Límite (teoría de categorías)

Dejar${\displaystyle F:J\to C}$ser un diagrama de forma${\displaystyle J}$en una categoría${\displaystyle C}$. Un cono a${\displaystyle F}$es un objeto${\displaystyle N}$de${\displaystyle C}$junto con una familia${\displaystyle \psi }$de morfismos${\displaystyle \psi _{X}:N\to F(X)}$indexados por los objetos${\displaystyle X}$de${\displaystyle J}$, de tal manera que para cada morfismo${\displaystyle f:X\to Y}$en${\displaystyle J}$, tenemos${\displaystyle F(f)\circ \psi _{X}=\psi _{Y}}$.

Un límite del diagrama${\displaystyle F:J\to C}$es un cono${\displaystyle (L,\phi )}$a${\displaystyle F}$de tal manera que para cada cono${\displaystyle (N,\psi )}$a${\displaystyle F}$existe un morfismo único${\displaystyle u:N\to L}$de tal manera que${\displaystyle \phi _{X}\circ u=\psi _{X}}$a pesar de${\displaystyle X}$en${\displaystyle J}$.

Uno dice que el cono${\displaystyle (N,\psi )}$factores a través del cono${\displaystyle (L,\phi )}$con la factorización única${\displaystyle u}$. El morfismo${\displaystyle u}$A veces se le llama morfismo mediador .

Los límites también se denominan conos universales , ya que se caracterizan por una propiedad universal (véase más abajo para obtener más información). Como ocurre con toda propiedad universal, la definición anterior describe un estado de generalidad equilibrado: El objeto límite${\displaystyle L}$tiene que ser lo suficientemente general como para permitir que cualquier cono lo atraviese; por otro lado,${\displaystyle L}$debe ser suficientemente específico, de modo que solo sea posible una factorización de este tipo para cada cono.

Los límites también pueden caracterizarse como objetos terminales en la categoría de conos a F.

Es posible que un diagrama no tenga límite alguno. Sin embargo, si un diagrama tiene un límite, este límite es esencialmente único: es único salvo un isomorfismo único . Por esta razón, a menudo se habla del límite de F.

Las nociones duales de límites y conos son colímites y coconos. Si bien es sencillo obtener sus definiciones invirtiendo todos los morfismos de las definiciones anteriores, las enunciaremos explícitamente aquí:

Un coco de un diagrama${\displaystyle F:J\to C}$es un objeto${\displaystyle N}$de${\displaystyle C}$junto con una familia de morfismos $${\displaystyle \psi _{X}:F(X)\to N}$$

para cada objeto${\displaystyle X}$de${\displaystyle J}$, de tal manera que para cada morfismo${\displaystyle f:X\to Y}$en${\displaystyle J}$, tenemos${\displaystyle \psi _{Y}\circ F(f)=\psi _{X}}$.

Un colímite de un diagrama${\displaystyle F:J\to C}$es un coco${\displaystyle (L,\phi )}$de${\displaystyle F}$de tal manera que para cualquier otro coco${\displaystyle (N,\psi )}$de${\displaystyle F}$existe un morfismo único${\displaystyle u:L\to N}$de tal manera que${\displaystyle u\circ \phi _{X}=\psi _{X}}$a pesar de${\displaystyle X}$en${\displaystyle J}$.

Los colímites también se denominan cocones universales . Se pueden caracterizar como objetos iniciales en la categoría de cocones .${\displaystyle F}$.

Al igual que con los límites, si un diagrama${\displaystyle F}$Si existe un colímite, entonces este colímite es único salvo un isomorfismo único.

Los límites y colímites también se pueden definir para colecciones de objetos y morfismos sin el uso de diagramas. Las definiciones son las mismas (nótese que en las definiciones anteriores nunca necesitamos usar la composición de morfismos en${\displaystyle J}$Esta variación, sin embargo, no añade información nueva. Cualquier conjunto de objetos y morfismos define un grafo dirigido (posiblemente grande).${\displaystyle G}$Si dejamos${\displaystyle J}$ser la categoría gratuita generada por${\displaystyle G}$, existe un diagrama universal${\displaystyle F:J\to C}$cuya imagen contiene${\displaystyle G}$. El límite (o colímite) de este diagrama es el mismo que el límite (o colímite) de la colección original de objetos y morfismos.

Los límites débiles y los colímites débiles se definen como límites y colímites, excepto que se omite la propiedad de unicidad del morfismo mediador.

