Integral de línea

En matemáticas , una integral de línea es una integral donde la función a integrar se evalúa a lo largo de una curva . ^{[ 1 ]} También se utilizan los términos integral de trayectoria , integral de curva e integral curvilínea ; también se utiliza la integral de contorno , aunque esta suele reservarse para integrales de línea en el plano complejo .

La función a integrar puede ser un campo escalar o un campo vectorial . El valor de la integral de línea es la suma de los valores del campo en todos los puntos de la curva, ponderados por alguna función escalar en la curva (comúnmente la longitud de arco o, para un campo vectorial, el producto escalar del campo vectorial con un vector diferencial en la curva). Esta ponderación distingue la integral de línea de las integrales más simples definidas en intervalos . Muchas fórmulas simples en física, como la definición de trabajo como${\displaystyle W=\mathbf {F} \cdot \mathbf {s} }$, tienen análogos continuos naturales en términos de integrales de línea, en este caso${\textstyle W=\int _ {L}\mathbf {F} (\mathbf {s} )\cdot d\mathbf {s} }$, que calcula el trabajo realizado sobre un objeto que se mueve a través de un campo eléctrico o gravitatorio F a lo largo de una trayectoria${\displaystyle L}$.

En términos cualitativos, una integral de línea en cálculo vectorial puede considerarse como una medida del efecto total de un campo tensorial dado a lo largo de una curva determinada. Por ejemplo, la integral de línea sobre un campo escalar (tensor de rango 0) puede interpretarse como el área bajo el campo delimitada por una curva específica. Esto puede visualizarse como la superficie creada por z = f ( x , y ) y una curva C en el plano xy . La integral de línea de f sería el área de la "cortina" creada, es decir, cuando se delimitan los puntos de la superficie que se encuentran directamente sobre C.

Integral de línea de un campo escalar

Definición

Para algún campo escalar${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} }$dónde${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$, la integral de línea a lo largo de una curva suave por partes${\displaystyle {\mathcal {C}}\subset U}$se define como $${\displaystyle \int _{\mathcal {C}}f\,ds=\int _{a}^{b}f\left(\mathbf {r} (t)\right)\left|\mathbf {r} '(t)\right|\,dt,}$$ dónde${\displaystyle \mathbf {r} \colon [a,b]\to {\mathcal {C}}}$es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva${\displaystyle {\mathcal {C}}}$de tal manera que r ( a ) y r ( b ) dan los puntos extremos de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$y a < b . Aquí, y en el resto del artículo, las barras de valor absoluto denotan la norma estándar (euclidiana) de un vector.

La función f se llama integrando, la curva${\displaystyle {\mathcal {C}}}$es el dominio de integración, y el símbolo ds puede interpretarse intuitivamente como una longitud de arco elemental de la curva.${\displaystyle {\mathcal {C}}}$(es decir, una longitud diferencial de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$). Integrales de línea de campos escalares sobre una curva${\displaystyle {\mathcal {C}}}$no dependen de la parametrización elegida r de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. ^{[ 2 ]}

Geométricamente, cuando el campo escalar f se define sobre un plano ( n = 2) , su gráfica es una superficie z = f ( x , y ) en el espacio, y la integral de línea da el área de sección transversal (con signo) delimitada por la curva.${\displaystyle {\mathcal {C}}}$y la gráfica de f . Vea la animación a la derecha.

Derivación

Para una integral de línea sobre un campo escalar, la integral se puede construir a partir de una suma de Riemann utilizando las definiciones anteriores de f , C y una parametrización r de C. Esto se puede hacer dividiendo el intervalo [ a , b ] en n subintervalos [ t _{i −1} , t _i ] de longitud Δt = ( b − a )/ n , entonces r ( t _i ) denota algún punto, llamémoslo punto de muestra, en la curva C. Podemos usar el conjunto de puntos de muestra { r ( t _i ): 1 ≤ i ≤ n } para aproximar la curva C como una trayectoria poligonal introduciendo el segmento de línea recta entre cada uno de los puntos de muestra r ( t _{i −1} ) y r ( t _i ) . (La aproximación de una curva a una trayectoria poligonal se denomina rectificación de una curva; consulte aquí para obtener más detalles). A continuación, denominamos Δs i _a la distancia del segmento de línea entre puntos de muestra adyacentes en la curva . El producto de f ( r ( t _i )) y Δs i puede asociarse con el área con signo de _un rectángulo con una altura y anchura de f ( r ( t _i )) y Δs i , respectivamente. Tomando el límite de la suma de los términos cuando la longitud de las particiones tiende a cero _, obtenemos $${\displaystyle I=\lim _{\Delta s_{i}\to 0}\sum _{i=1}^{n}f(\mathbf {r} (t_{i}))\,\Delta s_{i}.}$$

