidumbre y es la distribución de probabilidad a priori (tasa base) sobre los posibles valores de estado de . Estos parámetros satisfacen y , así como . ${\displaystyle X\,\!}$${\displaystyle x\in \mathbb {X} \,\!}$${\displaystyle X\,\!}$${\displaystyle \omega _{X}=(b_{X},u_{X},a_{X})\,\!}$${\displaystyle b_{X}\,\!}$${\displaystyle X\,\!}$${\displaystyle u_{X}\,\!}$${\displaystyle a_{X}\,\!}$${\displaystyle X\,\!}$${\displaystyle u_{X}+\sum b_{X}(x)=1\,\!}$${\displaystyle \sum a_{X}(x)=1\,\!}$${\displaystyle b_{X}(x),u_{X},a_{X}(x)\in [0,1]\,\!}$

Las opiniones trinomiales se pueden visualizar simplemente como puntos dentro de un tetraedro , pero las opiniones con dimensiones mayores que las trinomiales no se prestan a una visualización sencilla.

Las PDF de Dirichlet normalmente se denotan como donde es una distribución de probabilidad sobre los valores de estado de , y son los parámetros de fuerza. ${\displaystyle \mathrm {Dir} (p_{X};\alpha _{X})\,\!}$${\displaystyle p_{X}\,\!}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \alpha _{X}\,\!}$

La función de densidad de probabilidad de Dirichlet de una opinión multinomial es la función donde los parámetros de fuerza vienen dados por , y donde es el peso previo no informativo. Los parámetros de fuerza son una función de la distribución de probabilidad previa y la evidencia de observación a través de la ecuación: Aquí, es la cantidad de evidencia que apoya${\displaystyle \omega _{X}=(b_{X},u_{X},a_{X})\,\!}$${\displaystyle \mathrm {Dir} (p_{X};\alpha _{X})}$${\displaystyle \alpha _{X}(x)={\frac {Wb_{X}(x)}{u_{X}}}+Wa_{X}(x)\,\!}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \alpha _{X}}$${\displaystyle a_{X}}$${\displaystyle r_{X}}$${\displaystyle \alpha _{X}(x)=r_{X}(x)+a_{X}(x)W.}$${\displaystyle r_{X}(x)\geq 0}$${\displaystyle x.}$

En el caso multinomial, el peso previo no informativo debe ser dinámico en función de la cardinalidad del espacio de estados , la cantidad de evidencia y la constante de convergencia a través de la ecuación: ^{[ 6 ]}${\displaystyle W}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {X} }$${\displaystyle r_{X}}$${\displaystyle C_{W}}$${\displaystyle \;\;}$${\displaystyle W={\frac {k(1+C_{W}\sum r_{X}(x))}{1+k\sum r_{X}(x)}}.}$

La ecuación tiene la propiedad de que cuando (opinión vacía), converge rápidamente a la constante con el aumento de la fuerza de la evidencia (masa de creencia). La constante de convergencia se suele fijar en , que es el caso ilustrado en el gráfico de la curva 3D de la figura. La ventaja de una dinámica es tener una distribución de Dirichlet uniforme para opiniones vacías con una distribución de tasa base uniforme , al tiempo que se asegura que cualquier distribución de Dirichlet con cardinalidad arbitrariamente grande sea igualmente sensible a la nueva evidencia, como cabría esperar. ${\displaystyle W=k}$${\displaystyle \alpha _{X}=a_{X}}$${\displaystyle C_{W}}$${\displaystyle C_{W}=2}$${\displaystyle W}$${\displaystyle a_{X}}$

La mayoría de los operadores de la tabla siguiente son generalizaciones de operadores de lógica binaria y de probabilidad. Por ejemplo, la suma es simplemente una generalización de la suma de probabilidades. Algunos operadores solo tienen sentido para combinar opiniones binomiales, y otros también se aplican a opiniones multinomiales. ^{[ 7 ]} La mayoría de los operadores son binarios, pero el complemento es unario y la abducción es ternaria. Consulte las publicaciones de referencia para obtener detalles matemáticos de cada operador.