La definición de límites es lo suficientemente general como para englobar varias construcciones útiles en entornos prácticos. A continuación, consideraremos el límite ( L , φ ) de un diagrama F  : J → C .

• Objetos terminales . Si J es la categoría vacía, solo hay un diagrama de forma J : el vacío (similar a la función vacía en la teoría de conjuntos). Un cono al diagrama vacío es esencialmente un objeto de C. El límite de F es cualquier objeto que se factoriza de forma única mediante todos los demás objetos. Esta es simplemente la definición de un objeto terminal .
• Productos . Si J es una categoría discreta, entonces un diagrama F no es más que una familia de objetos de C , indexados por J. El límite L de F se llama el producto de estos objetos. El cono φ consiste en una familia de morfismos φ _X  : L → F ( X ) llamados proyecciones del producto. En la categoría de conjuntos , por ejemplo, los productos vienen dados por productos cartesianos y las proyecciones son simplemente las proyecciones naturales sobre los distintos factores.
  • Potencias . Un caso especial de un producto es cuando el diagrama F es un functor constante a un objeto X de C. El límite de este diagrama se llama la J ^-ésima potencia de X y se denota X ^J.
• Ecualizadores . Si J es una categoría con dos objetos y dos morfismos paralelos de un objeto al otro, entonces un diagrama de forma J es un par de morfismos paralelos en C. El límite L de dicho diagrama se denomina ecualizador de esos morfismos.
  • Núcleos . Un núcleo es un caso especial de un ecualizador donde uno de los morfismos es un morfismo cero .
• Retrocesos . Sea F un diagrama que selecciona tres objetos X , Y y Z en C , donde los únicos morfismos que no son identidad son f  : X → Z y g  : Y → Z. El límite L de F se llama retroceso o producto fibrado . Se puede visualizar fácilmente como un cuadrado conmutativo :

• Límites inversos . Sea J un conjunto dirigido (considerado como una categoría pequeña añadiendo flechas i → j si y solo si i ≤ j ) y sea F  : J ^op → C un diagrama. El límite de F se llama límite inverso o límite proyectivo .
• Si J = 1 , la categoría con un solo objeto y morfismo, entonces un diagrama de forma J es esencialmente solo un objeto X de C. Un cono a un objeto X es solo un morfismo con codominio X. Un morfismo f  : Y → X es un límite del diagrama X si y solo si f es un isomorfismo . Más generalmente, si J es cualquier categoría con un objeto inicial i , entonces cualquier diagrama de forma J tiene un límite, a saber, cualquier objeto isomorfo a F ( i ). Dicho isomorfismo determina de forma única un cono universal a F .
• Límites topológicos . Los límites de funciones son un caso especial de límites de filtros , que se relacionan con los límites categóricos de la siguiente manera. Dado un espacio topológico X , denotemos por F el conjunto de filtros en X , x ∈ X un punto, V ( x ) ∈ F el filtro de vecindad de x , A ∈ F un filtro particular y${\displaystyle F_{x,A}=\{G\in F\mid V(x)\cup A\subset G\}}$el conjunto de filtros más finos que A y que convergen a x . A los filtros F se les da una estructura de categoría pequeña y delgada agregando una flecha A → B si y solo si A ⊆ B. La inyección${\displaystyle I_{x,A}:F_{x,A}\to F}$se convierte en un functor y se cumple la siguiente equivalencia  :

x es un límite topológico de A si y solo si A es un límite categórico de${\displaystyle I_{x,A}}$

Ejemplos de colímites se dan mediante las versiones duales de los ejemplos anteriores:

• Los objetos iniciales son colímites de diagramas vacíos.
• Los coproductos son colímites de diagramas indexados por categorías discretas.
  • Las copotencias son colímites de diagramas constantes de categorías discretas.
• Los coecualizadores son colímites de un par de morfismos paralelos.
  • Los conúcleos son coecualizadores de un morfismo y un morfismo cero paralelo.
• Los pushouts son colímites de un par de morfismos con dominio común.
• Los límites directos son colímites de diagramas indexados por conjuntos dirigidos.

Un diagrama F  : J → C dado puede tener o no un límite (o colímite) en C. De hecho, puede que ni siquiera exista un cono para F , y mucho menos un cono universal.

Se dice que una categoría C tiene límites de forma J si todo diagrama de forma J tiene un límite en C. Específicamente, se dice que una categoría C tiene límites de forma J.