Según el teorema del valor medio , la distancia entre puntos consecutivos de la curva es $${\displaystyle \Delta s_{i}=\left|\mathbf {r} (t_{i}+\Delta t)-\mathbf {r} (t_{i})\right|\approx \left|\mathbf {r} '(t_{i})\Delta t\right|}$$

Sustituyendo esto en la suma de Riemann anterior se obtiene $${\displaystyle I=\lim _{\Delta t\to 0}\sum _{i=1}^{n}f(\mathbf {r} (t_{i}))\left|\mathbf {r} '(t_{i})\right|\Delta t}$$ que es la suma de Riemann para la integral $${\displaystyle I=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))\left|\mathbf {r} '(t)\right|dt.}$$

Integral de línea de un campo vectorial

Definición

Para un campo vectorial F : U ⊆ R ⁿ → R ⁿ , la integral de línea a lo largo de una curva suave a trozos C ⊂ U , en la dirección de r , se define como $${\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt}$$ donde · es el producto escalar y r : [ a , b ] → C es una parametrización regular (es decir:${\displaystyle ||\mathbf {r} '(t)||\neq 0\;\;\forall t\in [a,b]}$) de la curva C de tal manera que r ( a ) y r ( b ) den los puntos extremos de C .

Por lo tanto, una integral de línea de un campo escalar es una integral de línea de un campo vectorial, donde los vectores son siempre tangentes a la línea de integración.

Las integrales de línea de campos vectoriales son independientes de la parametrización r en valor absoluto , pero sí dependen de su orientación . Específicamente, una inversión en la orientación de la parametrización cambia el signo de la integral de línea. ^{[ 2 ]}

Desde el punto de vista de la geometría diferencial , la integral de línea de un campo vectorial a lo largo de una curva es la integral de la 1-forma correspondiente bajo el isomorfismo musical (que transforma el campo vectorial en el campo covectorial correspondiente ), sobre la curva considerada como una 1-variedad inmersa .

Derivación

La integral de línea de un campo vectorial se puede derivar de una manera muy similar al caso de un campo escalar, pero esta vez con la inclusión de un producto escalar. Nuevamente usando las definiciones anteriores de F , C y su parametrización r ( t ) , construimos la integral a partir de una suma de Riemann . Particionamos el intervalo [ a , b ] (que es el rango de los valores del parámetro t ) en n intervalos de longitud Δt = ( b − a ) / n . Sea _tᵢ el i - ésimo punto en [ a , b ] , entonces r ( tᵢ ₎ nos da la posición del i -ésimo punto en la curva. Sin embargo, en lugar de calcular las distancias entre puntos subsiguientes, necesitamos calcular sus vectores de desplazamiento , Δrᵢ _. Como antes, evaluando F en todos los puntos de la curva y tomando el producto escalar con cada vector de desplazamiento nos da la contribución infinitesimal de cada partición de F en C. Si hacemos que el tamaño de las particiones llegue a cero, obtenemos una suma. $${\displaystyle I=\lim _{\Delta t\to 0}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t_{i}))\cdot \Delta \mathbf {r} _{i}}$$

Según el teorema del valor medio , vemos que el vector de desplazamiento entre puntos adyacentes en la curva es $${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} (t_{i}+\Delta t)-\mathbf {r} (t_{i})\approx \mathbf {r} '(t_{i})\,\Delta t.}$$

Sustituyendo esto en la suma de Riemann anterior se obtiene $${\displaystyle I=\lim _{\Delta t\to 0}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t_{i}))\cdot \mathbf {r} '(t_{i})\,\Delta t,}$$

que es la suma de Riemann para la integral definida anteriormente.

Para un campo vectorial${\displaystyle \mathbf {F} \colon U\subseteq \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$, F ( x , y ) = ( P ( x , y ), Q ( x , y )) , la integral de línea a través de una curva C ⊂ U , también llamada integral de flujo , se define en términos de una parametrización suave por partes r : [ a , b ] → C , r ( t ) = ( x ( t ), y ( t )) , como: $${\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} ^{\perp }=\int _{a}^{b}{\begin{bmatrix}P{\big (}x(t),y(t){\big )}\\Q{\big (}x(t),y(t){\big )}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}y'(t)\\-x'(t)\end{bmatrix}}~dt=\int _{a}^{b}\left(-Q~dx+P~dy\right).}$$

Aquí ⋅ es el producto escalar, y${\displaystyle \mathbf {r} '(t)^{\perp }=(y'(t),-x'(t))}$es la perpendicular en sentido horario del vector velocidad${\displaystyle \mathbf {r} '(t)=(x'(t),y'(t))}$.