La combinación de fuentes transitivas puede denotarse de forma compacta o expandida. Por ejemplo, la ruta de confianza transitiva del analista/fuente a través de la fuente hasta la variable puede denotarse como en forma compacta o como en forma expandida. Aquí, expresa que tiene cierta confianza/desconfianza en la fuente , mientras que expresa que tiene una opinión sobre el estado de la variable que se da como consejo a . La forma expandida es la más general y corresponde directamente a la forma en que se forman las expresiones de lógica subjetiva con operadores. ${\displaystyle A\,\!}$${\displaystyle B\,\!}$${\displaystyle X\,\!}$${\displaystyle [A;B,X]\,\!}$${\displaystyle [A;B]:[B,X]\,\!}$${\displaystyle [A;B]\,\!}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle [B,X]\,\!}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$

En caso de que las opiniones sobre los argumentos sean equivalentes a valores booleanos VERDADERO o FALSO, el resultado de cualquier operador lógico subjetivo siempre será igual al del operador lógico proposicional/binario correspondiente. Del mismo modo, cuando las opiniones sobre los argumentos sean equivalentes a probabilidades tradicionales, el resultado de cualquier operador lógico subjetivo siempre será igual al del operador de probabilidad correspondiente (si existe).

En caso de que las opiniones argumentadas contengan grados de incertidumbre, los operadores que implican multiplicación y división (incluyendo deducción, abducción y el teorema de Bayes) producirán opiniones derivadas que siempre tendrán una probabilidad proyectada correcta , pero posiblemente con una varianza aproximada cuando se consideran como PDF Beta/Dirichlet. ^{[ 1 ]} Todos los demás operadores producen opiniones donde las probabilidades proyectadas y la varianza son siempre analíticamente correctas.

Diferentes fórmulas lógicas que tradicionalmente son equivalentes en lógica proposicional no necesariamente tienen opiniones iguales. Por ejemplo, en general, aunque la distributividad de la conjunción sobre la disyunción, expresada como , se cumple en la lógica proposicional binaria. Esto no es sorprendente ya que los operadores de probabilidad correspondientes también son no distributivos. Sin embargo, la multiplicación es distributiva sobre la suma, como se expresa por . Las leyes de De Morgan también se satisfacen como , por ejemplo, expresadas por . ${\displaystyle \omega _{x\land (y\lor z)}\neq \omega _{(x\land y)\lor (x\land z)}\,\!}$${\displaystyle x\land (y\lor z)\Leftrightarrow (x\land y)\lor (x\land z)\,\!}$${\displaystyle \omega _{x\land (y\cup z)}=\omega _{(x\land y)\cup (x\land z)}\,\!}$${\displaystyle \omega _{\overline {x\land y}}=\omega _{{\overline {x}}\lor {\overline {y}}}\,\!}$

La lógica subjetiva permite un cálculo muy eficiente de modelos matemáticamente complejos. Esto es posible mediante la aproximación de las funciones analíticamente correctas. Si bien es relativamente sencillo multiplicar analíticamente dos funciones de densidad de probabilidad beta para obtener una función de densidad de probabilidad beta conjunta , cualquier problema más complejo se vuelve rápidamente intratable. Al combinar dos funciones de densidad de probabilidad beta con algún operador o conector, el resultado analítico no siempre es una función de densidad de probabilidad beta y puede involucrar series hipergeométricas . En tales casos, la lógica subjetiva siempre aproxima el resultado como una opinión equivalente a una función de densidad de probabilidad beta.

La lógica subjetiva es aplicable cuando la situación a analizar se caracteriza por una considerable incertidumbre epistémica debido a un conocimiento incompleto. De este modo, la lógica subjetiva se convierte en una lógica probabilística para probabilidades epistémicamente inciertas. La ventaja reside en que la incertidumbre se conserva a lo largo del análisis y se explicita en los resultados, lo que permite distinguir entre conclusiones ciertas e inciertas.