• tener productos si tiene límites de forma J para cada pequeña categoría discreta J (no necesita tener productos grandes),
• tener ecualizadores si tiene límites de forma${\displaystyle \bullet \rightrightarrows \bullet }$(es decir, cada par paralelo de morfismos tiene un ecualizador),
• tener retrocesos si tiene límites de forma${\displaystyle \bullet \rightarrow \bullet \leftarrow \bullet }$(es decir, cada par de morfismos con codominio común tiene un retroceso).

Una categoría completa es una categoría que tiene todos los límites pequeños (es decir, todos los límites de forma J para cada categoría pequeña J ).

También se pueden establecer definiciones duales. Una categoría tiene colímites de forma J si todo diagrama de forma J tiene un colímite en C. Una categoría cocompleta es aquella que tiene todos los colímites pequeños.

El teorema de existencia para límites establece que si una categoría C tiene igualadores y todos los productos indexados por las clases Ob( J ) y Hom( J ), entonces C tiene todos los límites de forma J. ^{[ 1 ] : §V.2 Teorema 1} En este caso, el límite de un diagrama F  : J → C puede construirse como el igualador de los dos morfismos ^{[ 1 ] : §V.2 Teorema 2}

${\displaystyle s,t:\prod _{i\in \operatorname {Ob} (J)}F(i)\rightrightarrows \prod _{f\in \operatorname {Hom} (J)}F(\operatorname {cod} (f))}$

dado (en forma de componentes) por

${\displaystyle {\begin{aligned}s&={\bigl (}F(f)\circ \pi _{\operatorname {dom} (f)}{\bigr )}_{f\in \operatorname {Hom} (J)}\\t&={\bigl (}\pi _{\operatorname {cod} (f)}{\bigr )}_{f\in \operatorname {Hom} (J)}.\end{aligned}}}$

Existe un teorema de existencia dual para colímites en términos de coecualizadores y coproductos. Ambos teoremas dan condiciones suficientes y necesarias para la existencia de todos los (co)límites de forma J.

Los límites y colímites son casos especiales importantes de construcciones universales .

Sea C una categoría y sea J una categoría de índice pequeño. La categoría de funtores C ^J puede pensarse como la categoría de todos los diagramas de forma J en C. El funtor diagonal

${\displaystyle \Delta$ :{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}

es el functor que asigna a cada objeto N en C el functor constante Δ( N )  : J → C a N . Es decir, Δ( N )( X ) = N para cada objeto X en J y Δ( N )( f ) = id _N para cada morfismo f en J .

Dado un diagrama F : J → C (considerado como un objeto en C ^J ), una transformación natural ψ  : Δ( N ) → F (que es simplemente un morfismo en la categoría C ^J ) es lo mismo que un cono de N a F . Para ver esto, primero observemos que Δ( N )( X ) = N para todo X implica que las componentes de ψ son morfismos ψ _X  : N → F ( X ), que comparten el dominio N . Además, el requisito de que los diagramas del cono conmuten es cierto simplemente porque esta ψ es una transformación natural. (De manera dual, una transformación natural ψ  : F → Δ( N ) es lo mismo que un cocono de F a N ).

Por lo tanto, las definiciones de límites y colímites pueden reformularse de la siguiente forma:

• Un límite de F es un morfismo universal de Δ a F.
• Un colímite de F es un morfismo universal de F a Δ.

Como todas las construcciones universales, la formación de límites y colímites es de naturaleza funtorial. En otras palabras, si todo diagrama de forma J tiene un límite en C (para J pequeño), existe un functor de límite.

${\displaystyle \lim$ :{\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}

que asigna a cada diagrama su límite y a cada transformación natural η  : F → G el único morfismo lim η  : lim F → lim G que conmuta con los conos universales correspondientes. Este functor es adjunto derecho del functor diagonal Δ  : C → C ^J . Esta adjunción da una biyección entre el conjunto de todos los morfismos de N a lim F y el conjunto de todos los conos de N a F

${\displaystyle \operatorname {Hom} (N,\lim F)\cong \operatorname {Cone} (N,F)}$

lo cual es natural en las variables N y F. La counidad de esta adjunción es simplemente el cono universal de lim F a F. Si la categoría de índice J es conexa (y no vacía), entonces la unidad de la adjunción es un isomorfismo tal que lim es un inverso izquierdo de Δ. Esto falla si J no es conexa. Por ejemplo, si J es una categoría discreta, los componentes de la unidad son los morfismos diagonales δ  : N → N ^J.

De manera dual, si todo diagrama de forma J tiene un colímite en C (para J pequeño), existe un functor de colímite.

