logaritmo complejo

Para cada número complejo distinto de cero${\displaystyle z}$, el valor principal${\displaystyle \operatorname {Registro} z}$es el logaritmo cuya parte imaginaria se encuentra en el intervalo${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$. ^{[ 2 ]} La expresión${\displaystyle \operatorname {Log} 0}$queda sin definir ya que no hay ningún número complejo.${\displaystyle w}$satisfactorio${\displaystyle e^{w}=0}$. ^{[ 1 ]}

Cuando la notación${\displaystyle \log z}$aparece sin que se haya especificado ningún logaritmo en particular, por lo general es mejor asumir que se pretende el valor principal. En particular, esto da un valor consistente con el valor real de${\displaystyle \ln z}$cuando${\displaystyle z}$es un número real positivo. La capitalización en la notación${\displaystyle {\text{Registro}}}$es utilizado por algunos autores ^{[ 2 ]} para distinguir el valor principal de otros logaritmos de${\displaystyle z.}$

La forma polar de un número complejo distinto de cero${\displaystyle z=x+yi}$es ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$, dónde${\textstyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$es el valor absoluto de${\displaystyle z}$, y${\displaystyle \theta }$es su argumento . El valor absoluto es real y positivo. El argumento está definido salvo la suma de un múltiplo entero de 2π . Su valor principal es el valor que pertenece al intervalo${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$, que se expresa como${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)}$.

Esto nos lleva a la siguiente fórmula para el valor principal del logaritmo complejo:

${\displaystyle \operatorname {Log} z=\ln r+i\theta =\ln |z|+i\operatorname {Arg} z=\ln {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+i\operatorname {atan2} (y,x).}$

Por ejemplo,${\displaystyle \operatorname {Log} (-3i)=\ln 3-\pi i/2}$, y${\displaystyle \operatorname {Registro} (-3)=\ln 3+\pi i}$.

Otra forma de describir${\displaystyle \operatorname {Registro} z}$es como la inversa de una restricción de la función exponencial compleja, como en la sección anterior. La franja horizontal${\displaystyle S}$que consta de números complejos${\displaystyle w=x+yi}$de tal manera que${\displaystyle -\pi <y\leq \pi }$es un ejemplo de una región que no contiene dos números que difieran en un múltiplo entero de${\displaystyle 2\pi i}$, por lo que la restricción de la función exponencial a${\displaystyle S}$tiene una inversa. De hecho, la función exponencial mapea${\displaystyle S}$biyectivamente al plano complejo perforado${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}=\mathbb {C} \setminus \{0\}}$y la inversa de esta restricción es${\displaystyle \operatorname {Log} \colon \mathbb {C} ^{*}\to S}$La sección sobre mapeo conforme que aparece a continuación explica con más detalle las propiedades geométricas de este mapeo.

En la región${\displaystyle \mathbb {C} -\mathbb {R} _{\leq 0}}$que consiste en números complejos que no son números reales negativos ni 0, la función${\displaystyle \operatorname {Registro} z}$es la continuación analítica del logaritmo natural. Los valores en la recta real negativa se pueden obtener como límites de valores en números complejos cercanos con partes imaginarias positivas.

No todas las identidades satisfechas por${\displaystyle \ln }$se extiende a los números complejos. Es cierto que${\displaystyle e^{\operatorname {Registro} z}=z}$a pesar de${\displaystyle z\neq 0}$(esto es lo que significa para${\displaystyle \operatorname {Registro} z}$ser un logaritmo de${\displaystyle z}$), pero la identidad${\displaystyle \operatorname {Registro} (e^{z})=z}$falla para${\displaystyle z}$fuera de la franja${\displaystyle S}$Por esta razón, no siempre se puede aplicar${\displaystyle {\text{Registro}}}$a ambos lados de una identidad${\displaystyle e^{z}=e^{w}}$deducir${\displaystyle z=w}$. Además, la identidad${\displaystyle \operatorname {Registro} (z_{1}z_{2})=\operatorname {Registro} z_{1}+\operatorname {Registro} z_{2}}$puede fallar: los dos lados pueden diferir en un múltiplo entero de${\displaystyle 2\pi i}$; ^{[ 1 ]} por ejemplo,