El flujo se calcula en un sentido orientado: la curva C tiene una dirección hacia adelante especificada de r ( a ) a r ( b ) , y el flujo se cuenta como positivo cuando F ( r ( t )) está en el lado en sentido horario del vector de velocidad hacia adelante r' ( t ) .

En análisis complejo , la integral de línea se define en términos de multiplicación y suma de números complejos. Supongamos que U es un subconjunto abierto del plano complejo C , f  : U → C es una función, y${\displaystyle L\subset U}$es una curva de longitud finita, parametrizada por γ : [ a , b ] → L , donde γ ( t ) = x ( t ) + iy ( t ) . La integral de línea $${\displaystyle \int _{L}f(z)\,dz}$$ puede definirse subdividiendo el intervalo [ a , b ] en a = t ₀ < t ₁ < ... < t _n = b y considerando la expresión $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(\gamma (t_{k}))\,[\gamma (t_{k})-\gamma (t_{k-1})]=\sum _{k=1}^{n}f(\gamma _{k})\,\Delta \gamma _{k}.}$$

La integral es entonces el límite de esta suma de Riemann cuando las longitudes de los intervalos de subdivisión se aproximan a cero.

Si la parametrización γ es continuamente diferenciable , la integral de línea puede evaluarse como una integral de una función de una variable real: $${\displaystyle \int _{L}f(z)\,dz=\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\gamma '(t)\,dt.}$$

Cuando L es una curva cerrada (los puntos inicial y final coinciden), la integral de línea se suele denotar${\textstyle \oint _{L}f(z)\,dz,}$En ingeniería, a veces se la denomina integral cíclica .

Para establecer una analogía completa con la integral de línea de un campo vectorial, hay que volver a la definición de diferenciabilidad en el cálculo multivariable. El gradiente se define a partir del teorema de representación de Riesz , y los productos internos en el análisis complejo implican conjugación (el gradiente de una función${\displaystyle \gamma }$en algún momento${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$sería${\displaystyle {\overline {\gamma '(z)}}}$y el producto interno complejo atribuiría dos veces un conjugado a${\displaystyle \gamma '}$en la definición de campo vectorial de una integral de línea).

La integral de línea con respecto al diferencial complejo conjugado${\displaystyle {\overline {dz}}}$se define ^{[ 4 ]} como $${\displaystyle \int _{L}f(z){\overline {dz}}:={\overline {\int _{L}{\overline {f(z)}}\,dz}}=\int _{a}^{b}f(\gamma (t)){\overline {\gamma '(t)}}\,dt.}$$

Las integrales de línea de funciones complejas pueden evaluarse mediante diversas técnicas. La más directa consiste en separarlas en partes real e imaginaria, reduciendo el problema a la evaluación de dos integrales de línea de valores reales. El teorema integral de Cauchy permite igualar la integral de línea de una función analítica a la misma integral sobre una curva más conveniente. Esto implica que, sobre una curva cerrada que encierra una región donde f ( z ) es analítica sin singularidades , el valor de la integral es simplemente cero; o, en caso de que la región incluya singularidades, el teorema de los residuos calcula la integral en función de estas. Esto también implica la independencia de la trayectoria de la integral de línea compleja para funciones analíticas.

La formulación de la integral de trayectoria en mecánica cuántica no se refiere a integrales de trayectoria en este sentido, sino a integrales funcionales , es decir, integrales sobre un espacio de trayectorias, de una función de una trayectoria posible. Sin embargo, las integrales de trayectoria, en el sentido de este artículo, son importantes en mecánica cuántica; por ejemplo, la integración de contorno compleja se utiliza a menudo para evaluar amplitudes de probabilidad en la teoría de la dispersión cuántica .

• "Integral sobre trayectorias" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press, 2001 [1994]
• Módulos de Khan Academy :
  • "Introducción a la integral de línea"
  • "Ejemplo 1 de integral de línea"
  • "Ejemplo de integral de línea 2 (parte 1)"
  • "Ejemplo de integral de línea 2 (parte 2)"
• Integral de trayectoria en PlanetMath .
• Integral de línea de un campo vectorial – Interactivo