La modelización de redes de confianza y redes bayesianas son aplicaciones típicas de la lógica subjetiva.

Las redes de confianza subjetivas pueden modelarse con una combinación de los operadores de transitividad y fusión. Sea la arista de confianza de referencia de a , y sea la arista de creencia de a . Una red de confianza subjetiva puede expresarse, por ejemplo, como se ilustra en la figura. ${\displaystyle [A;B]\,\!}$${\displaystyle A\,\!}$${\displaystyle B\,\!}$${\displaystyle [B,X]\,\!}$${\displaystyle B\,\!}$${\displaystyle X\,\!}$${\displaystyle ([A;B]:[B,X])\diamond ([A;C]:[C,X])\,\!}$

Los índices 1, 2 y 3 indican el orden cronológico en que se forman las aristas de confianza y el consejo. Así, dado el conjunto de aristas de confianza con índice 1, el fideicomitente original recibe consejo de y , y por lo tanto puede derivar la creencia en la variable . Al expresar cada arista de confianza y arista de creencia como una opinión, es posible que derive la creencia en expresada como . ${\displaystyle A\,\!}$${\displaystyle B\,\!}$${\displaystyle C\,\!}$${\displaystyle X\,\!}$${\displaystyle A\,\!}$${\displaystyle X\,\!}$${\displaystyle \omega _{X}^{A}=\omega _{X}^{[A;B]\diamond [A;C]}=(\omega _{B}^{A}\otimes \omega _{X}^{B})\oplus (\omega _{C}^{A}\otimes \omega _{X}^{C})\,\!}$

Las redes de confianza pueden expresar la fiabilidad de las fuentes de información y pueden utilizarse para determinar opiniones subjetivas sobre las variables sobre las que dichas fuentes proporcionan información.

La lógica subjetiva basada en evidencia ( EBSL ) ^{[ 5 ]} describe un cálculo alternativo de red de confianza, donde la transitividad de las opiniones (descuento) se maneja aplicando pesos a la evidencia subyacente a las opiniones.

En la red bayesiana de la figura siguiente, y son variables padre y es la variable hija. El analista debe aprender el conjunto de opiniones condicionales conjuntas para aplicar el operador de deducción y obtener la opinión marginal sobre la variable . Las opiniones condicionales expresan una relación condicional entre las variables padre y la variable hija. ${\displaystyle X\,\!}$${\displaystyle Y\,\!}$${\displaystyle Z\,\!}$${\displaystyle \omega _{Z|XY}}$${\displaystyle \omega _{Z\|XY}}$${\displaystyle Z}$

La opinión deducida se calcula como . La opinión conjunta sobre la evidencia se puede calcular como el producto de opiniones independientes sobre la evidencia en y , o como el producto conjunto de opiniones parcialmente dependientes sobre la evidencia. ${\displaystyle \omega _{Z\|XY}=\omega _{Z|XY}\circledcirc \omega _{XY}}$${\displaystyle \omega _{XY}}$${\displaystyle X\,\!}$${\displaystyle Y\,\!}$

La combinación de una red de confianza subjetiva y una red bayesiana subjetiva constituye una red subjetiva. La red de confianza subjetiva puede utilizarse para obtener, a partir de diversas fuentes, las opiniones que servirán como datos de entrada para la red bayesiana subjetiva, tal como se ilustra en la figura.

Las redes bayesianas tradicionales no suelen tener en cuenta la fiabilidad de las fuentes. En las redes subjetivas, la confianza en las fuentes se considera explícitamente.

• Lógica subjetiva de Audun Jøsang
• Marco de experimentación de lógica subjetiva basado en operadores de lógica subjetiva en la evaluación de la confianza: un estudio empírico de F. Cerutti, LM Kaplan, TJ Norman, N. Oren y A. Toniolo.