${\displaystyle \operatorname {Log} ((-1)i)=\operatorname {Log} (-i)=\ln(1)-{\frac {\pi i}{2}}=-{\frac {\pi i}{2}},}$

pero

${\displaystyle \operatorname {Log} (-1)+\operatorname {Log} (i)=\left(\ln(1)+\pi i\right)+\left(\ln(1)+{\frac {\pi i}{2}}\right)={\frac {3\pi i}{2}}\neq -{\frac {\pi i}{2}}.}$

La función${\displaystyle \operatorname {Registro} z}$es discontinua en cada número real negativo, pero continua en todas partes en${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$Para explicar la discontinuidad, consideremos qué sucede con${\displaystyle \arg z}$como${\displaystyle z}$se aproxima a un número real negativo${\displaystyle a}$. Si${\displaystyle z}$aproches${\displaystyle a}$desde arriba, entonces${\displaystyle \arg z}$aproches${\displaystyle \pi ,}$que es también el valor de${\displaystyle \arg a}$mismo. Pero si${\displaystyle z}$aproches${\displaystyle a}$desde abajo, entonces${\displaystyle \arg z}$aproches${\displaystyle -\pi .}$Entonces${\displaystyle \arg z}$"saltos" por${\displaystyle 2\pi }$como${\displaystyle z}$cruza el eje real negativo, y de manera similar${\displaystyle \operatorname {Registro} z}$saltos por${\displaystyle 2\pi i.}$

El argumento anterior que involucra el círculo unitario se generaliza para mostrar que ninguna rama de${\displaystyle \log z}$existe en un conjunto abierto${\displaystyle U}$que contiene una curva cerrada que se enrolla alrededor de 0. Se dice que${\displaystyle \log z}$tiene un punto de ramificación en 0. Para evitar contener curvas cerradas que se enrollan alrededor de 0,${\displaystyle U}$Se suele elegir como complemento de un rayo o curva en el plano complejo que va de 0 (inclusive) al infinito en alguna dirección. En este caso, la curva se conoce como rama de corte . Por ejemplo, la rama principal tiene una rama de corte a lo largo del eje real negativo.

Si la función${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$Si se extiende para definirse en un punto del corte de la rama, necesariamente será discontinua allí; en el mejor de los casos será continua "en un lado", como${\displaystyle \operatorname {Log} z}$en un número real negativo.

Como toda función holomorfa , el logaritmo complejo puede representarse localmente – cerca de cualquier punto de su dominio – con una serie de potencias ; es decir, también es analítico . Dado que el logaritmo es la integral de${\displaystyle 1/z}$, su serie de potencias se puede encontrar mediante la integración término por término de una serie de potencias para${\displaystyle z\mapsto 1/z}$. Una serie de potencia para${\displaystyle z\mapsto 1/z}$ centrado en cualquier punto${\displaystyle z_{0}\neq 0}$puede encontrarse considerando${\displaystyle 1/z}$como la suma de una serie geométrica con término inicial${\displaystyle 1/z_{0}}$y razón común${\displaystyle (z-z_{0})/(-z_{0})}$.$${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{z_{0}}}\cdot {\frac {1}{1-{\dfrac {z-z_{0}}{-z_{0}}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{z_{0}}}\left({\frac {z-z_{0}}{-z_{0}}}\right)^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{z_{0}^{n+1}}}(z-z_{0})^{n}.}$$ Esta serie converge en el disco${\displaystyle |z-z_{0}|<|z_{0}|}$, el disco más grande que no contiene el origen (donde hay un polo ). Después de la integración término a término: $${\displaystyle \log z=\log z_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{nz_{0}^{n}}}(z-z_{0})^{n}.}$$

