Inverso multiplicativo

En matemáticas , el inverso multiplicativo o recíproco de un número x , denotado por${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}$o x ^{− 1} , es un número que, al multiplicarse por x, produce la identidad multiplicativa , 1. El inverso multiplicativo de una fracción${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$es${\displaystyle {\tfrac {b}{a}}.}$Dividir 1 entre un número real produce su inverso multiplicativo. Por ejemplo, el recíproco de 5 es un quinto (1/5 o 0,2), y el recíproco de 0,25 es 1 dividido entre 0,25, o 4. La función recíproca , la función f ( x ) que mapea x a${\displaystyle {\tfrac {1}{x}},}$es uno de los ejemplos más simples de una función que es su propia inversa (una involución ).

Multiplicar por un número es lo mismo que dividir por su recíproco, y viceversa. Por ejemplo, multiplicar por 4/5 (o 0,8) da el mismo resultado que dividir por 5/4 (o 1,25). Por lo tanto, multiplicar un número por su recíproco y luego por él da como resultado el número original (ya que el producto del número y su recíproco es 1).

El término recíproco se utilizaba comúnmente al menos desde la tercera edición de la Encyclopædia Britannica (1797) para describir dos números cuyo producto es 1; las cantidades geométricas en proporción inversa se describen como recíprocas en una traducción de 1570 de los Elementos de Euclides . ^{[ 1 ]}

En la expresión «inverso multiplicativo» , el calificativo « multiplicativo» suele omitirse y se entiende tácitamente (a diferencia del inverso aditivo ). Los inversos multiplicativos pueden definirse en muchos dominios matemáticos, así como en números. En estos casos, puede ocurrir que ab ≠ ba ; entonces, «inverso» suele implicar que un elemento es inverso tanto por la izquierda como por la derecha .

La notación f ⁻¹ también se usa a veces para la función inversa de la función f , que para la mayoría de las funciones no es igual al inverso multiplicativo. Por ejemplo, el inverso multiplicativo${\displaystyle {\tfrac {1}{\sin x}}=(\sin x)^{-1}}$es la cosecante de x , y no el seno inverso de x denotado por sin ⁻¹ x o arcsin x . La diferencia terminológica entre recíproco e inverso no es suficiente para hacer esta distinción, ya que muchos autores prefieren la convención de nombres opuesta, probablemente por razones históricas (por ejemplo, en francés , la función inversa se denomina preferentemente bijection réciproque ).

En los números reales, el cero no tiene recíproco ( la división por cero no está definida ) porque ningún número real multiplicado por 0 produce 1 (el producto de cualquier número por cero es cero). Con la excepción del cero, los recíprocos de cada número real son reales, los recíprocos de cada número racional son racionales y los recíprocos de cada número complejo son complejos. La propiedad de que todo elemento distinto del cero tenga un inverso multiplicativo forma parte de la definición de un cuerpo , del cual estos son ejemplos. Por otro lado, ningún entero distinto de 1 y -1 tiene un recíproco entero, por lo que los enteros no constituyen un cuerpo.

En aritmética modular , también se define el inverso multiplicativo modular de a : es el número x tal que ax ≡ 1 (mod n ) . Este inverso multiplicativo existe si y solo si a y n son coprimos . Por ejemplo, el inverso de 3 mod 11 es cuatro porque 4 ⋅ 3 ≡ 1 (mod 11) . El algoritmo euclidiano extendido puede utilizarse para calcularlo.

Los sedeniones son un álgebra en la que cada elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo, pero que no obstante tiene divisores de cero, es decir, elementos distintos de cero x , y tales que xy = 0 .

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante tiene una inversa en el anillo de coeficientes . La aplicación lineal que tiene la matriz A ⁻¹ con respecto a alguna base es entonces la función inversa de la aplicación que tiene A como matriz en la misma base. Por lo tanto, las dos nociones distintas de la inversa de una función están fuertemente relacionadas en este caso, pero aún no coinciden, ya que la inversa multiplicativa de Ax sería ( Ax ) ⁻¹ , no A ⁻¹ x .

Estas dos nociones de función inversa a veces coinciden, por ejemplo para la función${\displaystyle f(x)=x^{i}=e^{i\ln(x)}}$donde ln es la rama principal del logaritmo complejo y${\displaystyle e^{-\pi }<|x|<e^{\pi }}$: $${\displaystyle \left({\tfrac {1}{f}}\circ f\right)(x)={\frac {1}{f}}(f(x))={\frac {1}{f(f(x))}}={\frac {1}{e^{i\ln(e^{i\ln(x)})}}}={\frac {1}{e^{ii\ln(x)}}}={\frac {1}{e^{-\ln(x)}}}=x.}$$

Las funciones trigonométricas se relacionan mediante la identidad recíproca: la cotangente es la recíproca de la tangente; la secante es la recíproca del coseno; la cosecante es la recíproca del seno.