${\displaystyle \operatorname {colim}$ :{\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}

que asigna a cada diagrama su colímite. Este functor es adjunto izquierdo del functor diagonal Δ  : C → C ^J , y se tiene un isomorfismo natural.

${\displaystyle \operatorname {Hom} (\operatorname {colim} F,N)\cong \operatorname {Cocone} (F,N).}$

La unidad de esta adjunción es el cocone universal de F a colim F . Si J es conexo (y no vacío), entonces la counidad es un isomorfismo, de modo que colim es un inverso izquierdo de Δ.

Nótese que tanto el functor límite como el colímite son functores covariantes .

Se pueden usar functores Hom para relacionar límites y colímites en una categoría C con límites en Set , la categoría de conjuntos . Esto se deduce, en parte, del hecho de que el functor Hom covariante Hom( N , – )  : C → Set preserva todos los límites en C. Por dualidad, el functor Hom contravariante debe tomar colímites a límites.

Si un diagrama F  : J → C tiene un límite en C , denotado por lim F , existe un isomorfismo canónico

${\displaystyle \operatorname {Hom} (N,\lim F)\cong \lim \operatorname {Hom} (N,F-)}$

lo cual es natural en la variable N. Aquí el functor Hom( N , F – ) es la composición del functor Hom( N , – ) con F . Este isomorfismo es el único que respeta los conos límite.

Se puede utilizar la relación anterior para definir el límite de F en C. El primer paso es observar que el límite del functor Hom( N , F – ) se puede identificar con el conjunto de todos los conos de N a F :

${\displaystyle \lim \operatorname {Hom} (N,F-)=\operatorname {Cone} (N,F).}$

El cono límite viene dado por la familia de aplicaciones π _X  : Cone( N , F ) → Hom( N , FX ) donde π _X ( ψ ) = ψ _X . Si se nos da un objeto L de C junto con un isomorfismo natural Φ  : Hom( L , – ) → Cone( – , F ), el objeto L será un límite de F con el cono límite dado por Φ _L (id _L ). En lenguaje elegante, esto equivale a decir que un límite de F es una representación del functor Cone( – , F )  : C → Set .

Dualmente, si un diagrama F  : J → C tiene un colímite en C , denotado colim F , existe un isomorfismo canónico único

${\displaystyle \operatorname {Hom} (\operatorname {colim} F,N)\cong \lim \operatorname {Hom} (F-,N)}$

lo cual es natural en la variable N y respeta los conos colímite. Al identificar el límite de Hom( F – , N ) con el conjunto Cocone( F , N ), esta relación puede usarse para definir el colímite del diagrama F como una representación del functor Cocone( F , – ).

Sea I una categoría finita y J una pequeña categoría filtrada . Para cualquier bifunctor

${\displaystyle F:I\times J\to \mathbf {Set} ,}$

existe un isomorfismo natural

${\displaystyle \operatorname {colim} \limits _{J}\lim _{I}F(i,j)\rightarrow \lim _{I}\operatorname {colim} \limits _{J}F(i,j).}$

En otras palabras, los colímites filtrados en Set conmutan con límites finitos. También se cumple que los colímites pequeños conmutan con límites pequeños. ^{[ 2 ]}

Un functor G  : C → D induce una aplicación de Cono( F ) a Cono( GF ): si Ψ es un cono de N a F, entonces GΨ es un cono de GN a GF . Se dice que el functor G preserva los límites de F si ( GL , Gφ ) es un límite de GF siempre que ( L , φ ) sea un límite de F. (Nótese que si el límite de F no existe, entonces G preserva trivialmente los límites de F ).

Se dice que un functor G preserva todos los límites de forma J si preserva los límites de todos los diagramas F  : J → C . Por ejemplo, se puede decir que G preserva productos, ecualizadores, retrocesos, etc. Un functor continuo es aquel que preserva todos los límites pequeños .

Se pueden establecer definiciones análogas para los colímites. Por ejemplo, un functor G preserva los colímites de F si G ( L , φ ) es un colímite de GF siempre que ( L , φ ) sea un colímite de F. Un functor cocontinuo es aquel que preserva todos los colímites pequeños .

Si C es una categoría completa , entonces, por el teorema de existencia de límites mencionado anteriormente, un functor G  : C → D es continuo si y solo si preserva productos (pequeños) e igualadores. De manera dual, G es cocontinuo si y solo si preserva coproductos (pequeños) e igualadores.