La representación de${\displaystyle {\tfrac {1}{z}}}$mediante una serie de potencias con el centro${\displaystyle z_{0}\not =0}$proporciona una representación en serie de Taylor para una rama del logaritmo en${\displaystyle {\overline {D_{r}(z_{0})}}}$con${\displaystyle r<|z_{0}|}$y${\displaystyle c=\ln(|z_{0}|)+i\cdot t}$similar a la serie de Mercator con un centro arbitrario${\displaystyle z_{0}=|z_{0}|\cdot e^{it}\not =0}$:

${\displaystyle F(z)=c+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{z_{0}^{n+1}\cdot (n+1)}}\cdot (z-z_{0})^{n+1}}$

La rama correspondiente del logaritmo para${\displaystyle F}$se define en el dominio${\displaystyle U:=\mathbb {C} \setminus \{z\in \mathbb {C} \,:\,z=\lambda \cdot z_{0}{\mbox{ with }}0\geq \lambda \in \mathbb {R} \}}$.

Al eliminar el eje imaginario negativo del dominio de la rama del logaritmo

${\displaystyle U_{i}:=\mathbb {C} \setminus \{z\in \mathbb {C} \,:\,z=\lambda \cdot i{\mbox{ with }}0\geq \lambda \in \mathbb {R} \}}$

Se puede definir una rama del logaritmo para todos${\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}$con:

${\displaystyle \ln(-x)=\ln(x)+i\cdot \pi }$con${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$y${\displaystyle x<0}$.

La rama del logaritmo en${\displaystyle U_{i}}$proporciona el logaritmo estándar${\displaystyle \ln(x)}$para${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$y${\displaystyle x>0}$.

Cada rama${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$de${\displaystyle \log z}$en un escenario abierto${\displaystyle U}$es la inversa de una restricción de la función exponencial, es decir, la restricción a la imagen${\displaystyle \operatorname {L} (U)}$Dado que la función exponencial es holomorfa (es decir, diferenciable en el plano complejo) con derivada no nula, se aplica el análogo complejo del teorema de la función inversa . Esto demuestra que${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$es holomorfo en${\displaystyle U}$, y${\displaystyle \operatorname {L} '(z)=1/z}$para cada${\displaystyle z}$en${\displaystyle U}$. ^{[ 2 ]} Otra forma de demostrar esto es comprobar las ecuaciones de Cauchy-Riemann en coordenadas polares . ^{[ 2 ]}

La función${\displaystyle \ln(x)}$verdadero${\displaystyle x>0}$se puede construir mediante la fórmula $${\displaystyle \ln(x)=\int _{1}^{x}{\frac {du}{u}}.}$$ Si el rango de integración comenzaba en un número positivo${\displaystyle a}$Aparte de 1, la fórmula tendría que ser $${\displaystyle \ln(x)=\ln(a)+\int _{a}^{x}{\frac {du}{u}}}$$ en cambio.

Al desarrollar el análogo para el logaritmo complejo , surge una complicación adicional: la definición de la integral compleja requiere la elección de una trayectoria. Afortunadamente, si el integrando es holomorfo, el valor de la integral no cambia al deformar la trayectoria (manteniendo fijos los extremos), y en una región simplemente conexa .${\displaystyle U}$(una región sin "agujeros"), cualquier camino desde${\displaystyle a}$a${\displaystyle z}$adentro${\displaystyle U}$puede deformarse continuamente en el interior${\displaystyle U}$en cualquier otro. Todo esto conduce a lo siguiente:

Si${\displaystyle U}$es un subconjunto abierto simplemente conexo de${\displaystyle \mathbb {C} }$no contiene 0, entonces una rama de${\displaystyle \log z}$definido en${\displaystyle U}$se puede construir eligiendo un punto de partida${\displaystyle a}$en${\displaystyle U}$, eligiendo un logaritmo${\displaystyle b}$de${\displaystyle a}$y definiendo$${\displaystyle L(z)=b+\int _{a}^{z}{\frac {dw}{w}}}$$para cada${\displaystyle z}$en${\displaystyle U}$. ^{[ 7 ]}