Un anillo en el que cada elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo es un anillo de división ; asimismo, un álgebra en la que esto se cumple es un álgebra de división .

Como se mencionó anteriormente, el recíproco de todo número complejo distinto de cero z = a + bi es complejo. Se puede encontrar multiplicando tanto el numerador como el denominador de${\displaystyle {\tfrac {1}{z}}}$por su conjugado complejo${\displaystyle {\bar {z}}=a-bi}$y utilizando la propiedad que${\displaystyle z{\bar {z}}=\|z\|^{2}}$, el valor absoluto de z ^al cuadrado , que es el número real a² + b² ^:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{z}}&={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}\\[2pt]&={\frac {\bar {z}}{\|z\|^{2}}}\\[2pt]&={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}\\[2pt]&={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i.\end{aligned}}}$$

La intuición es que${\displaystyle {\tfrac {\bar {z}}{\|z\|}}}$nos da el conjugado complejo con una magnitud reducida a un valor de 1, por lo que dividir de nuevo por | z | garantiza que la magnitud ahora sea igual al recíproco de la magnitud original también, por lo tanto: $${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{\|z\|^{2}}}}$$ En particular, si || z || = 1 ( z tiene magnitud unitaria), entonces${\displaystyle {\tfrac {1}{z}}={\bar {z}}.}$En consecuencia, las unidades imaginarias , ± i , tienen un inverso aditivo igual a un inverso multiplicativo, y son los únicos números complejos con esta propiedad. Por ejemplo, los inversos aditivo y multiplicativo de i son −( i ) = − i y ( i ) ⁻¹ = − i , respectivamente.

Para un número complejo en forma polar z = r (cos φ + i sin φ ) , el recíproco simplemente toma el recíproco de la magnitud y el negativo del ángulo:

$${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{r}}{\bigl (}\cos(-\varphi )+i\sin(-\varphi ){\bigr )}.}$$

Geométricamente, en el plano complejo, el inverso de un número complejo se puede hallar realizando una inversión en el círculo unitario seguida de una reflexión sobre el eje real (véase el dibujo).

En cálculo real , la derivada de${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}=x^{-1}}$viene dada por la regla de la potencia con la potencia −1: $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{-1}=(-1)x^{(-1)-1}=-x^{-2}=-{\frac {1}{x^{2}}}.}$$

La regla de potencia para integrales ( fórmula de cuadratura de Cavalieri ) no se puede utilizar para calcular la integral de${\displaystyle {\tfrac {1}{x}},}$porque hacerlo resultaría en una división por cero : $${\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}={\frac {x^{0}}{0}}+C}$$ En cambio, la integral viene dada por: $${\displaystyle \int _{1}^{a}{\frac {dx}{x}}=\ln a,\qquad \int {\frac {dx}{x}}=\ln x+C.}$$ donde ln es el logaritmo natural . Para demostrar esto, observe que${\textstyle {\frac {d}{dy}}e^{y}=e^{y}}$, entonces si${\displaystyle x=e^{y}}$y${\displaystyle y=\ln x}$, tenemos: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dx}{dy}}=x\\[2pt]\Rightarrow \quad &{\frac {dx}{x}}=dy\\[2pt]\Rightarrow \quad &\int {\frac {dx}{x}}=\int dy=y+C=\ln x+C.\end{aligned}}}$$

El recíproco se puede calcular a mano mediante la división larga .

Calcular el recíproco es importante en muchos algoritmos de división , ya que el cociente${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$se puede calcular calculando primero${\displaystyle {\tfrac {1}{b}}}$y luego multiplicándolo por a . Observando que${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}-b}$tiene un cero en${\displaystyle x={\tfrac {1}{b}},}$El método de Newton puede encontrar ese cero, comenzando con una suposición x ₀ e iterando usando la regla:

$${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}=x_{n}-{\frac {{\frac {1}{x_{n}}}-b}{\frac {-1}{x_{n}^{2}}}}=2x_{n}-bx_{n}^{2}=x_{n}(2-bx_{n}).}$$

Esto continúa hasta alcanzar la precisión deseada. Por ejemplo, supongamos que queremos calcular 1/17 ≈ 0,0588 con tres dígitos de precisión. Tomando x ₀ = 0,1 , se produce la siguiente secuencia:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=0.1(2-17\times 0.1)&&=0.03\\x_{2}&=0.03(2-17\times 0.03)&&=0.0447\\x_{3}&=0.0447(2-17\times 0.0447)&&\approx 0.0554\\x_{4}&=0.0554(2-17\times 0.0554)&&\approx 0.0586\\x_{5}&=0.0586(2-17\times 0.0586)&&\approx 0.0588\end{aligned}}}$$

Una estimación inicial típica se puede obtener redondeando b a una potencia de 2 cercana y luego utilizando desplazamientos de bits para calcular su recíproco.