Una propiedad importante de los functores adjuntos es que todo functor adjunto derecho es continuo y todo functor adjunto izquierdo es cocontinuo. Dado que los functores adjuntos existen en abundancia, esto proporciona numerosos ejemplos de functores continuos y cocontinuos.

Para un diagrama dado F  : J → C y un functor G  : C → D , si tanto F como GF tienen límites especificados, existe un único morfismo canónico.

${\displaystyle \tau _{F}:G\lim F\to \lim GF}$

que respeta los conos límite correspondientes. El functor G preserva los límites de F si y solo si esta aplicación es un isomorfismo. Si las categorías C y D tienen todos los límites de forma J , entonces lim es un functor y los morfismos τ _F forman las componentes de una transformación natural.

${\displaystyle \tau :G\lim \to \lim G^{J}.}$

El functor G preserva todos los límites de forma J si y solo si τ es un isomorfismo natural. En este sentido, se puede decir que el functor G conmuta con los límites ( salvo un isomorfismo natural canónico).

La preservación de límites y colímites es un concepto que solo se aplica a functores covariantes . Para functores contravariantes, las nociones correspondientes serían un functor que transforma colímites en límites, o uno que transforma límites en colímites.

Se dice que un functor G  : C → D eleva los límites de un diagrama F  : J → C si siempre que ( L , φ ) sea un límite de GF existe un límite ( L ′ , φ ′ ) de F tal que G ( L ′ , φ ′ ) = ( L , φ ). Un functor G eleva los límites de forma J si eleva los límites de todos los diagramas de forma J. Por lo tanto, se puede hablar de productos de elevación, igualadores, retrocesos, etc. Finalmente, se dice que G eleva los límites si eleva todos los límites. Hay definiciones duales para la elevación de colímites.

Un functor G levanta límites de forma única para un diagrama F si existe un cono de preimagen único ( L ′ , φ ′ ) tal que ( L ′ , φ ′ ) es un límite de F y G ( L ′ , φ ′ ) = ( L , φ ). Se puede demostrar que G levanta límites de forma única si y solo si levanta límites y es amnésico .

La eliminación de límites está claramente relacionada con la preservación de límites. Si G elimina los límites de un diagrama F y GF tiene un límite, entonces F también tiene un límite y G preserva los límites de F. De ello se deduce que:

• Si G levanta los límites de toda forma J y D tiene todos los límites de forma J , entonces C también tiene todos los límites de forma J y G preserva estos límites.
• Si G elimina todos los límites pequeños y D es completo, entonces C también es completo y G es continuo.

Las afirmaciones duales para colímites son igualmente válidas.

Sea F  : J → C un diagrama. Se dice que un functor G  : C → D es un diagrama.

• crear límites para F si siempre que ( L , φ ) sea un límite de GF existe un cono único ( L ′ , φ ′ ) a F tal que G ( L ′ , φ ′ ) = ( L , φ ), y además, este cono es un límite de F .
• reflejar límites para F si cada cono a F cuya imagen bajo G es un límite de GF ya es un límite de F.

De manera dual, se puede definir la creación y la reflexión de colímites.

Es fácil ver que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

• El functor G crea límites.
• El functor G levanta límites de forma única y refleja límites.

Existen ejemplos de functores que elevan los límites de forma única, pero que ni los crean ni los reflejan.

• Todo functor representable C → Set preserva los límites (pero no necesariamente los colímites). En particular, para cualquier objeto A de C , esto es cierto para el functor covariante Hom Hom( A , – )  : C → Set .
• El functor olvidadizo U  : Grp → Set crea (y conserva) todos los límites pequeños y colímites filtrados ; sin embargo, U no conserva los coproductos. Esta situación es típica de los functores olvidadizos algebraicos.
• El functor libre F  : Set → Grp (que asigna a cada conjunto S el grupo libre sobre S ) es adjunto izquierdo del functor olvidadizo U y , por lo tanto, es cocontinuo. Esto explica por qué el producto libre de dos grupos libres G y H es el grupo libre generado por la unión disjunta de los generadores de G y H.
• El functor de inclusión Ab → Grp crea límites pero no preserva los coproductos (el coproducto de dos grupos abelianos es la suma directa ).
• El functor olvidadizo Top → Set eleva los límites y los colímites de forma única, pero no crea ninguno de los dos.
• Sea Met _c la categoría de espacios métricos con funciones continuas para morfismos. El functor olvidadizo Met _c → Set eleva los límites finitos, pero no los eleva de forma única.