Las diversas ramas de${\displaystyle \log z}$no se pueden pegar para dar una única función continua${\displaystyle \log \colon \mathbb {C} ^{*}\to \mathbb {C} }$porque dos ramas pueden dar valores diferentes en un punto donde ambas están definidas. Compárese, por ejemplo, la rama principal.${\displaystyle \operatorname {Log} z}$en${\displaystyle \mathbb {C} -\mathbb {R} _{\leq 0}}$con parte imaginaria${\displaystyle \theta }$en${\displaystyle (-\pi ,\pi )}$y la rama${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$en${\displaystyle \mathbb {C} -\mathbb {R} _{\geq 0}}$cuya parte imaginaria${\displaystyle \theta }$se encuentra en${\displaystyle (0,2\pi )}$Estos coinciden en el semiplano superior , pero no en el semiplano inferior. Por lo tanto, tiene sentido pegar los dominios de estas ramas solo a lo largo de las copias del semiplano superior . El dominio pegado resultante está conectado, pero tiene dos copias del semiplano inferior. Esas dos copias se pueden visualizar como dos niveles de un estacionamiento, y se puede obtener a partir de${\displaystyle {\text{Log}}}$nivel del semiplano inferior hasta el${\displaystyle {\text{L}}}$nivel del semiplano inferior al ir${\displaystyle 2\pi }$radianes en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor de 0 , cruzando primero el eje real positivo (del${\displaystyle {\text{Log}}}$nivel) en la copia compartida del semiplano superior y luego cruzando el eje real negativo (del${\displaystyle {\text{L}}}$nivel) en el${\displaystyle {\text{L}}}$nivel del semiplano inferior.

Se puede continuar pegando ramas con partes imaginarias.${\displaystyle \theta }$en${\displaystyle (\pi ,3\pi )}$, en${\displaystyle (2\pi ,4\pi )}$y así sucesivamente, y en la otra dirección, ramas con parte imaginaria${\displaystyle \theta }$en${\displaystyle (-2\pi ,0)}$, en${\displaystyle (-3\pi ,-\pi )}$y así sucesivamente. El resultado final es una superficie conectada que puede verse como un estacionamiento en espiral con infinitos niveles que se extienden tanto hacia arriba como hacia abajo. Esta es la superficie de Riemann.${\displaystyle R}$asociado a${\displaystyle \log z}$. ^{[ 9 ]}

Un punto en${\displaystyle R}$se puede pensar en ellos como un par${\displaystyle (z,\theta )}$dónde${\displaystyle \theta }$es un posible valor del argumento de${\displaystyle z}$De esta manera, R puede integrarse en${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {R} \approx \mathbb {R} ^{3}}$.

Debido a que los dominios de las ramas se unieron solo a lo largo de conjuntos abiertos donde sus valores coincidían, las ramas se unen para dar una única función bien definida.${\displaystyle \log _{R}\colon R\to \mathbb {C} }$. ^{[ 10 ]} Mapea cada punto${\displaystyle (z,\theta )}$en${\displaystyle R}$a${\displaystyle \ln |z|+i\theta }$Este proceso de extender la rama original${\displaystyle {\text{Log}}}$mediante la unión de funciones holomorfas compatibles se conoce como continuación analítica .

Hay un "mapa de proyección" de${\displaystyle R}$hasta${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$que "aplana" la espiral, enviando${\displaystyle (z,\theta )}$a${\displaystyle z}$. Para cualquier${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{*}}$, si uno toma todos los puntos${\displaystyle (z,\theta )}$de${\displaystyle R}$acostado "directamente encima"${\displaystyle z}$y evalúa${\displaystyle \log _{R}}$En todos estos puntos, se obtienen todos los logaritmos de${\displaystyle z}$.