En matemáticas constructivas , para que un número real x tenga un recíproco, no basta con que x ≠ 0. Debe existir, en cambio, un número racional r tal que 0 < r < | x | . En términos del algoritmo de aproximación descrito anteriormente, esto es necesario para demostrar que el cambio en y eventualmente se volverá arbitrariamente pequeño.

Esta iteración también puede generalizarse a un tipo más amplio de inversas; por ejemplo, inversas de matrices .

Todo número real o complejo, excepto el cero, tiene un recíproco, y los recíprocos de ciertos números irracionales pueden tener propiedades especiales importantes. Algunos ejemplos son el recíproco de e (≈  0,367879) y el recíproco de la proporción áurea  (≈ 0,618034). El primer recíproco es especial porque ningún otro número positivo puede producir un número menor al elevarlo a la potencia de sí mismo;${\displaystyle f{\bigl (}{\tfrac {1}{e}}{\bigr )}}$es el mínimo global de f ( x ) = x ^x . El segundo número es el único número positivo que es igual a su recíproco más uno: $${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{\varphi }}+1.}$$ Su inverso aditivo es el único número negativo que es igual a su recíproco menos uno: $${\displaystyle -\varphi =-{\frac {1}{\varphi }}-1.}$$

La función

$${\displaystyle f(n)={\tfrac {1}{2}}n+{\sqrt {\left({\tfrac {1}{2}}n\right)^{\!2}+1}}}$$

se puede utilizar para encontrar el número irracional que difiere de su recíproco en un entero n , porque en general f ( n ) – f ( n ) ^{– 1} = n . Por ejemplo:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&f(4)=2+{\sqrt {5}};\qquad f^{-1}(4)={\frac {1}{2+{\sqrt {5}}}}=-2+{\sqrt {5}};\\&\therefore \,f(4)-f^{-1}(4)=4.\end{aligned}}}$$

Estos números irracionales comparten una propiedad evidente: tienen la misma parte fraccionaria que su recíproco, ya que estos números difieren en un número entero.

La función recíproca juega un papel importante en las fracciones continuas simples , que tienen una serie de propiedades notables relacionadas con la representación de números (tanto racionales como) irracionales.

Si la multiplicación es asociativa, un elemento x con un inverso multiplicativo no puede ser un divisor de cero ( x es un divisor de cero si existe algún y distinto de cero , xy = 0 ). Para comprobarlo, basta con multiplicar la ecuación xy = 0 por el inverso de x (a la izquierda) y simplificarla utilizando la asociatividad. En ausencia de asociatividad, los sedeniones proporcionan un contraejemplo.

Lo contrario no se cumple: un elemento que no es divisor de cero no tiene garantizado tener un inverso multiplicativo. Dentro de${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$Todos los números enteros , excepto −1, 0 y 1, proporcionan ejemplos; no son divisores de cero ni tienen inversos en${\displaystyle \mathbb {Z} .}$Sin embargo, si el anillo o el álgebra es finito , entonces todos los elementos a que no son divisores de cero tienen un inverso (izquierdo y derecho). Para ello, observemos primero que la aplicación f ( x ) = ax debe ser inyectiva : f ( x ) = f ( y ) implica x = y : $${\displaystyle {\begin{aligned}ax=ay&&\Rightarrow &\quad ax-ay=0\\&&\Rightarrow &\quad a(x-y)=0\\&&\Rightarrow &\quad x-y=0\\&&\Rightarrow &\quad x=y.\end{aligned}}}$$ Los elementos distintos se corresponden con elementos distintos, por lo que la imagen consta del mismo número finito de elementos, y la correspondencia es necesariamente sobreyectiva . Específicamente, f (es decir, la multiplicación por a ) debe asignar algún elemento x a 1 , ax = 1 , de modo que x sea el inverso de a .

La expansión de la reciprocidad${\displaystyle {\tfrac {1}{q}}}$en cualquier base también puede actuar ^{[ 3 ]} como fuente de números pseudoaleatorios , si q es un primo seguro "adecuado" , un primo de la forma 2 p + 1 donde p también es un primo. Una secuencia de números pseudoaleatorios de longitud q − 1 será producida por la expansión.

• División (matemáticas)
• Decaimiento exponencial
• Fracción
• Grupo (matemáticas)
• Hipérbola
• Distribución inversa
• Elemento inverso
• Lista de sumas de recíprocos
• Decimal periódico
• Coordenadas de la esfera de 6 lados
• Fracciones unitarias : recíprocos de números enteros
• Ceros y polos

• Recíprocos máximamente periódicos, Matthews RAJ Boletín del Instituto de Matemáticas y sus Aplicaciones vol. 28 pp. 147–148 1992