En lugar de pegar solo las ramas elegidas anteriormente, se puede comenzar con todas las ramas de${\displaystyle \log z}$y, simultáneamente, pegar cada par de ramas${\displaystyle L_{1}\colon U_{1}\to \mathbb {C} }$y${\displaystyle L_{2}\colon U_{2}\to \mathbb {C} }$a lo largo del subconjunto abierto más grande de${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}}$en el cual${\displaystyle L_{1}}$y${\displaystyle L_{2}}$De acuerdo. Esto produce la misma superficie de Riemann.${\displaystyle R}$y función${\displaystyle \log _{R}}$Como antes. Este enfoque, aunque un poco más difícil de visualizar, es más natural, ya que no requiere seleccionar ninguna rama en particular.

Si${\displaystyle U'}$es un subconjunto abierto de${\displaystyle R}$proyectando biyectivamente a su imagen${\displaystyle U}$en${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$, entonces la restricción de${\displaystyle \log _{R}}$a${\displaystyle U'}$corresponde a una rama de${\displaystyle \log z}$definido en${\displaystyle U}$Cada rama de${\displaystyle \log z}$surge de esta manera.

El mapa de proyección${\displaystyle R\to \mathbb {C} ^{*}}$se da cuenta${\displaystyle R}$como un espacio de cobertura de${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$. De hecho, es un recubrimiento de Galois con grupo de transformación de cubierta isomorfo a${\displaystyle \mathbb {Z} }$, generado por el envío de homeomorfismo${\displaystyle (z,\theta )}$a${\displaystyle (z,\theta +2\pi )}$.

Como una variedad compleja ,${\displaystyle R}$es biholomorfo con${\displaystyle \mathbb {C} }$a través de${\displaystyle \log _{R}}$. (El mapa inverso envía${\displaystyle z}$a${\displaystyle \left(e^{z},\operatorname {Im} (z)\right)}$.) Esto demuestra que${\displaystyle R}$simplemente está conectado, por lo tanto${\displaystyle R}$es la portada universal de${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$.

Al igual que para los números reales, se puede definir para los números complejos.${\displaystyle b}$y${\displaystyle x}$

${\displaystyle \log _{b}x={\frac {\log x}{\log b}},}$

con la única salvedad de que su valor depende de la elección de una rama del registro definida en${\displaystyle b}$y${\displaystyle x}$(con${\displaystyle \log b\not =0}$). Por ejemplo, usar el valor principal da

${\displaystyle \log _{i}e={\frac {\operatorname {Log} e}{\operatorname {Log} i}}={\frac {1}{\pi i/2}}=-{\frac {2i}{\pi }}.}$

Si f es una función holomorfa en un subconjunto abierto conexo${\displaystyle U}$de${\displaystyle \mathbb {C} }$, entonces una rama de${\displaystyle \log f}$en${\displaystyle U}$es una función continua${\displaystyle g}$en${\displaystyle U}$de tal manera que${\displaystyle e^{g(z)}=f(z)}$a pesar de${\displaystyle z}$en${\displaystyle U}$. Dicha función${\displaystyle g}$es necesariamente holomorfo con${\displaystyle g'(z)=f'(z)/f(z)}$a pesar de${\displaystyle z}$en${\displaystyle U}$.

Si${\displaystyle U}$es un subconjunto abierto simplemente conexo de${\displaystyle \mathbb {C} }$, y${\displaystyle f}$es una función holomorfa que no se desvanece en ninguna parte${\displaystyle U}$, entonces una rama de${\displaystyle \log f}$definido en${\displaystyle U}$se puede construir eligiendo un punto de partida a en${\displaystyle U}$, eligiendo un logaritmo${\displaystyle b}$de${\displaystyle f(a)}$y definiendo

${\displaystyle g(z)=b+\int _{a}^{z}{\frac {f'(w)}{f(w)}}\,dw}$

para cada${\displaystyle z}$en${\displaystyle U}$. ^{[ 2 ]}